2.2-全等三角形的判定 帶解析-2023年升初二人教版暑假銜接教材

?2.2全等三角形的判定（1）考點先知考點先知知識考點“SSS”判定三角形全等1.與“SSS”有關(guān)的添條件問題2.“SSS”判定三角形全等“SAS”判定三角形全等3.與“SAS”有關(guān)的添條件問題4.“SAS”判定三角形全等題型精析題型精析知識點一全等三角形的判定原理知識點一全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定原理全等三角形的判定實際上是根據(jù)給定的三個條件，是否能夠作出唯一的三角形.題型一全等三角形的判定原理題型一全等三角形的判定原理例1例1（1）AB=3，AC=4，BC=5；（2）∠A=40°，AB=5，AC=7；（3）∠A=40°，AB=5，BC=7；（4）∠A=50°，∠B=70°，∠C=60°.變1根據(jù)給定的條件作三角形，并判斷是否只能畫出一個三角形：變1（1）∠B=60°，∠C=45°，BC=4；（2）∠A=40°，∠C=50°，AB=3；（3）∠C=90°，AB=5，BC=4；（4）∠A=50°，BC=3，AB=6.例2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，AC=5，求△ABC的面積．請問該題的三角形是否唯一？有幾個解？（不需求解，只需回答后兩個問題即可）例2變2在△ABC中，若∠B=45°，AB=10，BC=5，求△ABC的面積．請問該題的三角形是否唯一？有幾個解？（不需求解，只需回答后兩個問題即可）變2知識點二“知識點二“SSS”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（一）兩個三角形的三條邊對應(yīng)相等（SSS），則兩個三角形全等.題型二添條件問題題型二添條件問題例1如圖，已知AC=BD，要使得△ABC≌△DCB，根據(jù)“SSS”判定方法，需要再添加的一個條件是例1【分析】要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共邊，若補充一組邊相等，則可用SSS判定其全等．【解答】解：添加AB=DC．在△ABC和△DCB中，AB=DCBC=CB∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴添加一個適當(dāng)?shù)臈l件是AB=DC．故答案為：AB=DC．例2如圖，AB=AC，DB=DC則直接由“SSS例2A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△EBD≌△ECDD．以上答案都不對【分析】本題已知AB=AC，DB=DC，AD是公共邊，具備了三組邊對應(yīng)相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：在△ABD與△ACD中，AB=ACDB=DC∴△ABD≌△ACD（SSS）．故選：A．變1如圖，已知AC=FE，BC=DE，點A、D、B、F在一條直線上，要利用“SSS”證明△ABC≌△FDE，還可以添加的一個條件是（）變1A．AD=FBB．DE=BDC．BF=DBD．以上都不對【分析】由題意AC=FE，BC=DE，根據(jù)SSS即可解決問題．【解答】解：∵AC=EF，BC=DE，∴要根據(jù)SSS證明△ABC≌△FDE，∴需要添加AD=BF即可．故選：A．變2如圖，在△ABC和△FED中，AC=FD，BC=ED，要利用“SSS”來判定△ABC和△FED全等時，下面的4個條件中：①AE=FB；②AB=FE；③AE=BE；④BF=BE，可利用的是（）變2A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④【分析】要利用SSS進行△ABC和△FED全等的判定，還需要條件AB=FE，結(jié)合題意給出的條件即可作出判斷．【解答】解：由題意可得，要用SSS進行△ABC和△FED全等的判定，需要AB=FE，若添加①AE=FB，則可得AE+BE=FB+BE，即AB=FE，故①可以；若添加AB=FE，則可直接證明兩三角形的全等，故②可以．若添加AE=BE，或BF=BE，均不能得出AB=FE，不可以利用SSS進行全等的證明，故③④不可以．故選：A．題型三“邊邊邊”判定三角形全等題型三“邊邊邊”判定三角形全等例1如圖，點A，B，C，D在同一直線上，，，．求證：．例1【答案】證明見詳解【分析】根據(jù)線段的和差求出，利用即可證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．例2如圖，點A、、、在同一條直線上，，，，求證：．例2【答案】證明見解析【分析】根據(jù)，，，利用定理證明，從而得到，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得證．【詳解】證明：∵∴∴在和中，∴∴∴（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）變1如圖，在和中，，求證：．變1【答案】見解析【分析】直接利用全等三角形的判定方法：求出即可．【詳解】證明∶在和中，變2如圖，，，，點E、B、D、F在同一條直線上．求證．變2【答案】見詳解【分析】根據(jù)，兩邊同時減去BD，可得，再由，證明即可．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵在和中，∴．例3如圖，在和中，點C在邊上，邊交邊于點F，若，，．求證：．