2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練（全國(guó)）專(zhuān)題36 最值模型之逆等線模型解讀與提分精練（原卷版）

專(zhuān)題36最值模型之逆等線模型最值問(wèn)題在各類(lèi)考試中常以壓軸題的形式考查，逆等線模型主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類(lèi)考試中都以高檔題為主，中考說(shuō)明中曾多處涉及。本專(zhuān)題就最值模型中的逆等線問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線） 1模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線） 6模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線） 9模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線） 11模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型 14 19模型1.最值模型-逆等線模型（三角形邊上的逆等線）逆等線：△ABC中，D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，即逆向相等，則稱AD和CE為逆等線。逆等線模型特點(diǎn)：動(dòng)線段長(zhǎng)度相等，并且位置錯(cuò)開(kāi)。條件：如圖，在△ABC中，∠ABC＝，BC=m，AC=n，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，求CD+BE的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以CE為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過(guò)點(diǎn)C作CF//AB，且CF=AC。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ADC≌△CEF(SAS)；證出EF=CD；④CD+BE=EF+BE，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接BF，則BF即為所求，此時(shí)，B、E、F三點(diǎn)共線；⑤求BF。構(gòu)造直角三角形求出BG和FG，再利用勾股定理求出BF即可。例1．（23-24九年級(jí)上·廣東廣州·期中）在等邊三角形中，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，邊上的點(diǎn)從頂點(diǎn)出發(fā)，向頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的大小相等，設(shè)，，y與x的函數(shù)圖象如圖，圖象過(guò)點(diǎn)，則圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．例2．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC上兩動(dòng)點(diǎn)，且AD=CE，連接CD、BE，CD+BE最小值為．

例3．（23-24九年級(jí)下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，，分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．例4．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)E與點(diǎn)D分別在射線與射線上，且，則的最小值為，的最小值為．模型2.最值模型-逆等線模型（非邊上的逆等線）條件：已知三角形ABC中，AB=a，BC=b，CD為高，CE=BF，求AF+BE的最小值。證明思路：①CE在△BEC中，以BF為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過(guò)點(diǎn)B作BG//CE，且BG=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△GFB(SAS)；證出EB=FG；④AF+BE=AF+FG，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時(shí)，A、F、G三點(diǎn)共線；⑤求AG。在直角三角形求利用勾股定理求出AG即可。例1．（2024·安徽合肥·一模）如圖，AD為等邊△ABC的高，E、F分別為線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝CF，當(dāng)BF＋CE取得最小值時(shí)，∠AFB＝A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°例2．（2023·四川成都·一模）如圖，在三角形中，，，于D，M，N分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)最小時(shí)，．例3．（2024·四川樂(lè)山·二模）如圖，等腰中，，平分，點(diǎn)N為上一點(diǎn)，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，且，若當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時(shí)，的長(zhǎng)度是．模型3.最值模型-逆等線模型（同邊上的逆等線）條件：已知在中，∠ACB=90°，AB=a，點(diǎn)E、D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AD=BE，求CD+CE的最小值。證明思路：①BE在△BEC中，以AD為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過(guò)點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△BEC≌△ADF(SAS)；證出CE=FD；④CD+CE=CD+FD，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接CF，則CF即為所求，此時(shí)，F(xiàn)、D、C三點(diǎn)共線；⑤求FC。在直角三角形求利用勾股定理求出FC即可，或利用全等證明FC=AB也可。例1．（23-24八年級(jí)上·北京朝陽(yáng)·期末）如圖，中，，，D，E為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，若，則的最小值為．

