一階微分方程

一階微分方程一、可分離變量的微分方程和齊次方程求解微分方程是學習微分方程的主要內容之一.微分方程沒有統(tǒng)一的求解公式，但有各種各樣的求解方法.例如，積分的方法，代數(shù)的方法，冪級數(shù)的方法，拉普拉斯變換的方法以及近似求解方法等.本書僅就一階、二階等幾類常見的微分方程介紹一些初等的求解方法.下面先討論可分離變量的微分方程的解法.可分離變量的微分方程1.

設有一階微分方程如果其右端函數(shù)能分解成F(x,y)=f(x)g(y)，即有（6-8）則方程（6-8）稱為可分離變量的微分方程，其中f(x),g(y)都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點，可通過積分來求解.一、可分離變量的微分方程和齊次方程設g(y)≠0，用g(y)除方程的兩端，用dx乘以方程的兩端，使得一端只含y的函數(shù)和dy，另一端只含x的函數(shù)和dx，得再在上述等式兩邊積分，得如果g(y0)=0，則易知y=y0也是方程（6-8）的解.上述求解可分離變量的微分方程的方法稱為分離變量法.一、可分離變量的微分方程和齊次方程

曲線上任意點M(x,y)處的切線垂直于該點與原點的連線,求此曲線方程.

解

設曲線方程為y=y(x),如圖6-1所示.【例1】圖6-1一、可分離變量的微分方程和齊次方程

一、可分離變量的微分方程和齊次方程

求微分方程cosxsinydx－sinxcosydy=0的通解.解這是一階可分離變量的微分方程,整理得兩邊積分得通解ln|siny|=ln|sinx|+ln|C1|(C1為任意常數(shù))，化簡得siny=Csinx(C仍為任意常數(shù)).【例2】一、可分離變量的微分方程和齊次方程一棵小樹剛栽下去的時候長得比較慢，隨著小樹越長越高，小樹長得越來越快，但長到某一高度后，小樹的生長會保持穩(wěn)定的速度，然后會再慢慢降下來.如何為小樹的生長過程建立數(shù)學模型？

分析

如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合小樹前期與后期的生長情形；如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間―段的生長過程.因此，假定它的生長速度既與目前的高度成對比，又與最大高度和目前高度之差成正比.【例3】一、可分離變量的微分方程和齊次方程解設樹生長的最大高度為H(m)，在t(年）時的高度為h(t)，則有其中k是比例常數(shù)且k>0.這個方程稱為Logistic方程.它是可分離變量的―階常微分方程.下面來求解Logistic方程.分離變量,得兩邊積分一、可分離變量的微分方程和齊次方程得故所求通解為其中C(C=1C2>0)是正常數(shù).一、可分離變量的微分方程和齊次方程函數(shù)h(t)的圖形稱為Logistic曲線.圖6-2所示的是一條典型的Logistic曲線，由于它的形狀，一般也稱為S曲線.可以看到，它基本符合前面描述的樹的生長情形.另外還可以計算得到這說明樹的生長有一個限制，因此也稱為限制性增長模式.圖6-2一、可分離變量的微分方程和齊次方程生物種群的繁殖、信息的傳播、新技術的推廣、傳染病的擴散以及某些商品的銷售等都符合這種規(guī)律.一、可分離變量的微分方程和齊次方程齊次方程2.

形如（6-9）的一階微分方程稱為齊次微分方程，簡稱齊次方程.齊次方程（6-9）通過變量替換，可化為可分離變量的方程來求解，令其中u=u(x)是新的未知函數(shù)，則有將其代入方程（6-9），得，（6-10）一、可分離變量的微分方程和齊次方程分離變量，得兩邊積分求出積分后，再將u=y/x回代，便得到方程（6-9）的通解.一、可分離變量的微分方程和齊次方程如果有u0，使得f(u0)－u0=0，則顯然u=u0也是方程（6-10）的解，從而y=u0x也是方程（6-9）的解；如果f(u)－u≡0，則方程（6-9）變成dy/dx=y/x，這是一個可分離變量方程.注意一、可分離變量的微分方程和齊次方程【例4】一、可分離變量的微分方程和齊次方程【例5】一、可分離變量的微分方程和齊次方程一、可分離變量的微分方程和齊次方程二、一階線性微分方程線性微分方程1.

形如（6-11）的方程稱為一階線性微分方程.其中函數(shù)P(x)，Q(x)是區(qū)間I上的連續(xù)函數(shù).當Q(x)≡0時，方程（6-11）變?yōu)椋?-12）這個方程稱為一階齊次線性微分方程，相應地，方程（6-11）稱為一階非齊次線性微分方程.一階齊次線性方程（6-12）是可分離變量的方程，分離變量，得

兩邊積分，得ln|y|=－∫P(x)dx+C1，由此得到方程（6-12）的通解y=Ce－∫P(x)dx，（6-13）其中C（C=±eC1）為任意常數(shù).下面再來討論一階非齊次線性微分方程（6-11）的通解.將方程（6-11）變形為兩邊積分，得二、一階線性微分方程若記∫Q(x)ydx=v(x，則ln|y|=v(x)－∫P(x)dx，即（6-14）其中這個解與一階齊次線性微分方程的通解式（6-13）相比較，易見其表達形式一致，只需將式（6-13）中的常數(shù)C換為函數(shù)C(x).由此引入求解一階非齊次線性微分方程的常數(shù)變易法，即在求出對應齊次方程的通解式（6-13）后，將通解中的常數(shù)C變?yōu)榇ê瘮?shù)C(x)，并設一階非齊次方程的通解為二、一階線性微分方程求導，得將y和y′代入方程（6-11），得即兩邊積分，得從而一階非齊次線性微分方程（6-11）的通解為.（6-15）二、一階線性微分方程公式（6-15）可寫成從中可以看出，一階非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次線性微分方程的通解與其本身的一個特解之和.二、一階線性微分方程

求微分方程y′－ycotx=2xsinx的通解.解這是一階非齊次線性微分方程,利用公式可得【例6】二、一階線性微分方程【例7】二、一階線性微分方程伯努利方程2.

形如

（6-16）的方程稱為伯努利方程，其中n為常數(shù)，且n≠0，1.

伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當?shù)淖儞Q，就可以把它化為線性方程.

在方程（6-16）兩端除以yn，得