第10講-冪函數(shù)-2022年新高一數(shù)學(xué)(人教版2019必修第一冊)(原卷版)

第10講冪函數(shù)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過具體實例，結(jié)合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．【基礎(chǔ)知識】一、冪函數(shù)的概念1.一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)(powerfunction)，其中x是自變量，α是常數(shù)．2．冪函數(shù)的特征(1)xα的系數(shù)是1；(2)xα的底數(shù)x是自變量；(3)xα的指數(shù)α為常數(shù)．只有滿足這三個條件，才是冪函數(shù)．對于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函數(shù)都不是冪函數(shù)．二、一些常用冪函數(shù)的圖象同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,2))的圖象(如圖)．三、冪函數(shù)的性質(zhì)1.所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)；2.如果α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過原點，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；3.如果α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點時，圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點趨向于＋∞時，圖象在x軸上方無限接近x軸；4.在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸．【考點剖析】考點一：冪函數(shù)的定義例1．（2021-2022學(xué)年河北省滄州市高一上學(xué)期期末）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如的函數(shù)為冪函數(shù)，則為冪函數(shù).故選C.考點二：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2．（2021-2022學(xué)年河北省博野中學(xué)高一上學(xué)期開學(xué)考試）函數(shù)和的圖象如圖所示，有下列四個說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時，那么.其中正確的是（

）.A．①④ B．① C．①② D．①③④【答案】A【解析】當(dāng)三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關(guān)系時，可得，所以，若，可得，所以①正確；當(dāng)三個函數(shù)的圖象依，和次序呈上下關(guān)系時，或，所以，若，可得，所以②錯誤；由于當(dāng)三個函數(shù)的圖象沒有出現(xiàn)和次序的上下關(guān)系，所以③錯誤；當(dāng)三個函數(shù)的圖象依和次序呈上下關(guān)系時，，所以，若時，可得，所以④正確.故選A．考點三：利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小例3．比較下列各題中兩個值的大小：（1）和

（2）和.【解析】（1）考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是增函數(shù)，而且，所以.（2）考察冪函數(shù)，因為其在區(qū)間上是減函數(shù)，而且，所以.考點四：冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例4．（多選）（2021-2022學(xué)年廣東省普寧市高一上學(xué)期期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(9,3)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．為偶函數(shù) B．為增函數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】BCD【解析】將點代入函數(shù)得：，則，所以，∴的定義域為，所以不具有奇偶性，所以A不正確；函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，所以B正確；當(dāng)時，，即，所以C正確；若時，==.即成立，所以D正確.故選BCD.【真題演練】1.（2021-2022學(xué)年廣西憑祥市高級中學(xué)高一下學(xué)期素質(zhì)檢測）冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的值為（

）A． B．3 C．或3 D．2.（2021-2022學(xué)年四川省南充高級中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知冪函數(shù)（a是常數(shù)），則（

）A．的定義域是R B．在單調(diào)遞增C．過定點 D．可能過定點3.（2020-2021學(xué)年上海市晉元高級中學(xué)高一上學(xué)期期中）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的大致圖象是（

）A． B．C． D．4.（多選）（2021-2022學(xué)年廣東省深圳市光明區(qū)高一上學(xué)期期末）已知冪函數(shù)，則（

）A． B．定義域為C． D．5.（多選）（2021-2022學(xué)年湖北省十堰市區(qū)縣普通高中聯(lián)合體高一上學(xué)期期中）黃同學(xué)在研究冪函數(shù)時，發(fā)現(xiàn)有的具有以下三個性質(zhì)：①是奇函數(shù)；②值域是且；③在上是減函數(shù)則以下冪函數(shù)符合這三個性質(zhì)的有（

）A． B．C． D．6.（2021-2022學(xué)年甘肅省慶陽市寧縣高一上學(xué)期期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為______．7.（2021-2022學(xué)年湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”高一下學(xué)期期中）已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，則___________．8.（2021-2022學(xué)年廣西十八校高一10月聯(lián)考）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【過關(guān)檢測】1.（2021-2022學(xué)年安徽省宣城市六校高一上學(xué)期期中）已知點（a，2）在冪函數(shù)的圖象上，則函數(shù)f（x）的解析式是（

）A． B．C． D．2.下列命題中正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象一定過點（0，0）和點（1，1）B．若函數(shù)f（x）＝xn是奇函數(shù)，則它在定義域上單調(diào)遞增C．冪函數(shù)的圖象上的點一定不在第四象限D(zhuǎn)．冪函數(shù)的圖象不可能是直線3.（2021-2022學(xué)年】河北省石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一上學(xué)期月考）已知冪函數(shù)的圖象過點，則下列關(guān)于說法正確的是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．在單調(diào)遞減 D．定義域為4.（2021-2022學(xué)年河南省鄭州市中牟縣高一上學(xué)期期中）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．若，則C．為偶函數(shù)D．若，則5.（多選）下列關(guān)于冪函數(shù)的性質(zhì)說法正確的有（

）A．當(dāng)時，函數(shù)在其定義域上遞減B．當(dāng)時，函數(shù)圖象是一條直線C．當(dāng)時，函數(shù)是偶函數(shù)D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)為6.（2021-2022學(xué)年福建省漳州市高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是增函數(shù)C．函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點D．函數(shù)的最小值為07.（2021-2022學(xué)年四川省德陽市什邡市什邡中學(xué)高一下學(xué)期月考）已知點在冪函數(shù)的圖象上，則=_______．8.（2021-2022學(xué)年遼寧省名校聯(lián)盟高一上學(xué)期12月月考）寫出一個同