例3【答案】證明見詳解【分析】先根據(jù)SSS定理得出(SSS)，故，再根據(jù)是的外角，可知，可得出，故可得出結(jié)論．【詳解】解：在和中（SSS）；，變3如圖，AB=AC，AD=AE，CD=BE．求證：∠DAB=∠EAC．變3【分析】三角形全等條件中必須是三個元素，可用SSS判定兩個三角形全等．【解答】證明：在△ADC與△AEB中，AB=ACAD=AE∴△ADC≌△AEB（SSS），∴∠DAC=∠EAB，∴∠DAC﹣∠BAC=∠EAB﹣∠BAC，∴∠DAB=∠EAC例4如圖，已知：AB=AC，BD=CD，E為AD例4（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）若∠BED=50°，求∠CED的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)SSS即可證明△ABD≌△ACD；（2）只要證明△EDB≌△EDC（SAS），即可推出∠BED=∠CED，進而得到答案．【詳解】（1）證明：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；（2）解：∵△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，在△EDB和△EDC中，，∴△EDB≌△EDC（SAS），∴∠BED=∠CED，∵∠BED=50°，∴∠CED=∠BED=50°．變4已知：如圖，點A，D，C，B在同一條直線上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求證：變4（1）△AEC≌△BFD；（2）DE=CF.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由線段的和差可得AC=BD，繼而利用“SSS”即可求證結(jié)論；（2）由（1）可知∠A=∠B，繼而利用“SAS”求證△AED≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，即AC=BD，在△AEC和△BFD中，

∴△AEC≌△BFD（SSS），（2）由（1）可知△AEC≌△BFD，∴∠A=∠B，在△AED和△BFC中，,∴△AED≌△BFC（SAS），∴DE=CF知識點三“知識點三“SAS”全等三角形的判定原理內(nèi)容全等三角形的判定（二）兩個三角形的兩條邊及其夾角對應(yīng)相等（SAS），則兩個三角形全等.題型四添條件問題題型四添條件問題例1如圖，AD與BC交于點O，，添加一個條件后能使用“邊角邊”基本事實判定的是（）例1A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)全等三角形的判定對四個選項進行依次判定即可.【詳解】已知A，時不構(gòu)成全等的條件，故錯誤，不符題意；B，時，在△AOC和△BOD中∴(SAS)，使用了“邊角邊”，故符合題意；C，時，在△AOC和△BOD中∴(AAS)，使用了“角角邊”，故不符合題意；D，時，在△AOC和△BOD中∴(ASA)，使用了“角邊角”，故不符合題意，故選B例2如圖，若已知，用“”說明，還需要的一個條件是（）例2A．B．C．D．【答案】B【分析】找到根據(jù)“”判定需要條件，作出證明即可．【詳解】解：還需添加的條件是，理由是：在和中，，∴，故選：B．變1如圖，與相交于點，，若用“”證明，還需添加的條件是（）變1A．B．C．D．【答案】B【分析】利用對頂角相等，則要根據(jù)“”證明，需要添加對應(yīng)邊與相等即可．【詳解】解：，當(dāng)時，可利用“”判斷，故選：B．變2如圖，B、A、D、E在同一直線上，，，利用“”使得，則只需添加的一個條件是．變2【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得出，由的判定方法求解即可．【詳解】解：添加條件：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴；故答案為：．題型五“邊角邊”判定三角形全等題型五“邊角邊”判定三角形全等例1如圖，，，，，求證：．例1【答案】見解析【分析】如圖，先證明再利用證明即可．【詳解】證明：又，，在與中，∴．例2如圖，點、、、在同一條直線上，，，．求證：．例2【答案】見解析【分析】根據(jù)“”證即可．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，，∴．變1已知：如圖，A、C、F、D在同一直線上，，，，求證：變1【答案】見解析【分析】由“SAS”可證．【詳解】證明：∵∴即∴在和中，，∴（SAS）變2如圖，已知EC=BF，AC=DF，∠C=∠F，求證：．變2【答案】見解析【分析】先證得，再利用證明．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．例3如圖，已知，，，求證：．例3【答案】見解析【分析】根據(jù)證明，即可得出結(jié)論；【詳解】解：∵∴即：在和中∴∴例4已知△ABC和△ADE均為等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE例4（1）如圖1，點E在BC上，求證：BC=BD+BE；（2）如圖2，點E在CB的延長線上，求證：BC=BD﹣BE．