備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第八章-培優(yōu)課-§8-9-空間動態(tài)問題突破

§8.9空間動態(tài)問題

突破[培優(yōu)課]第八章空間向量與立體幾何空間動態(tài)問題，是高考?？碱}型，常以客觀題出現(xiàn).常見題型有空間位置關(guān)系判定、軌跡問題、最值問題、范圍問題等.例1

(1)(2023·昆明模擬)已知P，Q分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上的動點(不與頂點重合)，則下列結(jié)論錯誤的是A.AB⊥PQB.平面BPQ∥平面ADD1A1C.四面體ABPQ的體積為定值D.AP∥平面CDD1C1√題型一空間位置關(guān)系的判定對于A，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，∵PQ?平面BCC1B1，∴AB⊥PQ，故A正確；對于B，∵平面ADD1A1∥平面BCC1B1，平面BPQ與平面BCC1B1重合，∴平面BPQ∥平面ADD1A1，故B正確；對于C，∵A到平面BPQ的距離AB為定值，Q到BP的距離為定值，BP的長不是定值，∴四面體ABPQ的體積不為定值，故C錯誤；對于D，∵平面ABB1A1∥平面CDD1C1，AP?平面ABB1A1，∴AP∥平面CDD1C1，故D正確.(2)已知等邊△ABC的邊長為6，M，N分別為邊AB，AC的中點，將△AMN沿MN折起至△A′MN，在四棱錐A′－MNCB中，下列說法正確的是①直線MN∥平面A′BC；②當四棱錐A′－MNCB體積最大時，平面A′MN⊥平面MNCB；③在折起過程中存在某個位置使BN⊥平面A′NC；④當四棱錐A′－MNCB體積最大時，它的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為

.A.①②

B.①③C.②③

D.③④√因為MN∥BC，MN?平面A′BC，BC?平面A′BC，所以直線MN∥平面A′BC，故①正確；因為四棱錐A′－MNCB的底面積為定值，所以當點A′到平面MNCB距離最大時，體積最大，此時平面A′MN⊥平面MNCB，滿足題意，故②正確；如圖，若BN⊥平面A′NC，則BN⊥AA′，又A′D⊥MN，AD⊥MN，A′D∩AD＝D，可知MN⊥平面A′AD，所以A′A⊥MN，又MN∩BN＝N，所以A′A⊥平面MNCB，這顯然不可能，故③錯誤；當四棱錐A′－MNCB體積最大時，平面A′MN⊥平面MNCB，如圖，則E是等腰梯形MNCB外接圓的圓心，F(xiàn)是△A′MN的外心，作OE⊥平面MNCB，連接OF，則OF⊥平面A′MN，則O是四棱錐A′－MNCB外接球的球心，故球O的表面積為4πR2＝39π，故④錯誤.解決空間位置關(guān)系的動點問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系定理”轉(zhuǎn)化.(2)建立“坐標系”計算.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2022·杭州質(zhì)檢)如圖，點P在正方體ABCD－A1B1C1D1的面對角線BC1上運動，則下列結(jié)論一定成立的是

A.三棱錐A－A1PD的體積大小與點P的位置有關(guān)B.A1P與平面ACD1相交C.平面PDB1⊥平面A1BC1D.AP⊥D1C√對于選項A，

在正方體中，BC1∥平面AA1D，所以點P到平面AA1D的距離不變，即三棱錐P－AA1D的高不變，又△AA1D的面積不變，因此三棱錐P－AA1D的體積不變，即三棱錐A－A1PD的體積與點P的位置無關(guān)，故A不成立；對于選項B，由于BC1∥AD1，AD1?平面ACD1，BC1?平面ACD1，所以BC1∥平面ACD1，同理可證BA1∥平面ACD1，又BA1∩BC1＝B，所以平面BA1C1∥平面ACD1，因為A1P?平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B不成立；對于選項C，因為A1C1⊥BD，A1C1⊥BB1，BD∩BB1＝B，所以A1C1⊥平面BB1D，則A1C1⊥B1D；同理A1B⊥B1D，又A1C1∩A1B＝A1，所以B1D⊥平面A1BC1，又B1D?平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面A1BC1，故C成立；題型二軌跡問題例2

(1)(2023·韶關(guān)模擬)設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，P為底面正方形ABCD內(nèi)的一動點，若△APC1的面積S＝

，則動點P的軌跡是A.圓的一部分

B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分

D.橢圓的一部分√設(shè)d是△APC1邊AC1上的高，直線AC1與平面ABCD既不平行也不垂直，所以點P的軌跡是平面ABCD上的一個橢圓，其中只有一部分在正方形ABCD內(nèi).(2)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點，M點是正方形ABB1A1內(nèi)的動點，若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為______.如圖所示，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E，又C1G?平面CD1EF，D1E?平面CD1EF，所以C1G∥平面CD1EF.同理可得C1H∥CF，C1H∥平面CD1EF.因為C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF.由M點是正方形ABB1A1內(nèi)的動點可知，若C1M∥平面CD1EF，則點M在線段GH上，解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定.(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定，或用代替法進行計算.(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除.思維升華A.圓

