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第三章導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用黃石三中郝海濱1/15/2025一.知識(shí)串講
導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是學(xué)習(xí)微分和積分的第一步。與其他數(shù)學(xué)知識(shí)一樣,導(dǎo)數(shù)與人們的生活和生產(chǎn)實(shí)際有著密切的聯(lián)系。
我們就是從曲線的切線和物體直線運(yùn)動(dòng)的速度出發(fā)來研究導(dǎo)數(shù)的基本概念的。1/15/2025曲線的切線
以曲線的切線為例,在一條曲線C:y=f(x)上取一點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)Q(x0+△x,y0+△y)是曲線C上與點(diǎn)P臨近的一點(diǎn),做割線PQ,當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C無限地趨近點(diǎn)P時(shí),割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT,我們就把直線PT叫做曲線C的在點(diǎn)P處的切線。1/15/2025(1)導(dǎo)數(shù)的概念
1.導(dǎo)數(shù)的定義:對(duì)函數(shù)y=f(x),在點(diǎn)x=x0處給自變量x以增量△x,函數(shù)y相應(yīng)有增量△y=f(x0+△x)-f(x0),若極限存在,則此極限稱為f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù),記為f’(x0),或y|;1/15/2025
2.導(dǎo)函數(shù):如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),就說y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).即對(duì)于開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一個(gè)確定的x0值,都相對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f’(x0),這樣在開區(qū)間(a,b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù),把這一新函數(shù)叫做f(x)在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù).簡稱導(dǎo)數(shù).記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=1/15/2025
3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率,即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線斜率為k=f’(x0).所以曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為
y
y0=f’(x0)·(x-x0).
4.導(dǎo)數(shù)的物理意義:物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí),路程s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為:s=s(t),那么瞬時(shí)速度v就是路程s對(duì)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即v(t)=s’(t).1/15/2025(2)常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(C)’
0,(c為常數(shù));(xn)’
mxn1
;(sinx)’
cosx;(cosx)’
sinx;(ex)’
ex;(ax)’
ax·lna;(lnx)’
;(logax)’
1/15/2025(3)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1.函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù)法則:兩個(gè)函數(shù)的和或差的導(dǎo)數(shù),等于兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和或差,即(u±v)’=u’±v’.2.函數(shù)的積的導(dǎo)教法則:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即(uv)’=u’v+v’u.1/15/20253.函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)法則:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積,再除以分母的平方.即()’=
(v≠0)。1/15/20254.復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的導(dǎo)數(shù)法則:設(shè)函數(shù)u=g(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)u’x=g’(x),函數(shù)f(u)在點(diǎn)x處的u處有導(dǎo)數(shù)y’u=f’(u);則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]在點(diǎn)x處也有導(dǎo)數(shù),且y’x=y(tǒng)’u·u’x,也可簡述為:復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù),等于已知函數(shù)對(duì)中間變量u的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量u對(duì)自變量x的導(dǎo)數(shù)。1/15/2025(4)函數(shù)的單調(diào)性
設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),如果f’(x)>0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為增函數(shù);如果f’(x)<0,則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為減函數(shù);如果恒有f’(x)=0,則y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)為常數(shù)函數(shù).1/15/2025
