2024-2025學年江蘇省無錫市江陰市某校高二（上）學情調(diào)研數(shù)學試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年江蘇省無錫市江陰市某校高二（上）學情調(diào)研數(shù)學試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足iz=3+2i，則|z|=(

)A.13 B.5 C.1 D.2.拋物線x2=6y的焦點到準線的距離為(

)A.12 B.1 C.2 D.3.已知u=(3,a+b,a?b)(a,b∈R)是直線l的方向向量，n=(1,2,3)是平面α的法向量，若l⊥α，則a+2b=(

)A.152 B.?32 C.64.已知{an}為遞增的等差數(shù)列，a3·a4=15，A.9 B.10 C.11 D.125.任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1.這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”(又稱“角谷猜想”等).如取正整數(shù)m=6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1→4→2→1→….現(xiàn)給出“冰雹猜想”的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列{an}滿足：a1=m(m為正整數(shù))，an+1=an2A.17 B.16 C.15 D.106.P為直線y=kx?2上一點，過P總能作圓x2+y2=1A.3 B.33 C.?7.在三棱錐P?ABC中，G為△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB，PF=12PC，λ，μ∈(0,1)，若PG交平面A.12

B.23

C.1

8.已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)左、右焦點，過點F1的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于MA.5 B.52 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z，下列命題正確的是(

)A.若z+1∈R，則z∈R B.若z+i∈R，則z的虛部為?1

C.若|z|=1，則z=±1 D.若z2∈R10.下列結(jié)論正確的是(

)A.l1：x+(2a?1)y+2a?3=0,l2：ax+3y+a2+4=0，若l1//l2，則a=?1或a=32

B.直線kx?y?k?1=0和以M(?3,1)，N(3,2)為端點的線段相交，則k≤?12或k≥32

C.直線11.拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F，P為其上一動點，當P運動到(2,t)時，|PF|=4，直線l與拋物線相交于A，B兩點，點M(4,1)，下列結(jié)論正確的是(

)A.拋物線的方程為y2=8x

B.存在直線l，使得A、B兩點關(guān)于x+y?6=0對稱

C.|PM|+|PF|的最小值為6

D.當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知橢圓的方程為25x2+413.已知點A(2,0)，O(0,0)，B(0,?4)，則△AOB的外接圓的標準方程為______．14.如圖，兩條異面直線a，b所成角為60°，在直線上a，b分別取點A′，E和點A，F(xiàn)，使AA′⊥a且AA′⊥b.已知A′E=2，AF=3，EF=23.則線段AA′四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知A

(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(?1,b)(a,b∈R)是復(fù)平面上的四個點，且向量AB，CD對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2．

(Ⅰ)若z1+z2=1+i，求z1，z2

(Ⅱ)若|16.(本小題12分)

已知圓C：x2+y2?4x?6y+4=0，過點P(4,2)的直線l與C交于點M，N，且|MN|=4．

(1)求圓的圓心坐標和半徑：

(2)求l的方程；

(3)設(shè)17.(本小題12分)

已知等差數(shù)列{an}的公差為正數(shù)，a2與a8的等差中項為8，且a3a7=28．

(1)求{an}的通項公式；

(2)從{an}中依次取出第3項，第18.(本小題12分)

在三棱錐P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC為等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M為AB的中點．

(Ⅰ)求證：AC⊥PM；

(Ⅱ)求PC與平面PAB所成角的正弦值；

(Ⅲ)在線段PB上是否存在點N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出PNPB的值，若不存在，說明理由．19.(本小題12分)

已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的短軸長與焦距相等，且橢圓過點P(?1,22)，斜率為k的直線l過橢圓的右焦點，且與橢圓交于A，B兩點，M是線段AB的中點，射線OM與橢圓于點C．

(1)求橢圓方程；

(2)若直線k=?12，求點C參考答案1.A

2.D

3.D

4.D

5.B

6.D

7.C

8.C

9.AB

10.BD

11.ACD

12.(0,?21)13.(x?1)14.4或2

15.解：(Ⅰ)向量AB=(a?1,?1)，CD=(?3,b?3)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1=(a?1)?i，z2=?3+(b?3)i．

∴z1+z2=(a?4)+(b?4)i=1+i．

∴a?4=1，b?4=1．

解得a=b=5．

∴z1=4?i，z2=?3+2i．

(Ⅱ)|z1+z2|=2，16.解：(1)將圓C：x2+y2?4x?6y+4=0化為標準方程，

可得(x?2)2+(y?3)2=9，

故圓心C(2,3)，半徑r=3；

(2)當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=4，

在圓C：x2+y2?4x?6y+4=0中，

令x=4，得y2?6y+4=0，解得y=3±5，

此時|MN|=25，與題意矛盾；

所以直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，

則直線l的方程為y?2=k(x?4)，即kx?y?4k+2=0，

因為|MN|=4，

所以圓心C(2,3)到直線l的距離d=r2?(|MN|2)2=9?4=5，

所以|2k?3?4k+2|k2+1=5，解得17.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

根據(jù)等差中項的性質(zhì)可得a2與a8的等差中項為a5，所以a5=8，

又因為a3a7=28，即(a5?2d)(a5+2d)=28．

所以d2=9，d=±3，因為公差為正數(shù)，所以d=3.則a5=a1+4d=8，則a1=?4，18.證明：(I)取AC中點O，連接OP，OM．

∵PA=PC，∴PO⊥AC，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

∴PO⊥平面ABC．

∵M是AB的中點，∴OM?//BC，

∵BC⊥AC，

∴OM⊥AC.又OP∩OM=O，OP,OM?平面POM

∴AC⊥平面POM，∵PM?平面POM，

∴AC⊥PM．

(II)以O(shè)為原點，以O(shè)A，OM，OP為坐標軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A(1,0,0)，C(?1,0,0)，P(0,0,1)，B(?1,4,0)．

∴PC=(?1,0,?1)，AP=(?1,0,1)，AB=(?2,4,0)．

設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z)，則n?AP=0n?AB=0，

∴?x+z=0?2x+4y=0，令y=1得n=(2,1,2)，∴cos<n,PC>=n?PC|n||PC|=?223．

∴PC與平面PAB所成角的正弦值為223．

(III)∵M(0,2,0)，∴PB=(?1,4,?1)，CP=(1,0,1)，CM=(1,2,0)．

設(shè)線段PB上存在點N使得平面CNM⊥平面PAB．

設(shè)PN=λPB=(?λ,4λ,?λ)，(0≤λ≤1).則CN=19.解：(1)由題可得2b=2c1a2+12b2=1a2=b2+c2，解得：a2=2b2=1，

所以橢圓方程為x22+y2=1，

(2)設(shè)A(x1