B.橢圓C.雙曲線的一部分

D.拋物線的一部分√建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)OB＝OA＝1，則B(0,1,0)，A(0,0,1)，P(x，y,0)，所以點P的軌跡是橢圓.3π如圖，當r＝1時，點P在正方體表面上的軌跡分別是以A為圓心，1為半徑的三個面上的三段弧，分別為

，

，

，當r＝

時，點P在正方體表面上的軌跡為在平面A1B1C1D1上以A1為圓心，1為半徑的

，在平面B1BCC1上為以B為圓心，1為半徑的

，在平面DCC1D1上為以D為圓心，1為半徑的

，最值、范圍問題例3

(1)如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，現(xiàn)將△ACD沿對角線AC折起，使平面ACD′⊥平面ACB，則此時空間四面體ABCD′體積的最大值為

題型三√取AC的中點O，連接D′O(圖略).設(shè)∠ABC＝α，α∈(0，π)，因為D′O⊥平面ABC，(2)在三棱錐P－ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，D為棱PC上一動點，PA＝AC＝2，AB＝3.當BD與平面PAC所成角最大時，AD與平面PBC所成角的正弦值為________.因為在三棱錐P－ABC中，PA，AB，AC兩兩垂直，所以AB⊥平面PAC，則BD與平面PAC所成的角為∠ADB，當AD取得最小值時，∠ADB取得最大值.在等腰Rt△PAC中，當D為PC的中點時，AD取得最小值.以A為坐標原點，AB，AC，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，D(0,1,1)，設(shè)平面PBC的法向量為n＝(x，y，z)，在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、面在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值，即可求解.(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)在四面體ABCD中，若AD＝DB＝AC＝CB＝1，則四面體ABCD體積的最大值是√如圖，取AB的中點E，連接CE，DE，當平面ABC⊥平面ABD時，四面體ABCD的體積最大，(2)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別為B1C1，C1D1的中點，P是底面A1B1C1D1上一點.若AP∥平面BEF，則AP長度的最小值是______，最大值是_____.如圖，取A1D1的中點N，A1B1的中點M，連接AM，AN，MN，NE，B1D1，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，N分別為B1C1，A1D1的中點，∴EN∥A1B1∥AB，EN＝A1B1＝AB，∴四邊形ABEN為平行四邊形，∴AN∥BE，又AN?平面BEF，BE?平面BEF，∴AN∥平面BEF，∵E，F(xiàn)分別為B1C1，C1D1的中點，由中位線性質(zhì)知EF∥B1D1，同理可知MN∥B1D1，∴MN∥EF，又MN?平面BEF，EF?平面BEF，∴MN∥平面BEF，又AN∩MN＝N，AN，MN?平面AMN，∴平面AMN∥平面BEF，∵P是底面A1B1C1D1上一點，且AP∥平面BEF，∴P∈MN，在等腰△AMN中，當AP的長度最大時，P在M點或N點，課時精練1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，且BM∥平面ACD1，則tan∠DMD1的最大值為

因為當M在直線A1C1上時，都滿足BM∥平面ACD1，√123456789102.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱DD1，BB1上的動點(異于所在棱的端點).則下列結(jié)論不正確的是

A.在點F運動的過程中，直線FC1可能與AE平行B.直線AC1與EF相交C.設(shè)直線AE，AF分別與平面A1B1C1D1相交于點P，Q，

則點C1可能在直線PQ上D.設(shè)直線AE，AF分別與平面A1B1C1D1相交于點P，Q，則點C1一定不在

直線PQ上√1234567891012345678910在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝C1D1，DD1＝BB1，B1C1＝AD，連接C1E，AC1，EF，當點E，F(xiàn)分別是棱DD1，BB1的中點時，故AE＝C1F，同理可得AF＝C1E，故四邊形AEC1F是平行四邊形，所以在點F運動的過程中，直線FC1可能與AE平行，AC1與EF相交，A正確，B正確；12345678910以C1為坐標原點，C1D1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則當點E，F(xiàn)分別是棱DD1，BB1中點且?guī)缀误wABCD－A1B1C1D1為正方體時，設(shè)棱長為2，延長AE，A1D1交于點M，延長AF，A1B1交于點N，連接MN，則C1(0,0,0)，M(2，－2，0)，N(－2，2，0)，12345678910又兩向量有公共點C1，所以C1，M，N三點共線，故點C1可能在直線PQ上，C正確，D錯誤.3.(2023·廣州模擬)點P為棱長是