1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0附近有定義,如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x都有f(x)<f(x0),則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值,記作y極大值=f(x0);2.如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x,都有f(x)>f(x0),稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值,記作y極小值=f(x0).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。1/15/2025
3.判斷法則:①對(duì)于在x0處連續(xù)的函數(shù),如果在x0附近的左側(cè)f’(x)>0,右側(cè)f’(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f’(x)<0,右側(cè)f’(x)>0,那么f(x0)是極小值.1/15/2025(5)函數(shù)的最大值與最小值
1.定義:最值是一個(gè)整體性概念,是指函數(shù)在給定區(qū)間(或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值,最大數(shù)值叫最大值,最小的值叫最小值,通常最大值記為M,最小值記為m.1/15/2025
2.存在性:在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值.3.求最大(?。┲档姆椒ǎ汉瘮?shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上最值求法:①求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中較大的一個(gè)是最大值,較小的一個(gè)是最小值.1/15/2025例1.已知函數(shù)f(x)=,判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)?分析:函數(shù)在x=1的左右兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式是不同的,要判斷
f(x)在x=1處的可導(dǎo)性,就要分兩側(cè)研究極限,比較它們的極限值是否相同。二.例題講解
1/15/2025解:f(1)=1,
函數(shù)y=f(x)在x=1處不可導(dǎo).例1.已知函數(shù)f(x)=,判斷f(x)在x=1處是否可導(dǎo)?1/15/2025例2.設(shè)曲線y=cosx在A(,)點(diǎn)處的切線傾斜角為θ,求cot(
θ)的值分析:要求cot(-θ)的值,就必須求出θ角的一個(gè)三角函數(shù)值,由于θ是切線的傾斜角,所以,切線的斜率k=tanθ.解:y
cosx,
y’
sinx,當(dāng)x
時(shí),k
sin
,
tanθ
,
cot(
θ)
.1/15/2025例3.證明:若函數(shù)y=f(x)是可導(dǎo)奇函數(shù),那么它的導(dǎo)數(shù)y=f’(x)是偶函數(shù)。
證明:定義法:設(shè)f(x)為可導(dǎo)奇函數(shù),則f(-x)=-f(x),
f’(-x)===f’(x).即f’(-x)=f’(x).
導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).
同理可證:可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù).1/15/2025例4.求函數(shù)y=sin(log3ex)的導(dǎo)數(shù).分析一:將其變形為y=sin(x·log3e),其中l(wèi)og3e是常數(shù),那么此函數(shù)是由u=x·log3e與y=sinu構(gòu)成的復(fù)合函數(shù);解法一:由y=sin(log3ex)得y=sin(x·log3e),
y’=cos(x·log3e)·log3e=cos(log3ex)·log3e.分析二:將原函數(shù)看作是由函數(shù)y=sinu,u=log3v,v=ex,三個(gè)函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù).
解法二:原函數(shù)可看成y=sinu,u=log3v,v=ex,三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成,
y’=cosu·()·ex
=cos(log3ex)·log3e
1/15/2025
說明:在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),應(yīng)首先對(duì)函數(shù)解析式作認(rèn)真的分析,經(jīng)過合理的變形,使求解的過程達(dá)到簡便準(zhǔn)確的目的.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣用于多層復(fù)合函數(shù)的情形,如y=f(u),u=g(v),v=h(x),那么y’(x)=f’(u)·g’(v)·h’(x).1/15/2025例5.設(shè)<a<1,函數(shù)f(x)=x3-ax2+b(-1≤x≤1)的最大值為1,最小值為
,求a,b的值。解:f’(x)=3x2-3ax=3x(x-a),當(dāng)x變化時(shí),f’(x),f(x)的變化情況列表如下:1/15/2025當(dāng)x=0時(shí),f(x)取得極大值b,在x=a處取得一個(gè)極小值f(a)=,而f(0)>f(a),f(-1)<f(1),∴需要比較f(0)與f(1)的大小,∵f(0)-f(1)=a-1>0,∴f(x)的最大值為f(0)=b=1,1/15/2025
又f(
1)
f(a)
(a3
3a
2)
(a
1)2(a
2)<0,
f(x)|min
f(
1),
a
1
b
a
,
a
,b
1.1/15/2025
說明:這是一個(gè)確定最大值的問題。在確定最大值時(shí),應(yīng)求出所有的極值(包括極大值與極小值),然后將它們與函數(shù)在區(qū)間的端點(diǎn)值的大小進(jìn)行比較,其中最大的值是函數(shù)的最大值,最小的值是函數(shù)的最小值。一定要注意:不能直接將極值作為最值。1/15/2025例6.已知實(shí)數(shù)x,y,滿足x2+y2=2x,求x2y2的取值范圍.解:本題主要考查函數(shù)最值的一般求法,關(guān)鍵要注意變量的取值范圍.x2y2=x2(2x-x2)=2x3
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