2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I2.8函數(shù)與方程講義理蘇教版

§2.8函數(shù)與方程基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使函數(shù)y＝

的值為0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn).(2)幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與

有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有

.知識(shí)梳理f(x)x軸零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且有

，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間

上有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得

，這個(gè)

也就是方程f(x)＝0的根.2.二分法對(duì)于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且

的函數(shù)y＝f(x)，通過(guò)不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近

，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.f(a)·f(b)<0(a，b)f(c)＝0

c

f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)_____________________無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)_________(x1，0)，(x2，0)(x1，0)210知識(shí)拓展有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).(

)(2)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)<0.(

)(3)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值.(

)(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn).(

)(5)若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有且只有一個(gè)零點(diǎn).(

)×××√√考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)函數(shù)f(x)＝

－()x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.答案解析1f(x)是增函數(shù)，又f(0)＝－1，f(1)＝

，∴f(0)f(1)<0，∴f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn).2.(教材改編)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)為1，3，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的對(duì)稱軸是

.答案解析∵y＝a(x－1)(x－3)＝a(x－2)2－a，∴對(duì)稱軸為x＝2.x＝2③答案解析4.函數(shù)f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1，1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析∵函數(shù)f(x)的圖象為直線，由題意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得<a<1，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.5.(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0，1)上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析(－2，0)結(jié)合二次函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a的圖象知題型分類深度剖析題型一函數(shù)零點(diǎn)的確定命題點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間例1

(1)(2016·鹽城調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝ln

x－

x－2的零點(diǎn)為x0，則x0所在的區(qū)間是

.(填序號(hào))①(0，1)；

②(1，2)；③(2，3)；

④(3，4).答案解析③∴x0∈(2，3).(2)設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝()x－2的圖象的交點(diǎn)為(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，則x0所在的區(qū)間是

.答案解析令f(x)＝x3－()x－2，則f(x0)＝0，易知f(x)為增函數(shù)，且f(1)<0，f(2)>0，∴x0所在的區(qū)間是(1，2).(1，2)命題點(diǎn)2函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2

(1)函數(shù)f(x)＝

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.答案解析2當(dāng)x≤0時(shí)，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù).又因?yàn)閒(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一個(gè)零點(diǎn)，綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(2)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.答案解析由題意知，f(x)是周期為2的偶函數(shù).在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y＝f(x)及y＝log3|x|的圖象，如圖，觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)它們有4個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)－log3|x|有4個(gè)零點(diǎn).4(1)確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，可利用零點(diǎn)存在性定理或數(shù)形結(jié)合法.(2)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：①解方程法；②零點(diǎn)存在性定理、結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)；③數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)已知函數(shù)f(x)＝

－log2x，在下列區(qū)間中，包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是

.(填序號(hào))①(0，1)；

②(1，2)；③(2，4)；

④(4，＋∞).答案解析所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(2，4).③(2)(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝2x－3x，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.答案解析2令f(x)＝0，則2x＝3x，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出y＝2x和y＝3x的圖象，如圖所示，由圖知函數(shù)y＝2x和y＝3x的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.題型二函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用例3

(1)函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是

.答案解析(0，3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2x－

－a在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，又函數(shù)f(x)＝2x－

－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1，2)內(nèi)，則有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0＜a＜3.(2)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析(0，1)∪(9，＋∞)幾何畫板展示設(shè)y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，在同一直角坐標(biāo)系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的圖象如圖所示.由圖可知f(x)－a|x－1|＝0有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根等價(jià)于y1＝|x2＋3x|與y2＝a|x－1|的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)且4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都小于1，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又由圖象得a>0，∴0<a<1或a>9.引申探究本例(2)中，若f(x)＝a恰有四個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

.答案解析作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a的圖象如下：當(dāng)x＝0或x＝－3時(shí)，y1＝0，由圖象易知，當(dāng)y1＝|x2＋3x|和y2＝a的圖象有四個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0<a<.已知函數(shù)零點(diǎn)情況求參數(shù)的步驟及方法(1)步驟：①判斷函數(shù)的單調(diào)性；②利用零點(diǎn)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式(組)；③解不等式(組)，即得參數(shù)的取值范圍.(2)方法：常利用數(shù)形結(jié)合法.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a(a<0)在區(qū)間(0，1)上有零點(diǎn)，則a的取值范圍為

.答案解析(－2，0)∵－a＝x2＋x在(0，1)上有解，∴函數(shù)y＝x2＋x，x∈(0，1)的值域?yàn)?0，2)，∴0<－a<2，∴－2<a<0.(2)(2016·江蘇前黃中學(xué)調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝

－kx2有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

.答案解析(－∞，－4)幾何畫板展示令f(x)＝0，則方程

＝kx2有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，顯然，x＝0是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根.當(dāng)x≠0時(shí)，方程可化為

＝|x|(x－1)，設(shè)h(x)＝

，g(x)＝|x|(x－1)，由題意知h(x)與g(x)圖象(如圖所示)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，題型三二次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題例4