例2．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在矩形中，對(duì)角線上有兩動(dòng)點(diǎn)E和F，連接和，若，，，則的最小值是．模型4.最值模型-逆等線模型（特殊平行四邊形的逆等線）特殊的平行四邊形的逆等線模型我們就以矩形為例來(lái)研究即可。條件：已知在矩形ABCD中，AD=a，AB=b，點(diǎn)E、F是邊BC、BD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=DF，求AF+AE的最小值。證明思路：①BE在△ABE中，以DF為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之全等，這個(gè)也叫做一邊一角造全等；②即過(guò)點(diǎn)A作∠FDG=∠ABE=90°，且DG=AB=b。（構(gòu)造一邊一角，得全等）；③構(gòu)造出△ABE≌△GDF(SAS)；證出AE=FG；④AF+AE=AF+FG，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AG，則AG即為所求，此時(shí)，A、F、G三點(diǎn)共線；⑤求AG。先利用相似求出DH和HG（若四邊形為正方形或含特殊角度的菱形也可直接用勾股定理求出兩條線段的長(zhǎng)度），再利用勾股定理求出AG即可。例1．（2023·山東德州·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，，，分別是邊和對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_(kāi)_____．例2．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別是邊和對(duì)角線上的例2．動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是．例3．（2024·福建南平·一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在，上，且，連接，，則的最小值為．模型5.最值模型-加權(quán)逆等線模型條件：已知在中，∠ACB=，AB=a，AC=b，點(diǎn)E、D是線段AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BE=kAD，求AE+kCD的最小值。證明思路：①AD在△ADC中，以BE為一邊構(gòu)造另一個(gè)三角形與之相似，這個(gè)也叫做一邊一角造相似；②即過(guò)點(diǎn)B作∠EBF=∠DAC=90°，且BF=kAC=kb。（構(gòu)造一邊一角，得相似）；③構(gòu)造出△EBF≌△DAC(SAS)；證出EF=kDC；④AE+kCD=AE+EF，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接AF，則AF即為所求，此時(shí)，A、F、E三點(diǎn)共線；⑤求AF。先確定∠GBF=∠ACB=，再利用三角函數(shù)求出BG和FG，最后利用勾股定理求出AF即可。例1．（24-25九年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在等邊中，，E，F(xiàn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為；例2．（24-25九年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，、分別為、上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．例3．（2024·四川成都·?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形ABCD，，，，點(diǎn)E、F為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，，連接AE、CF，則的最小值為．例4．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，上的點(diǎn)，若，則的最小值是．1．（23-24九年級(jí)上·河南安陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，對(duì)角線上有兩動(dòng)點(diǎn)和，連接和，若，，則的最小值是（

）

A．4 B．10 C．6 D．202．（2024·河南商丘·八年級(jí)期中）如圖，等邊△ABC中，AD為BC邊上的高，點(diǎn)M、N分別在AD、AC上，且AM＝CN，連BM、BN，當(dāng)BM+BN最小時(shí)，∠MBN的度數(shù)為（）A．15° B．22.5° C．30° D．47.5°3．（23-24八年級(jí)下·安徽安慶·期末）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)，分別是，邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）若，則；（2）的最小值為．

4．（2024·四川綿陽(yáng)·三模）在中，，，點(diǎn)D，E分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，且，．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，的長(zhǎng)為．5．（23-24八年級(jí)下·江蘇宿遷·期末）如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形中，，E，F(xiàn)分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，，連，，則的最小值為．6．（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）在中，，，，，分別為射線與射線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且，連接，，則最小值為；的最大值為．7．（2024·陜西西安·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，E、F分別是對(duì)角線和邊上的動(dòng)點(diǎn)，滿足．當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度為．8．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，則．

9．（2024·湖北武漢·二模）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點(diǎn)，E、F分別為BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為．10．（23-24九年級(jí)上·福建福州·期末）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在邊，上運(yùn)動(dòng)，且滿足，連接，，則的最小值是．11．（2024·黑龍江綏化·模擬預(yù)測(cè)）如圖：等邊三角形ABC中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．12．（2024·山東濟(jì)南·二模）如圖，在正方形中，、分別是、邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值是．13．（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在中，，，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)、為直角邊向下作直角，且，連接，則的最大值是．

14．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖所示，在矩形中，，，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，則；在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．15．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊和邊上運(yùn)動(dòng)，且滿足，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．616．（23-24九年級(jí)上·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）如圖，在矩形中，，，P，O分別為對(duì)角線邊上的兩點(diǎn)，且，的最小值為．17．（2024·江蘇連云港·中考真題）【問(wèn)題情境】（1）如圖1，圓與大正方形的各邊都相切，小正方形是圓的內(nèi)接正方形，那么大正方形面積是小正方形面積的幾倍？小昕將小正方形繞圓心旋轉(zhuǎn)45°（如圖2），這時(shí)候就容易發(fā)現(xiàn)大正方形面積是小正方形面積的__________倍．由此可見(jiàn)，圖形變化是解決問(wèn)題的有效策略；【操作實(shí)踐】（2）如圖3，圖①是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的四邊形，四邊a、b、c、d之間存在某種數(shù)量關(guān)系．小昕按所示步驟進(jìn)行操作，并將最終圖形抽象成圖4．請(qǐng)你結(jié)合整個(gè)變化過(guò)程，直接寫(xiě)出圖4中以矩形內(nèi)一點(diǎn)P為端點(diǎn)的四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；【探究應(yīng)用】（3）如圖5，在圖3中“④”的基礎(chǔ)上，小