曲面方程課件

曲面方程曲面方程前面兩節(jié)我們學習了空間幾何中比較簡單的平面和直線方程的建立和位置關(guān)系.從本節(jié)開始將學習空間幾何中更為一般的曲面和曲線方程的建立和圖形分析，為多元函數(shù)微積分學打好基礎(chǔ).一、曲面方程的一般概念在平面解析幾何中，我們學習了平面曲線方程的一般概念，把曲線看作動點M(x,y)在一定條件下運動的幾何軌跡，而這一條件表現(xiàn)為動點M(x,y)滿足的代數(shù)方程.現(xiàn)在我們把空間曲面也看作動點M(x,y,z)在一定條件下運動的幾何軌跡，而這一條件仍然表現(xiàn)為動點M(x,y,z)滿足的代數(shù)方程，仿照平面解析幾何中曲線方程的概念，給出曲面方程的一般定義.一、曲面方程的一般概念定義4在空間直角坐標系中，如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系：(1)曲面S上任一點的坐標都滿足三元方程F(x，y，z)=0.(2)以三元方程F(x，y，z)=0的解為坐標的點(x，y，z)一定是曲面S上的點.

則我們稱方程F(x，y，z)=0為曲面S的方程，而曲面S為方程F(x，y，z)=0的圖形.一、曲面方程的一般概念建立球心在點M0(x0，y0，z0)、半徑為R的球面的方程.解設(shè)M(x，y，z)是球面上任一點，則有|MM0|=R，所以

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R，即

(x－x0)2+(y－y0)2+(z－z0)2=R2，(725)這就是球面上的點的坐標所滿足的方程，即為所求的球心在點M0(x0，y0，z0)、半徑為R的球面方程.特別地，若球心位于坐標原點，則有

x2+y2+z2=R2.【例27】一、曲面方程的一般概念設(shè)有點A(5，2，3)和B(2，-3，4)，求線段AB的垂直平分面的方程.解由題意知，所求的平面就是與A和B等距離的點的幾何軌跡.設(shè)所求平面上的任何一點為M(x，y，z)，由于|AM|=|BM|，所以

(x－5)2+(y－2)2+(z－3)2=(x－2)2+(y+3)2+(z－4)2，

兩邊平方，化簡得

6x+10y－2z－9=0，

即為所求平面.通過建立曲面方程的概念，我們就可以用代數(shù)的方法來研究空間幾何的一些問題.下面我們來建立在今后學習中常見的曲面方程.【例28】二、母線平行于坐標軸的柱面方程定義5平行于定直線L且沿定曲線C移動的直線L′所形成的曲面稱為柱面，定曲線C稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線.下面來建立母線平行于坐標軸的柱面方程.不妨設(shè)柱面的母線平行于z軸，準線是xOy面上的曲線C(見圖7-28)，在平面直角坐標系xOy中，C的方程為F(x，y)=0.圖7-28二、母線平行于坐標軸的柱面方程在柱面上任取一點M(x,y,z)，過M作平行于z軸的直線，此直線交xOy面于點M0，則M0的坐標為M0(x,y,0),M0在準線C上，即滿足方程F(x,y)=0，所以M的坐標M(x,y,z)滿足方程F(x,y)=0.反之，任一滿足方程F(x,y)=0的點M(x,y,z)一定在過點M0(x,y,0)且平行于z軸的直線上，即M(x,y,z)在柱面上.綜上所述，方程F(x,y)=0就是所求的母線平行于z軸的柱面方程.由此可見，在空間直角坐標系下，母線平行于z軸的柱面方程F(x,y)=0的特征是：方程中不含有變量z，其準線是xOy平面上的曲線C：F(x,y)=0.二、母線平行于坐標軸的柱面方程同理，在空間直角坐標系中，F(xiàn)(y,z)=0表示母線平行于x軸的柱面方程；F(z,x)=0表示母線平行于y軸的柱面方程.例如，

