備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第九章-§9-11-圓錐曲線中求值與證明問題

第九章平面解析幾何§9.11

圓錐曲線中求

值與證明問題例1

(2022·新高考全國Ⅰ)已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：

＝1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0.(1)求l的斜率；題型一求值問題由題易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程，消去y整理得(2k2－1)x2＋4kmx＋2m2＋2＝0，整理得(k＋1)(m＋2k－1)＝0，又直線l不過點(diǎn)A，即m＋2k－1≠0，故k＝－1.求值問題即是根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的方程，通過解方程求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的方程為y＝x＋t，其中0<t<1，則D(0，t)，題型二證明問題例2

(2023·邵陽模擬)已知拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸上，過F且垂直于x軸的直線交C于A(點(diǎn)A在第一象限)，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；由拋物線C的焦點(diǎn)F在x軸上，點(diǎn)A在第一象限，可知拋物線開口向右.設(shè)拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，可得|y|＝p，由|AB|＝2p＝4，得p＝2，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.(2)已知l為C的準(zhǔn)線，過F的直線l1交C于M，N(M，N異于A，B)兩點(diǎn)，證明：直線AM，BN和l相交于一點(diǎn).由(1)可知A(1,2)，B(1，－2).設(shè)直線l1的方程為x＝my＋1，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.圓錐曲線證明問題的類型及求解策略(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等).(2)解決證明問題時(shí)，主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計(jì)算等進(jìn)行證明.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(2)動(dòng)直線y＝

＋t(t≠0)與橢圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，EF的中點(diǎn)為M，連接OM(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，證明：|ME|·|MF|＝|MP|·|MQ|.課時(shí)精練基礎(chǔ)保分練(1)求橢圓C的方程；12341234∵兩焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成一個(gè)正方形，∴b＝c，1234123412342.(2022·鄭州模擬)如圖，已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為拋物線Γ上一點(diǎn)，直線AO與l交于點(diǎn)C，直線AF與拋物線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為B.(1)證明：直線BC∥x軸；1234123412341234(2)設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為E，連接BE，且BE⊥BF.證明：||AF|－|BF||＝8.12341234|AF|＝x1＋2，|BF|＝x2＋2，所以可證||AF|－|BF||＝|x1－x2|＝8.1234綜合提升練1234由題意可知A(－a,0)，B(a,0)，設(shè)M(x1，y1)，顯然－b≤y1≤b，12341234(2)設(shè)直線AM與定直線x＝t(t>2)交于點(diǎn)T，記直線TF，AM，BN的斜率分別是k0，k1，k2，若k1，k0，k2成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值.1234由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，B(2,0)，由題意可知直線l的斜率不為零，所以設(shè)直線l的方程為x＝my＋1，與橢圓方程聯(lián)立，得123412341234拓展沖刺練12341234(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)在C上，且x1>x2>0，y1>0.過P且斜率為－

的直線與過Q且斜率為

的

直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.1234由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋t(k≠0)，將直線PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，1234若選擇①②：因?yàn)镻Q∥AB，所以直線AB的方程為y＝k(x－2)，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，1234123412341234當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，易知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，12341234若選擇②③：因?yàn)镻Q∥AB，所以直線