空間向量-向量法在立體幾何中的應(yīng)用

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1.常見角的范圍：（1）異面直線的夾角：0＜θ≤eq\f(π,2)；（2）直線與平面所成的角：0≤θ≤eq\f(π,2)；（3）二面角：0≤θ≤π；（4）直線的傾斜角：0≤θ＜π；（5）向量的夾角：0≤θ≤π；2.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：3.空間向量與距離的關(guān)系：（1）點到線的距離如上圖，點C為直線AB外一點，則點C到直線AB的距離：，因為，所以可以求出，進(jìn)而求出.

（2）點到面的距離如下圖，設(shè)直線AB為平面的一條斜線，點A在平面內(nèi)，點B在平面外，為平面的法向量，設(shè)，則.點B到平面的距離：.注意：點到面的距離有時也可以用等體積法來求解。另外，由于知道了，所以可以求出的值，進(jìn)而可以求出點A到直線OB的距離為：；點O到AB的距離：.（3）線到面的距離如下圖，直線AD平行于平面A1BCD1（直線AD平行于直線A1D1），則直線AD到平面A1BCD1的距離等于直線AD上任意一點到平面A1BCD1的距離（線面距轉(zhuǎn)化為點面距），設(shè)為平面A1BCD1的法向量。所以，直線AD到平面A1BCD1的距離：或者；或者或者.（4）異面直線的距離如上圖（同（3）中的圖），直線AD和直線BC為異面直線，直線A1D1平行于直線AD且與直線BC共面，則異面直線AD和直線BC的距離等于直線AD到平面A1BCD1的距離（線線距轉(zhuǎn)化為線面距，線面距再轉(zhuǎn)化為點面距）。所以，異面直線AD和直線BC的距離的求法和直線AD到平面A1BCD1的距離的求法相同。注意：異面直線的距離有時會以求兩異面直線最短距離為考查點。（5）平行直線的距離如上圖，直線AB平行于直線CD，則直線AB和直線CD間的距離等于直線AB上任意一點到直線CD的距離（線線距轉(zhuǎn)化為點線距）。所以，直線AB和直線CD間的距離：（詳見“點到直線距離”的求法）（6）面到面的距離如上圖，平面平行于平面，，為兩平面的法向量，則平面到平面的距離等于平面內(nèi)任意一點到平面的距離（面面距轉(zhuǎn)化為點面距）。注意：二面角的夾角有時可用面積投影法來求解。所以，平面到平面的距離：.4.說明：用幾何法解立體幾何題時，一般是“一作、二證、三計算”，其中“證”是難點，該方法過程繁瑣，耗時長，計算量大，但步步緊湊，中間過程不易出錯，即使出錯（一般是計算出錯），仍可以得到很多步驟分。用向量法解立體幾何題時，一般是“一建系、二求坐標(biāo)、三求法向量、四應(yīng)用公式”，其中建系和求法向量是難點，該方法過程簡單，操作方便，思考難度小，但過程中一旦坐標(biāo)求解出錯，幾乎全題皆錯，得不到任何步驟分。所以，在解立體幾何題時，要綜合利用幾何法和向量法：對于計算簡單、輔助線少的題目盡量選用幾何法；對于思考難度大、計算復(fù)雜的題目則用向量法；有時可以同時使用幾何法和向量法。例1.（2016全國）如圖，菱形的對角線與交于點，，點分別在上，，交于點．將沿折到位置，．（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若M、N分別為D、B、AC上的動點，求MN長度的最小值例2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=AA1=1，點M為AB1的中點，點P為對角線AC變式訓(xùn)練：1.二面角QUOTEα-l-β為，A、B是棱l上的兩點，AC、BD分別在半平面QUOTEα，，

QUOTEAC⊥l，BD⊥l，且QUOTEAB=AC=a，BD=2a，則CD的長為________________2.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1QUOTEABCD-A1B1C1D1中，點P在截面QUOTEA1DB則線段AP的最小值等于_____________

3.如圖，在棱長為1的正方體QUOTEABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是線段QUOTECC1，BD、上的點，R是直線AD上的點，滿足QUOTEPQ//平面，QUOTEABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方體的頂點，則QUOTE|PR|的最小值是____________________4.在平行四邊形ABCD中，，。QUOTEBC=2AB=2，∠B=60°，點E是線段AD上任一點(QUOTE(不包含點D)，沿直線CE將QUOTE△CDE翻折成QUOTE△CD'E，使在平面ABCE上的射影F落在直線CE上，則QUOTEAD'的最小值是______________5.正四面體ABCD的棱長為2，棱AD與平面所成的角QUOTEθ∈[π3，π2]，且頂點A在平面QUOTEα內(nèi)，B、C、D均在平面QUOTEα外，則棱BC的中點E到平面QUOTEα的距離的取值范圍是___________

6.如圖，在單位正方體QUOTEABCD-A1B1C1D1中，點P在線段QUOTEAD1上運(yùn)動，給出以下四個命題：=1\*GB3①Q(mào)UOTE①異面直線QUOTEA1P與QUOTEBC1間的距離為定值；

QUOTE②=2\*GB3②三棱錐QUOTED-BPC1的體積為定值；

QUOTE③=3\*GB3③異面直線QUOTEC1P與直線QUOTECB1所成的角為定值；

QUOTE④=4\*GB3④二面角QUOTEP-BC1-D的大小為定值．

其中真命題是________________（填序號）7.如圖所示，在單位正方體QUOTEABCD-A1B1C1D1的面對角線QUOTEA1B上存在一點P使得QUOTEAP+D1P最短，則QUOTEAP+D1P的最小值為______8.如圖，在直三棱柱QUOTEA1B1C1-ABC中，，QUOTE∠BAC=π2，AB=AC=A1A=1，已知G與E分別是棱QUOTEA1B1和QUOTECC1的中點，D與F分別是線段AC與AB上的動點(不包括端點).若QUOTEGD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍是______________QUOTE(??)

9.如圖，四棱錐QUOTEP-ABCD的底面ABCD是直角梯形，,QUOTE∠ABC=90°，BC//AD，且QUOTEAB=AD=2BC，頂點P在底面ABCD內(nèi)的射影恰好落在AB的中點O上。（1）求證：QUOTEPD⊥AC；

（2）若QUOTEPO=AB，求直線PD與AB所成角的余弦值；

（3）若平面APB與平面PCD所成的二面角為QUOTE45°，求QUOTEPOBC的值。

10.在直角梯形ABCD中，，，QUOTEAD//BC，BC=2AD=2AB=22，∠ABC=90°，如圖1把QUOTE△ABD沿BD翻折，使得平面QUOTEABD⊥平面BCD，如圖2.

（1）求證：QUOTECD⊥AB；

（2）若點M為線段BC中點，求點M到平面ACD的距離；

（3）在線段BC上是否存在點N，使得AN與平面ACD所成角為QUOTE60°？若存在，求出QUOTEBNBC的值；若不存在，說明理由。

11.（2006江西）如圖，在三棱錐A－BCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝，BD＝CD＝1，另一個側(cè)面是正三角形。（1）求證：AD^BC（2）求二面角B－AC－D的大?。?）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在確定E的位置；若不存在，說明理由。12.（2013全國）如圖,四棱錐中,與都是等邊三角形.（1）證明：（2）求二面角的大小。13.（2014山東）如圖1-3所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°，AB＝2CD＝2，M是線段AB圖1-3（1）求證：C1M∥平面A1ADD1（2）若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝eq\r(3)，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值。14.（2006江蘇）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB＝CF：FA＝CP：PB＝1：2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（