的正方體ABCD－A1B1C1D1的內(nèi)切球O球面上的動點，點M為B1C1的中點，若滿足DP⊥BM，則動點P的軌跡的長度為A.π B.2π C.4π D.π√1234567891012345678910取BB1

的中點N，連接CN，則CN⊥BM，∴CN為DP在平面B1C1CB中的射影，∴點P的軌跡為過D，C，N的平面與內(nèi)切球的交線，∴截面圓的半徑為2，∴點P的軌跡的長度為2π×2＝4π.123456789104.如圖，在等腰Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，D，E分別是線段AB，AC上異于端點的動點，且DE∥BC，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起至△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCED，當D從B滑動到A的過程中，下列選項中正確的是A.∠A′DB的大小會發(fā)生變化B.二面角A′－BD－C的平面角的大小

不會發(fā)生變化C.三棱錐A′－EBC的體積先變小再變大D.A′B與DE所成的角先變大后變小√12345678910設(shè)A′D＝a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2＋BE2，∴∠A′DB的大小不會發(fā)生變化，故A錯誤；由三垂線法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小為定值，故B正確；12345678910設(shè)A′E＝x，則CE＝2－x(0<x<2)，則V三棱錐A′－BCE＝V三棱錐B－A′CE由二次函數(shù)的單調(diào)性，可知V先變大后變小，故C錯誤；A′B與DE所成的角先變小后變大，故D錯誤.5.在空間直角坐標系Oxyz中，正四面體P－ABC的頂點A，B分別在x軸、y軸上移動.若該正四面體的棱長是2，則|OP|的取值范圍是12345678910√12345678910如圖所示，若固定正四面體P－ABC的位置，則原點O在以AB為直徑的球面上運動.所以原點O到點P的最小距離等于PM減去球M的半徑，最大距離是PM加上球M的半徑，123456789106.已知正四面體D－ABC，點E，F(xiàn)分別為棱CD，AC的中點，點M為線段EF上的動點，設(shè)EM＝x，則下列說法正確的是

A.直線DA與直線MB所成的角隨x的增大而增大B.直線DA與直線MB所成的角隨x的增大而減小C.直線DM與平面ABD所成的角隨x的增大而增大D.直線DM與平面ABD所成的角隨x的增大而減小√12345678910因為E，F(xiàn)分別為DC，AC的中點，所以EF∥DA，所以直線DA與直線MB所成的角等于直線EF與BM所成的角.在等腰△BEF中，直線EF與BM所成的角隨著x的增大先增大，再減小，當M運動到EF中點時取到最大值，故A，B選項說法錯誤；12345678910因為EF∥AD，EF?平面ABD，AD?平面ABD，所以EF∥平面ABD，所以隨著x的增大，d保持不變，MD在增大，所以sinα的值在減小，即α隨著x的增大而減小，故C選項說法錯誤，D選項說法正確.123456789107.如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點，N為ABCD所在平面內(nèi)一動點，則下列命題正確的是

A.若MN與平面ABCD所成的角為

，則點N的軌跡為橢圓B.若MN＝4，則MN的中點P的軌跡所圍成圖形的面積為2πC.若點N到直線BB1與到直線DC的距離相等，則點N的軌跡為拋物線D.若D1N與AB所成的角為

，則點N的軌跡為橢圓√如圖所示，對于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND為MN與平面ABCD所成的角，所以點N的軌跡為以D為圓心，2為半徑的圓，故A錯誤；1234567891012345678910對于C，連接NB，因為BB1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以點N到直線BB1的距離為NB，因為點N到點B的距離等于點N到定直線CD的距離，又B不在直線CD上，所以點N的軌跡為以B為焦點，CD為準線的拋物線，故C正確；對于D，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，設(shè)N(x，y,0)，12345678910所以點N的軌跡為雙曲線，故D錯誤.123456789108.如圖，在四棱錐P－ABCD中，頂點P在底面的投影O恰為正方形ABCD的中心，且AB＝

，設(shè)點M，N分別為線段PD，PO上的動點，已知當AN＋MN取最小值時，動點M恰為PD的中點，則該四棱錐外接球的表面積為

√12345678910如圖，在PC上取點M′，使得PM＝PM′，連接NM′，則MN＝M′N，AN＋MN＝AN＋M′N，則當A，N，M′三點共線時，AN＋M′N最小，為AM′，當AM′⊥PC時，AM′取得最小值，即AN＋NM′的最小值.因為此時M恰為PD的中點，所以M′為PC的中點，易知外接球的球心在四棱錐內(nèi)部，設(shè)外接球的半徑為r，123456789109.在三棱錐A－BCD中，AB，AC，AD兩兩垂直且長度均為6，定長為l(l＜4)的線段MN的一個端點M在棱AB上運動，另一個端點N在△ACD內(nèi)運動(含邊界)，若線段MN的中點