高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間向量的應(yīng)用(2)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA014學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一課題空間向量的應(yīng)用（2）教科書(shū)書(shū)名：出版社：出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師于洪偉北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：運(yùn)用空間向量研究立體幾何中的度量問(wèn)題的過(guò)程中，感受向量法和坐標(biāo)法的區(qū)別和聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用空間向量研究例題幾何中的度量問(wèn)題。教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)條件選擇合適的思路和方法解題。教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)例如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F（1）求直線PA與BE所成角的大??；（2）求直線PA與平面DEF所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)A到平面DEB的距離.問(wèn)題1：如何用空間向量求直線PA與BE所成角？通過(guò)計(jì)算向量PA和BE的數(shù)量積，求其夾角.追問(wèn)1：向量PA與BE的夾角與直線PA與BE所成角有什么差異？范圍不同，向量夾角可以是鈍角，而直線與直線所成角只會(huì)是銳角或直角.追問(wèn)2：用向量法如何計(jì)算向量PA與BE夾角的余弦值？PA（向量法）解：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AD⊥DC.所以DA?DP=0，DP因?yàn)樗?-=-因?yàn)镈A=DP所以|||=所以所以向量PA，BE夾角為150°.所以直線PA與BE夾角為30°.追問(wèn)3：如果用坐標(biāo)法表示PA和BE，還用這個(gè)空間直角坐標(biāo)系，能寫(xiě)出PA和BE的坐標(biāo)么？PA（坐標(biāo)法）解：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AD⊥DC.所以以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA長(zhǎng)為1.可得D(0,0,0)，A(1,0,0)B所以所以=所以向量PA，BE夾角為150°.所以直線PA與BE夾角為30°.問(wèn)題3：如何用向量法求直線PA與平面DEF所成角？思路一是找到直線PA

在平面DEF

內(nèi)的射影；思路二是計(jì)算平面DEF

的法向量.追問(wèn)1：你會(huì)傾向于采用哪條思路？計(jì)算平面DEF

的法向量.追問(wèn)2：向量PA與平面DEF法向量n的夾角和直線PA與平面DEF所成角θ是什么關(guān)系？

sin追問(wèn)3：求平面DEF

的法向量需要解決什么問(wèn)題？直接找到與平面DEF垂直的向量；或者找到平面DEF內(nèi)不共線的兩個(gè)向量.（向量法）解：采用（1）的基底向量，因?yàn)镻B所以PB=

所以PB⊥因?yàn)镋F⊥PB，所以EF⊥因?yàn)镻B⊥DE，所以PB是平面DEF的一個(gè)法向量.因?yàn)樗訮A所以所以PA與平面DEF所成角的正弦值等于63（坐標(biāo)法）解：采用（1）的空間直角坐標(biāo)系，所以

所以PB⊥因?yàn)镋F⊥PB，所以EF⊥所以PB是平面DEF的一個(gè)法向量.因?yàn)?所以PA與平面DEF所成角的正弦值等于63追問(wèn)4：如果沒(méi)有注意到PB是平面DEF的一個(gè)法向量，我們會(huì)需要計(jì)算點(diǎn)F的坐標(biāo)來(lái)求平面DEF的一個(gè)法向量，怎樣計(jì)算點(diǎn)F的坐標(biāo)呢？因?yàn)辄c(diǎn)F在PB上，所以PF=k而PB=1,1,-1，所以PF=所以因?yàn)镋F⊥PB，所以即解得問(wèn)題3：如何用空間向量求點(diǎn)A到平面DEB的距離？計(jì)算向量DA

在平面DEB追問(wèn)1：還能直接找到平面DEB的法向量么？找不到，只能通過(guò)找到平面DEB內(nèi)不共線的兩個(gè)向量來(lái)計(jì)算平面DEB的法向量.追問(wèn)2：這時(shí)求平面DEB的法向量選擇向量法還是坐標(biāo)法？選擇坐標(biāo)法.（3）解：仍采用（1）的空間直角坐標(biāo)系，可得DE設(shè)平面DEB的法向量為m=(x,y,z)則有DE?m令x=1，解得y=-1，z=1，所以m=(1,-1,1)所以點(diǎn)A到平面DEB的距離為DA問(wèn)題4：在研究立體幾何中度量問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)比一下，向量法和坐標(biāo)法，有什么區(qū)別和聯(lián)系？聯(lián)系：二者本質(zhì)是相同的，坐標(biāo)法實(shí)際上是向量法的坐標(biāo)化，區(qū)別：向量法并不要求基底向量互相垂直，只要兩兩數(shù)量積可求就可以了，坐標(biāo)法