高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】拋物線應(yīng)用(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA044學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一課題拋物線應(yīng)用（2）教科書(shū)書(shū)名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師蘇萌萌北京市第二十五中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：掌握求軌跡問(wèn)題的一般步驟.教學(xué)重點(diǎn)：坐標(biāo)法在解決圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：與拋物線有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)問(wèn)題1如圖，已知定點(diǎn)，軸于點(diǎn)，是線段上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.追問(wèn)1：什么是軌跡方程？符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形,或者說(shuō)符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合,叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡.因此我們知道，要求得點(diǎn)的軌跡方程，需要我們先研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足的等量關(guān)系，再通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示該等量關(guān)系.追問(wèn)2：點(diǎn)滿足的幾何條件是什么？點(diǎn)在上，因此點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線的方程.追問(wèn)3：直線的方程如何求？我們知道兩點(diǎn)確定一條直線，因此我們需要求出點(diǎn)的坐標(biāo).追問(wèn)4：點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，是.點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此我們需要求出點(diǎn)的坐標(biāo).追問(wèn)5：點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)相同，點(diǎn)的縱坐標(biāo)未知，需要我們?cè)O(shè)出.但因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因此點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，因此問(wèn)題的解決的關(guān)鍵是要先將直線的方程寫出，從而表示點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到點(diǎn)的坐標(biāo)，直線方程，以及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.下面，我們先設(shè)出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，在兩點(diǎn)各自滿足的方程之間實(shí)施轉(zhuǎn)化與聯(lián)立，具體計(jì)算一下：解：設(shè)點(diǎn)，其中，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意，直線的方程為.①因?yàn)辄c(diǎn)在上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入①，得，②

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足②.直線的方程為，③因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)滿足③.即.④將②代入④，消去，得.即.我們用表示，代入到上面滿足的關(guān)系式所以點(diǎn)的軌跡方程為.方法提煉：解決求軌跡問(wèn)題的一般步驟(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；

(2)把未知的點(diǎn)設(shè)出；

(3)找出滿足的條件，比如距離、角度的關(guān)系等等；

(4)把點(diǎn)坐標(biāo)代入到上面的條件中；(5)把代入點(diǎn)坐標(biāo)后的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得到所需問(wèn)題的答案.知識(shí)拓展：本題中，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則方程，此時(shí)圖形關(guān)于軸對(duì)稱，與之對(duì)應(yīng)的軌跡是常見(jiàn)的拋物拱.拋物拱在現(xiàn)實(shí)中有很多原型，如拱橋，衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在空中劃過(guò)的軌跡也是拋物拱的一部分.問(wèn)題2如圖，吊車梁的魚(yú)腹部分是拋物線的一段，寬為，高為.根據(jù)圖中的坐標(biāo)系，求這條拋物線的方程.追問(wèn)1：如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？觀察圖形，拋物線的焦點(diǎn)在軸上，開(kāi)口與軸正方向相同，因此我們不妨設(shè)拋物線方程為.追問(wèn)2：如何求？觀察圖形，寫出拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，例如利用點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求解.我們具體計(jì)算一下：解：設(shè)拋物線的方程為.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以.所以.解得.所以這條拋物線的方程為.小結(jié)：求解與拋物線相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，我們應(yīng)認(rèn)真審題，找出有關(guān)的拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并根據(jù)建系的情況（例如焦點(diǎn)的位置，開(kāi)口方向等特征），設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件求出系數(shù)的值，再將求得的值帶入到所設(shè)方程求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以解決很多實(shí)際實(shí)際問(wèn)題.比如來(lái)看問(wèn)題3：?jiǎn)栴}3圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面，水面寬.水面下降后，水面寬多少？追問(wèn)1：拱橋滿足哪種曲線方程？觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，本題中的拋物線形拱橋應(yīng)該滿足拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.這個(gè)方程是在平面直角坐標(biāo)系中得到的.追問(wèn)2：如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系？由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程我們可以知道，讓拋物線的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，焦點(diǎn)在軸上.讓我們來(lái)分析一下這道題：本題要解決的實(shí)際問(wèn)題是在拋物線形拱橋中，當(dāng)水面下降1m，求水面寬度的變化，在建立平面直角坐標(biāo)系后，可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)減少1時(shí)，求的變化，問(wèn)題中涉及與的關(guān)系需要我們求出拋物線的方程才能得到解答.追問(wèn)3：如何求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？觀察拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，我們知道，它只含有一個(gè)待定的系數(shù)p，因此類比前面問(wèn)題的求解方法，我們?cè)谠O(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程后，需要找到該拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)代入求解.觀察圖形我們可以看到，水面下降前與拋物線的接觸點(diǎn)有2個(gè)，用其中任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都可以確定我們具體計(jì)算一下：如圖所示，在拋物線形拱橋上，以拱橋的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S，豎直方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)該拋物線的方程為.因?yàn)楣绊旊x水面，水面寬，所以點(diǎn)在拋物線上.將代入拋物線方程，得.即.所以.所以.水面下降后，水面與拋物線的接觸點(diǎn)的縱坐標(biāo)由變?yōu)?，所?即.所以水面下降后，水面寬為.

方法提煉：本題以實(shí)際問(wèn)題為載體，給出了現(xiàn)實(shí)生活中的“拋物拱”，是拋物線的具體應(yīng)用.處理本題時(shí)，我們需要利用待定系數(shù)法求解拋物線方程，解題中利用點(diǎn)的坐標(biāo)，曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.除此之外，在應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)注意變量的取值范圍和單位.本節(jié)課小結(jié)1.求軌跡問(wèn)題的一般步驟(1)根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；

(2)把未知的點(diǎn)設(shè)出；

(3)找出滿足的條件，比距離、角度關(guān)系等等；

(4)把點(diǎn)坐標(biāo)代入到上面的條件中；(5)把代入點(diǎn)坐標(biāo)后的條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，從而得出所需問(wèn)題的答案.2.我們應(yīng)多關(guān)注圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的作用，例如在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，我們將拋物線形拱橋轉(zhuǎn)化為拋物線模型，利用拋物線的方程及性