高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】兩點(diǎn)間的距離公式-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA023學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一學(xué)期課題兩點(diǎn)間的距離公式教科書書名：普通高中教科書數(shù)學(xué)A版選擇性必修1出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師佘巖北京匯文中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教育研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：掌握兩點(diǎn)間的距離公式；利用兩點(diǎn)間距離公式解決幾何問題，體會(huì)解析幾何的基本研究方法.教學(xué)重點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式.教學(xué)難點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1’引言在研究幾何圖形間的數(shù)量關(guān)系時(shí)，距離是最常見的幾何量之一。其中，最基本的就是兩點(diǎn)間的距離。今天我們來學(xué)習(xí)平面解析幾何中，兩點(diǎn)間的距離公式。6’兩點(diǎn)間的距離公式問題1：如圖，已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，，如何求間的距離？（停頓）追問1：我們學(xué)過什么知識(shí)可以刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間線段的長度？在學(xué)習(xí)向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示時(shí)，我們定義有向線段，利用模長公式求的長度（模）.追問2：如何用坐標(biāo)表示向量？向量的坐標(biāo)表示等于此有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即追問3：如何求向量的模長？由平面向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示得：因此，，兩點(diǎn)間的距離為.特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)間的距離.追問4：學(xué)習(xí)平面幾何時(shí)，我們往往通過構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段的長度?；邳c(diǎn)坐標(biāo)的意義，你能構(gòu)造出適當(dāng)?shù)闹苯侨切螁?？因?yàn)辄c(diǎn)的橫縱坐標(biāo)表示的是點(diǎn)“水平方向”和“豎直方向”的相對位置。所以，我們選擇與坐標(biāo)軸平行（或垂直）的直線構(gòu)造直角三角形。如圖添加輔助線，這樣這些線段長度很容易用坐標(biāo)表示.追問5：如何求解？此時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，.則.當(dāng)然，如果兩點(diǎn)平行或垂直于軸，則，為兩點(diǎn)間的距離公式的特殊情況。對比兩種推導(dǎo)方法。實(shí)際上，向量模長公式本質(zhì)也是構(gòu)造直角三角形推導(dǎo)而得的。追問6：能否用文字語言表述兩點(diǎn)間距離公式？兩點(diǎn)間的距離就等于這兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的平方和的算術(shù)平方根.15’點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用例1已知點(diǎn)，在軸上求一點(diǎn)P，使，并求出的值.分析：根據(jù)所求，我們需利用，先求出點(diǎn)坐標(biāo)，如何求？法1：由，可直接利用兩點(diǎn)間距離公式建立等量關(guān)系.因?yàn)镻在軸上，設(shè)所求點(diǎn).利用兩點(diǎn)間距離公式由已知建立關(guān)于x的方程：.解得：.所以，所求點(diǎn)為，且.法2：由出發(fā)，我們還可以挖掘這個(gè)條件對應(yīng)的幾何特征，再得到點(diǎn)P的坐標(biāo).點(diǎn)在線段的垂直平分線上.故先求線段的垂直平分線.由知，線段的中點(diǎn).直線的斜率為，其垂直平分線的斜率為則垂直平分線方程為.由點(diǎn)在軸上，令，解得.則，總結(jié)：第一種方法通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，借助兩點(diǎn)距離公式建立關(guān)于點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，直接獲得所求。第二種方法雖然計(jì)算較復(fù)雜，但也體現(xiàn)了解析幾何的基本研究方法，即：先把已知條件中數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形幾何性質(zhì)，再用代數(shù)的方法求解。這樣形與數(shù)、數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化。例2用坐標(biāo)法證明：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.追問1：什么是坐標(biāo)法？坐標(biāo)法就是把圖形放入適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量，再代數(shù)運(yùn)算，并將代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論追問2：如何建立平面直角坐標(biāo)系呢？用坐標(biāo)表示有關(guān)的量？我們需要表示出兩條對角線和鄰邊的長度。所以要知道A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)。因此，我們要建立的坐標(biāo)系應(yīng)該能使這四點(diǎn)的坐標(biāo)盡可能簡潔的表達(dá)出來。所以，我們可以把某個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，并讓某條邊在軸上。以平行四邊形的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，邊所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系.此時(shí)追問3：結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，說說需要設(shè)出哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？因?yàn)锽點(diǎn)在x軸上，所以可以設(shè)點(diǎn)B為（a,0）.因?yàn)镺B與CD平行且相等，所以C，D的縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)差a.也就是說，需要從C，D中任選一個(gè)點(diǎn)設(shè)出坐標(biāo)，就能把另一點(diǎn)坐標(biāo)表示出來。這里，我們不妨設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo).則.追問4：如何用頂點(diǎn)坐標(biāo)表示對角線的長度及邊長？由兩點(diǎn)間距離公式得：，，，.所以，，.所以，.將代數(shù)表達(dá)轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊的平方和的兩倍.總結(jié)：本題為求證幾何圖形中的數(shù)量關(guān)系，我們將圖形放在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，用圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫有關(guān)的量，再進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。若要用綜合幾何法證明這個(gè)結(jié)論，需要構(gòu)造大量的輔助線并使用定理證明，顯然比較繁瑣。而坐標(biāo)法只需要算就可以了，降低了思維量。當(dāng)然，如何算的更簡單，也是需要思考的。這里，建立合適的坐標(biāo)系無疑是最關(guān)鍵的一步。請根據(jù)本題的條件，試著建立其他的坐標(biāo)系推證結(jié)論。【另一種建立坐標(biāo)系的方法】如圖建立平面直角坐標(biāo)系：所以，追問5：兩種建系方法都算是“適當(dāng)”的方法，其原因何在？本質(zhì)的原因還是在于兩種建系的方法都能很簡潔的把所求線段用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來.試想如果把坐標(biāo)系建成這樣的形式，你能計(jì)算并證明結(jié)論嗎？追問：我們以前還用向量法證明過這個(gè)結(jié)論，比較向量法和坐標(biāo)法，你有什么體會(huì)？兩種方法過程一致，都是先把圖形放入向量基底或坐標(biāo)系內(nèi)，再用對應(yīng)的方法表示所求的幾何量、計(jì)算，最后再把代數(shù)結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。坐標(biāo)是以相互垂直的單位向量為基底，所以向量和坐標(biāo)從某種程度上講是一碼事兒。當(dāng)然，研究思路是一致的。不過，有的幾何問題，并不一定要把圖形放入直角坐標(biāo)系中，可以直接用一般基底解決，比如這道證明題；有的幾何問題，我們也會(huì)借助向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示去解決，比如兩點(diǎn)間的距離、線線夾角等……4’總結(jié)我們學(xué)習(xí)了兩點(diǎn)間距離公式，你能快速準(zhǔn)確的說出公式嗎？我們可表述為：平面上兩點(diǎn)間的距離等于這兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的平方和再開方。能否進(jìn)一步描述這句話對應(yīng)的幾何圖形？實(shí)際上，這個(gè)圖形就是以為斜邊的直角三角形，其中兩條直角邊長分別為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的絕對值。構(gòu)造直角三角形也是我們證明兩點(diǎn)間距離公式最基本的方法?；仡檭傻览}的求解過程，總結(jié)它們的共同點(diǎn)，談?wù)勀愕母惺?？它們都是把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算來解決，在運(yùn)算中還要明白幾何的含義,最后還要把代數(shù)運(yùn)算翻譯成幾何結(jié)論?？傊?，它們一直在不停的經(jīng)歷著形與數(shù)、數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)換。這正是解析幾何研究的最大特點(diǎn)。在以