21.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程教學(xué)設(shè)計(jì)2024-2025學(xué)年+人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)+

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)九年級(jí)學(xué)期秋季課題實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，正確建立流感傳播問(wèn)題、增長(zhǎng)率問(wèn)題、面積問(wèn)題中的一元二次方程模型，求解模型并解釋實(shí)際問(wèn)題。2．通過(guò)建立模型及模型的再抽象，體會(huì)一元二次方程模型是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的有效模型，經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)建模能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.利用實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律建立一元二次方程模型，解決實(shí)

際問(wèn)題。

教學(xué)難點(diǎn)：1.分析較復(fù)雜實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系及正確建立數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型并求解。教學(xué)過(guò)程一、了解建模，明確目標(biāo)如圖所示，回顧“實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程”的學(xué)習(xí)過(guò)程，理解從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題并建立數(shù)學(xué)模型求解的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模。二、分析問(wèn)題，建模求解問(wèn)題1有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)計(jì)意圖：呈現(xiàn)源于現(xiàn)實(shí)生活的實(shí)際問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生探究的興趣。以流感傳播問(wèn)題為情境，討論按一定傳播速度逐步傳播的問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題在生活中很常見(jiàn)。類(lèi)似的問(wèn)題有細(xì)胞分裂、信息傳播、儲(chǔ)蓄累計(jì)收益等。問(wèn)題研究的是流感兩輪傳播，給出的問(wèn)題情境比較簡(jiǎn)潔，有效信息不是很明確，學(xué)生需自主提取有效信息并分析，理解題意很關(guān)鍵，對(duì)學(xué)生而言具有挑戰(zhàn)性。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感受“ab=c”型（a是傳染源人數(shù)，b是平均一人傳染的人數(shù)，c是一輪傳染的人數(shù)）傳播模型，有利于幫助學(xué)生理解題意，正確建立模型并求解。教學(xué)組織：先讓學(xué)生自主分析題意，尋找等量關(guān)系，嘗試建立方程求解。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)每輪傳播的ab型代數(shù)式模型很重要，最后表示的人數(shù)為總?cè)藬?shù)。教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生先研究第一輪、第二輪傳播后新增加的感染人數(shù)，最后再用代數(shù)式表達(dá)總?cè)藬?shù)，最終形成一元二次方程模型，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建立過(guò)程，培養(yǎng)分析和解決問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型求解實(shí)際問(wèn)題的能力。問(wèn)題2兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元.哪種藥品成本的年平均下降率較大？設(shè)計(jì)意圖：以生產(chǎn)成本變化為問(wèn)題情境，探究成本年平均變化率問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，比如經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)率、人口增長(zhǎng)率等。呈現(xiàn)的問(wèn)題涉及甲、乙兩種藥品，實(shí)際上只需解決甲種藥品的降低率問(wèn)題即可，因?yàn)榧?、乙兩種藥品的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)上是一樣的。設(shè)平均變化率為x的話，就會(huì)得到一個(gè)增長(zhǎng)率模型，其中a是變化前的量，b是變化后的量。另外，值得指出的是成本下降額和成本下降率這兩個(gè)接近而不同的概念，前者表示絕對(duì)變化量，后者表示相對(duì)變化量，僅借助絕對(duì)變化量來(lái)認(rèn)識(shí)變化情況是不可靠的，需兩者兼顧。教學(xué)組織：首先應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解“成本下降率”的概念，即下降的成本額與原成本額的百分比。在本問(wèn)題中，變化前成本×成本降低率=變化后的成本，在此基礎(chǔ)上，兩輪下降的情況下，學(xué)生就容易理解和表達(dá)出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系了。最后再引導(dǎo)學(xué)生對(duì)增長(zhǎng)率問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型就行二次抽象，形成更為一般的增長(zhǎng)率模型：。問(wèn)題3如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形.如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？設(shè)計(jì)意圖：通常而言，如果不要求正中央矩形的長(zhǎng)寬比為9:7，即上、下邊襯，左、右邊襯是等寬的，問(wèn)題就很容易解決。但實(shí)際問(wèn)題中要求正中央矩形的長(zhǎng)寬之比與封面的長(zhǎng)寬比相等，這就增加了問(wèn)題分析和求解的難度。因此，根據(jù)封面及正中央矩形的長(zhǎng)寬比都是9:7，由此推出上、下，左、右邊襯寬度之比也是9:7，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。另外，也可以從從用代數(shù)式直接表達(dá)正中央矩形的面積著手，對(duì)于學(xué)生而言更好理解。教學(xué)組織：面積問(wèn)題的數(shù)學(xué)原型是矩形面積公式ab=c。此類(lèi)問(wèn)題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，用字母表示出矩形的長(zhǎng)和寬，最終用代數(shù)式表示矩形面積從而形成一元二次方程模型，求解模型、驗(yàn)證、解釋即可。三、梳理總結(jié)，理解建?；仡櫧?/p>