【分析】（1）先證∠DAB=∠EAC，再證△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，則可得出結(jié)論；（2）證明△DAB≌△EAC（SAS），得出BD=CE，進而得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=BE+CE=BD+BE；（2）證明：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB，即∠DAB=∠EAC，又∵AB=AC，AD=AE，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD=CE，∴BC=CE﹣BE=BD﹣BE．變3如圖，已知，，，求證：．變3【答案】見解析【分析】先證明，從而可以利用來判定．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中，∴．變4如圖，在和中，，點C在上．求證：變4（1）；（2）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)等式的性質(zhì)，可得，根據(jù)SAS，可得兩個三角形全等；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應(yīng)角相等，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)等量代換，可得證明結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，即．在和中，，；（2）證明：，例5如圖，大小不同的兩塊三角板和直角頂點重合在點C處，，，連接、，點A恰好在線段上．例5（1）求證：；（2）當(dāng)，則AE的長度為cm．（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)8(3)，理由見解析【分析】（1）求出，根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）如圖，與相交于點O，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，結(jié)合求出即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，在與中，，∴；（2）解：∵，∴，故答案為：8；（3）解：，理由：如圖，與相交于點O，∵，∴，又∵，∴，∴．變5如圖，，，，．變5（1）求證：；（2）圖中、有怎樣的關(guān)系？試證明你的結(jié)論．【答案】(1)證明見解析(2)，，理由見解析【分析】（1）根據(jù)，并結(jié)合圖形可推出，再根據(jù)，，結(jié)論即可得證；（2）如圖，設(shè)交于點，交于點，由（1）的結(jié)論可推出，，由，，可得出，可得，由此即可解決問題．（1）證明：∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：結(jié)論：，．理由如下：如圖，設(shè)交于點，交于點，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴．課后強化課后強化1.如圖，在四邊形中，，，若連接相交于點，則圖中全等三角形共有（）A．1對B．2對C．3對D．4對【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法判斷即可；【詳解】解：由，，可以判定；∴，由，，可以判定；由，，可以判定；共對全等三角形；故選：C．2.如圖，，若要用“”證明，需要補充一個條件，這個條件是．【答案】【分析】由圖形可知為公共邊，則可再加一組邊相等，可求得答案．【詳解】解：∵，，∴可補充，在和中，，∴；故答案為：．3.如圖，已知AB=AC，AD=AE，要證明△ABD≌△ACE，還需要添加條件為（只寫一種）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知條件選擇合適的全等三角形的判定方法，添加合適的條件即可．【詳解】解：添加條件為，理由是：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SSS）．故答案為：4.如圖，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：證明：，，即，在和中，，；（2）由（1）知，，．5.如圖，，，相交于點．（1）求證；（2）求證．【答案】(1)見解析；(2)見解析．【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知角相等，再根據(jù)全等三角形的判定可知，進而得出線段相等．【詳解】（1）解：在和中，∴，∴，（2）解：∵，∴，∴在和中，∴，∴，∴，6.已知，如圖，在四邊形中，，平分，E為上任意一點，連接，求證：．【答案】見解析【分析】先證明，得出，再證明即可【詳解】證明：∵平分，∴在與中，∴∴在與中，∴7.如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能用SAS判定△ABC≌△DEC，能添加的一組條件是（）A．∠B=∠E，BC=ECB．∠B=∠E，AC=DCC．∠A=∠D，BC=ECD．BC=EC，AC=DC【分析】由AB=DE知，由全等三角形的判定定理SAS知，缺少的添加是：一組對應(yīng)邊相等及其對應(yīng)夾角相等．【解答】解：A、若AB=DE，∠B=∠E，BC=EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故符合題意．B