函數(shù) 圖形的描繪

函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪由函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、曲線的凹凸性可以描繪出函數(shù)圖形的基本性態(tài).為了更準(zhǔn)確地描繪函數(shù)的圖形，還須討論曲線的漸近線.

有些函數(shù)的定義域和值域都是有限區(qū)間，其圖形僅局限于一定的范圍之內(nèi)，如圓、橢圓等.有些函數(shù)的定義域值域是無(wú)窮區(qū)間，其圖形向無(wú)窮遠(yuǎn)處延伸，如雙曲線、拋物線等.為了把握曲線在無(wú)限變化中的趨勢(shì)，先介紹曲線的漸近線的概念.

函數(shù)圖形的描繪定義4如果曲線y=f(x)上的一動(dòng)點(diǎn)沿著曲線移向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，該點(diǎn)與某條定直線L的距離趨向于零，則直線L就稱為曲線y=f(x)的一條漸近線(見(jiàn)圖4-12).圖4-12函數(shù)圖形的描繪漸近線分為水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線三種.

(1)水平漸近線.若函數(shù)y=f(x)的定義域是無(wú)窮區(qū)間，且則稱直線y=C為曲線y=f(x)的水平漸近線.

函數(shù)圖形的描繪圖4-13函數(shù)圖形的描繪求y=arctanx的水平漸近線.解因?yàn)椤纠?0】函數(shù)圖形的描繪【例42】函數(shù)圖形的描繪【例43】函數(shù)圖形的描繪【例44】函數(shù)圖形的描繪注函數(shù)圖形的描繪【例45】函數(shù)圖形的描繪現(xiàn)將描繪函數(shù)y=f(x)的圖形的一般步驟歸納如下：(1)確定函數(shù)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)；(2)利用f′(x)=0及其不存在的點(diǎn)將定義域劃分為若干區(qū)間，判斷每個(gè)區(qū)間上f(x)的單調(diào)性并求出極值，利用f″(x)=0及其不存在的點(diǎn)將定義域劃分為若干區(qū)間，判斷每個(gè)區(qū)間上曲線的凹凸性并求出拐點(diǎn)；(3)列表；(4)求出曲線的水平漸近線、垂直漸近線和斜漸近線；(5)取輔助點(diǎn)；(6)作圖.

函數(shù)圖形的描繪【例46】函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪(6)描點(diǎn)作圖(見(jiàn)圖4-14).圖4-14函數(shù)圖形的描繪畫出y=x3－3x2

的圖形.解(1)函數(shù)的定義域?yàn)?－∞,+∞).(2)y′=3x2－6x=3x(x－2)，令y′=0，得x=0,x=2；

y″=6x－6，令y″=0，得x=1.(3)列表【例47】函數(shù)圖形的描繪函數(shù)y=x3－3x2的圖形如圖4-15所示.圖4-15函數(shù)圖形的描繪【例48】函數(shù)圖形的描繪(2)在［0,+∞)上，f′(x)的零點(diǎn)為x=0；f″(x)的零點(diǎn)為x=1.用點(diǎn)x=1把［0,+∞)劃分成兩個(gè)區(qū)間［0,1］和［1,+∞)

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(3)在(0,1)內(nèi)，f′(x)<0，f″(x)<0，所以在［0,1］上的曲線弧下降而且是凸的.結(jié)合f′(0)=0以及圖形關(guān)于y軸對(duì)稱可知，x=0處函數(shù)f(x)有極大值；在(1,+∞)內(nèi)，f′(x)<0，f″(x)>0