格林公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件

格林公式平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件一、格林公式本節(jié)介紹的格林公式建立了平面閉區(qū)域D上的二重積分與D的邊界曲線L上的第二類曲線積分之間的聯(lián)系.這種聯(lián)系不論在理論上還是實際計算中，對曲線積分都有著重要作用.在給出格林公式之前，先介紹單(復(fù))連通平面區(qū)域的概念.設(shè)D為平面區(qū)域，如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D，則稱D為平面單連通區(qū)域，否則稱為復(fù)連通區(qū)域.例如,平面上的圓形區(qū)域(x,y)|x2+y2<1和右半平面(x,y)|x>0都是單連通區(qū)域；圓環(huán)形區(qū)域(x,y)|1<x2+y2<2和去心圓盤(x,y)|0<x2+y2<1都是復(fù)連通區(qū)域.一、格林公式規(guī)定區(qū)域D的邊界曲線L的正向:當觀察者沿L的某個方向行進時，區(qū)域D總在它的左側(cè)，則該方向即為L的正向，稱該方向的邊界曲線L為D的正向邊界曲線.例如，對于區(qū)域(x,y)|x2+y2<1，逆時針方向的圓周x2+y2=1是它的正向邊界曲線；對于區(qū)域(x,y)|1<x2+y2<2，逆時針方向的圓周x2+y2=2與順時針方向的圓周x2+y2=1共同組成了它的正向邊界曲線.一、格林公式定理3設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成，函數(shù)Px,y及Qx,y在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有(10-6)

其中L是D的正向邊界曲線.式(10-6)稱為格林公式.一、格林公式求∮L(2xy－2y)dx+(x2－4x)dy，其中L為圓周x2+y2=R2依逆時針方向(見圖10-7).【例9】圖10-7一、格林公式求I=∫Lexsiny－b(x+y)dx+(excosy－ax)dy，其中a,b為正的常數(shù)，L為從點A(2a,0)沿曲線y=2ax－x2到點O(0,0)的弧(見圖10-8).【例10】圖10-8一、格林公式一、格林公式本例中，通過添加一段簡單的輔助曲線，使它與所給曲線構(gòu)成一封閉曲線，然后利用格林公式把所求曲線積分化為二重積分來計算.在利用格林公式計算曲線積分時，這是常用的一種方法.一、格林公式【例11】圖10-9一、格林公式二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件通過本章第二節(jié)的學(xué)習(xí)知道，沿著具有相同起點和終點但積分路徑不同的第二類曲線積分，其積分值可能相等，也可能不相等.在什么情況下，積分值相等呢？這就是下面將要討論的平面曲線積分與積分路徑無關(guān)的條件.為了研究這個問題，先要明確曲線積分與路徑無關(guān)的定義.設(shè)D是一個區(qū)域，P(x,y)及Q(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).L1，L2是D內(nèi)具有相同起點和終點的任意兩條曲線(見圖10-10).圖10-10二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件定理4二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件(10-7)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件與路徑無關(guān),可以取先從M0(x0,y0)到M(x,y),然后沿平行于x軸的直線段從M(x,y)到Nx+Δx,y作為上式右端曲線積分的路徑(見圖10-11),于是圖10-11二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件這里的u(x,y)可通過取平行于坐標軸的折線路徑(見圖10-12)得圖10-12二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件(10-8)(10-9)二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)滿足定理4的條件時，表達式P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某個二元函數(shù)u(x,y)的全微分.因此可解決一類特殊的一階微分方程——全微分方程.若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(10-10)

的左端恰好是某個函數(shù)u=u(x,y)的全微分

du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，則稱方程(10-10)為全微分方程.此時方程(10-10)可寫成

du(x,y)=0,

二、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的定義與條件因而u(x,y)=C

就是方程(10-10)的通解,其中C為任意常數(shù).這樣,求解方程(10-10)實質(zhì)上就歸結(jié)為求全微分函數(shù)u(x,y).當P(x,y)，Q(x,y)在單連通區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足定理2的條件時，由式(10-7)知全微分方程(10-