是母線平行于z軸，準線為xOy面上橢圓的橢圓柱面方程；

1是母線平行于y軸、準線為zOx面上雙曲線的雙曲柱面方程；z2=2y是母線平行于x軸、準線為yOz面上的拋物線的拋物柱面方程.平面x-y=0也可看成母線平行于z軸的柱面，其準線是xOy面上的直線x-y=0，所以它是過z軸的平面.二、母線平行于坐標軸的柱面方程討論方程x2+y2=R2所表示的曲面.解因為方程x2+y2=R2中不含變量z，與母線平行于z軸的柱面方程F(x,y)=0的特征一致，且與xOy面的交線是圓，所以該方程表示的曲面是圓柱面.【例29】三、旋轉(zhuǎn)曲面方程設(shè)有一條平面曲線C繞著同一平面的一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周，這樣由C旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面，曲線C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，定直線L稱為旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸.現(xiàn)在，我們求以z軸為旋轉(zhuǎn)軸，以yOz坐標面內(nèi)一條曲線C為母線旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.設(shè)在yOz坐標面上有一已知曲線C，其方程為f(y,z)=0.把曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，就得到一個以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面(見圖7-29)，下面來建立這個旋轉(zhuǎn)曲面的方程.圖7-29三、旋轉(zhuǎn)曲面方程在旋轉(zhuǎn)曲面上任取一點M(x,y,z)，過點M作垂直于z軸的平面，則此平面與旋轉(zhuǎn)曲面的交線為一個圓，與曲線C的交點為M1，其坐標為(0,y1,z1)，顯然，y1,z1應(yīng)滿足方程f(y1,z1)=0.又因為點M1和M在垂直于z軸的同一個圓上，M1又在yOz坐標面上，所以有所以點M的坐標滿足方程f(±x2+y2,z)=0，即為所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程.三、旋轉(zhuǎn)曲面方程由此得到求旋轉(zhuǎn)面方程的法則：求母線為yOz平面上的曲線f(y,z)=0，繞z軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程，只需在平面曲線方程f(y,z)=0中，把y換成±x2+y2即可.同理，母線為f(y,z)=0，繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面方程為f(y,±x2+z2)=0.類似地可以得到，在xOy(zOx)平面內(nèi)的曲線繞x軸或y軸(z軸或x軸)旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程，請讀者自己把它們寫出來.三、旋轉(zhuǎn)曲面方程例如，(1)yOz平面上的直線z=ay(a>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為圓錐面，其方程為

z2=a2(x2+y2).(7-26)(2)zOx平面上的拋物線z=ax2(a>0)繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)拋物面，其方程為

z=a(x2+y2).(7-27)(3)xOy平面上的橢圓

繞x,y軸所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，其方程分別為(7-28)三、旋轉(zhuǎn)曲面方程寫出下列曲線繞指定軸旋轉(zhuǎn)而生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.(1)xOy坐標面上橢圓4x2+9y2=36繞y軸.【例30】四、二次曲面由前面的討論可知，球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面等曲面方程都是三元二次方程，我們稱這種三元二次方程所表示的曲面為二次曲面.相應(yīng)地，稱三元一次方程所表示的平面為一次曲面.二次曲面的圖形一般較為復(fù)雜，很難用描點法繪圖.一般用“平行截割法”來討論二次曲面的形狀，即用與坐標面平行的平面去截割曲面，從所得截痕的形狀加以綜合來想象這個曲面的形狀.“平行截割法”又稱“截痕法”.下面介紹幾類常見的二次曲面.這里不作詳細討論，只將某些曲面的方程和圖形給出，供大家在今后學習中參考.四、二次曲面1.

表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-29),它的準線是xOy面上的橢圓四、二次曲面2.表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-30)，它的準線是xOy面上的雙曲線圖7-30四、二次曲面拋物柱面x2=ay3.表示母線平行于z軸的柱面(見圖7-31)，它的準線是xOy面上的拋物線x2=ay.圖7-31四、二次曲面4.首先應(yīng)用截痕法了解一下此曲面的特征.以垂直于z軸的平面z=t截此曲面,得一橢圓該式表示一族橢圓，但這些橢圓的長短軸比例不變.t=0時，得一點0,0,0.當t從大到小直至達到0時,這族橢圓將從大變到小直至縮為一點，因此,橢圓錐面的形狀如圖7-32所示.圖7-32四、二次曲面5.用截痕法來討論這個曲面的形狀.用xOy面z=0和平行于xOy面的平面z=hh≤c去截曲面，其截痕分別為橢圓，且h由0逐漸增大到c時，橢圓由大變小，逐漸縮為一點.同樣用zOx面與平行于zOx面的平面去截曲面和用yOz面與平行于yOz面的平面去截曲面，它們的交線與上述結(jié)果類同.綜上所述，橢球面的形狀如圖7-33所示.圖7-33四、二次曲面6.四、二次曲面7.圖7-34四、二次曲面8.用截痕法來分析.用xOy面去截曲面，截痕是一點0,0，稱為橢圓拋物面的頂點.用平行于xOy面的平面z=hh>0截此曲面，其交線為z=h平面上的橢圓，且當h增大時，橢圓的半軸也隨著增大.若用平面x=h或y=h截曲面，其交線分別為拋物線.綜上所述，橢