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2(x1<x2)，則(x1－1)(x2－1)<0，∴x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.方法二函數(shù)圖象大致如圖，則有f(1)<0，即1＋(a2－1)＋a－2<0，∴－2<a<1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－2，1).解決與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)問(wèn)題(1)利用一元二次方程的求根公式.(2)利用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系.(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(2016·江蘇泰州中學(xué)質(zhì)檢)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根，且一根大于3，一根小于1，則m的取值范圍是

.答案解析設(shè)f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，(1)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解參數(shù)范圍.(2)“a＝f(x)有解”型問(wèn)題，可以通過(guò)求函數(shù)y＝f(x)的值域解決.典例(1)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.(2)若關(guān)于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

利用轉(zhuǎn)化思想求解函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題思想與方法系列4(1，＋∞)思想方法指導(dǎo)答案解析幾何畫板展示函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程ax－x－a＝0有兩個(gè)根，即函數(shù)y＝ax與函數(shù)y＝x＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)0<a<1時(shí)，圖象如圖(1)所示，此時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a>1時(shí)，圖象如圖(2)所示，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn).∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(1，＋∞).課時(shí)作業(yè)123456789101112131.(2016·江蘇東海中學(xué)期中)若函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)g(x)＝f(x)－x的零點(diǎn)為

.答案解析題目轉(zhuǎn)化為求方程f(x)＝x的根，142.若函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(n，n＋1)(n∈Z)，則n＝

.答案解析2由f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，知f(x)＝0的根在區(qū)間(2，3)內(nèi)，即n＝2.12345678910111213143.已知三個(gè)函數(shù)f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零點(diǎn)依次為a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為

.答案解析a<c<b1234567891011121314故f(x)＝2x＋x的零點(diǎn)a∈(－1，0).∵g(2)＝0，∴g(x)的零點(diǎn)b＝2；且h(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，1234567891011121314方法二由f(x)＝0得2x＝－x；由h(x)＝0得log2x＝－x，作出函數(shù)y＝2x，y＝log2x和y＝－x的圖象(如圖).由圖象易知a<0，0<c<1，而b＝2，故a<c<b.12345678910111213144.方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個(gè)數(shù)是

.答案解析(數(shù)形結(jié)合法)∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個(gè)交點(diǎn).212345678910111213145.函數(shù)f(x)＝

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.答案解析當(dāng)x≤0時(shí)，令f(x)＝0，得x2－1＝0，∴x＝－1，此時(shí)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x>0時(shí)，令f(x)＝0，得x－2＋ln

x＝0，在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出y＝2－x和y＝ln

x的圖象(圖略)，觀察其圖象可知函數(shù)y＝2－x和y＝ln

x的圖象在(0，＋∞)上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1，所以此時(shí)函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，所以f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.212345678910111213146.已知x∈R，符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)＝

－a(x≠0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析123456789101112131412345678910111213147.(2016·徐州模擬)已知函數(shù)f(x)＝

則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為

.答案解析x＝0當(dāng)x≤1時(shí)，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；又因?yàn)閤>1，所以此時(shí)方程無(wú)解.綜上，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)只有0.12345678910111213148.已知函數(shù)f(x)＝

若存在實(shí)數(shù)b，使函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是

.答案解析(－∞，0)∪(1，＋∞)令φ(x)＝x3(x≤a)，h(x)＝x2(x>a)，函數(shù)g(x)＝f(x)－b有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝b有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象(圖略)可得a<0或φ(a)>h(a)，即a<0或a3>a2，解得a<0或a>1，故a∈(－∞，0)∪(1，＋∞).12345678910111213149.(2016·天津)已知函數(shù)f(x)＝ (a>0，且a≠1)在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f(x)|＝2－

恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是

.答案解析1234567891011121314因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，作出函數(shù)y＝|f(x)|，y＝2－

的圖象如圖.由圖象可知，在[0，＋∞)上，|f(x)|＝2－

有且僅有一個(gè)解；12345678910111213141234567891011121314*10.若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋x－4的零點(diǎn)為m，函數(shù)g(x)＝logax＋x－4的零點(diǎn)為n，則

的最小值為

.答案解析11234567891011121314設(shè)F(x)＝ax，G(x)＝logax，h(x)＝4－x，則h(x)與F(x)，G(x)的交點(diǎn)A，B橫坐標(biāo)分別為m，n(m>0，n>0).因?yàn)镕(x)與G(x)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.又因?yàn)閥＝x和h(x)＝4－x交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，所以m＋n＝4.又m>0，n>0，1234567891011121314123456789101112131411.(2016·江蘇淮陰中學(xué)期中)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根是α，β，且有1<α<2<β<3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案解析1234567891011121314設(shè)f(x)＝x2－2ax＋a＋2，結(jié)合二次函數(shù)的圖象及一元二次方程根的分布情況可得123456789101112131412.關(guān)于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在區(qū)間[0，2]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解答顯然x＝0不是方程x2＋(m－1)x＋1＝0的解，∴1－m≥2，∴m≤－1，故m的取值范圍是(－∞，－1].123456789101112131413.已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比1大，一個(gè)零點(diǎn)比1小，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解答1234567891011121314方法一設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分