高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間向量的應(yīng)用(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)2020QJ11SXRA013學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期一課題空間向量的應(yīng)用（一）教科書(shū)書(shū)名：出版社：人民教育出版社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師于洪偉北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)過(guò)程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1.運(yùn)用空間向量解決實(shí)際問(wèn)題2.運(yùn)用空間向量研究立體幾何中的位置關(guān)系3.課后練習(xí)問(wèn)題1：如圖所示為某種禮物降落傘在勻速下落的過(guò)程的示意圖.其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子的拉力大小相同，每根繩子和水平面的夾角均為60°.已知禮物的重力為9.8N追問(wèn)1：“降落傘在勻速下落”告訴了我們什么信息？學(xué)生回答：禮物所受繩子的拉力總和與其自身重力平衡.追問(wèn)2：“有8根繩子和傘面連接，每根繩子的拉力大小相同，每根繩子和水平面的夾角均為60°”，我們可以得到哪些信息？學(xué)生回答：?jiǎn)栴}描述的立體圖形結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)，研究清楚一根繩子的情況就可以了.追問(wèn)3：“每根繩子和水平面的夾角均為60°”在空間圖形的關(guān)系上如何解釋?zhuān)繉W(xué)生回答：每根繩子所在直線(xiàn)與水平面成角為60°，其拉力與水平面向上的法向量成角為30°.展示解答：解：設(shè)水平面向上的單位法向量為n，其中第i根繩子拉力為Fi則Fi

在n上的投影向量為因?yàn)镕i和水平面成角為60°，所以Fi和n所以F因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以i=1所以i=1因?yàn)槊總€(gè)|Fi因?yàn)镚=-|G|n，所以43所以43代入數(shù)值，可得F1所以，每根繩子的拉力大小約為1.41N.追問(wèn)4：回顧一下，我們是如何解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的？追問(wèn)5：運(yùn)用空間向量求解實(shí)際問(wèn)題的一般思路是什么？例如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F（1）求證：DE⊥EB；（2）求證：PB⊥平面EFD；（3）判斷：線(xiàn)段PB上是否存在一點(diǎn)Q，滿(mǎn)足AQ//DE請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題2：如何用空間向量來(lái)證明DE⊥EB？計(jì)算向量DE和BE的數(shù)量積.追問(wèn)1：選擇哪組基底向量呢？DA，DC，DP.追問(wèn)2：能用這組基底向量表示DE和BE么？DE追問(wèn)3：如果用坐標(biāo)法表示DE和BE，該如何建立空間直角坐標(biāo)系呢？找到兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線(xiàn).本質(zhì)上是找兩兩相互垂直的一組基底向量.追問(wèn)4：需要寫(xiě)出哪些點(diǎn)的坐標(biāo)？D就可以得到DE（解法一）（1）證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AD⊥DC.所以DA?DP=0，DP因?yàn)樗訢E=--=因?yàn)镻D=DC，所以DP2所以DE?BE=0.所以DE⊥（解法二）（1）證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，所以AD⊥DC.所以以D為原點(diǎn)，以DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)DA長(zhǎng)為1，可得D所以所以DE所以DE⊥BE.所以直線(xiàn)問(wèn)題3：如何用向量法證明PB⊥平面思路一是證明向量PB與平面EFD的法向量平行；思路二是證明向量PB與平面EFD內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量垂直.追問(wèn)1：你會(huì)傾向于采用哪種思路？證明向量PB與平面EFD內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量垂直.追問(wèn)2：你會(huì)選擇證明哪個(gè)向量垂直于PB呢？DE（解法一）（2）證明：因?yàn)镻BDE所以PB=+所以PB所以PB⊥DE.所以直線(xiàn)因?yàn)镋F⊥PB，PB⊥DE，EF∩EF?平面EFD，DE?平面EFD，所以PB⊥平面EFD.（解法二）采用第（1）問(wèn)的空間直角坐標(biāo)系，可得D所以所以所以PB⊥DE，即PB⊥因?yàn)镋F⊥PB，PB⊥DE，EF∩EF?平面EFD，DE?平面EFD所以PB⊥平面EFD.問(wèn)題4：如何用空間向量表示直線(xiàn)AQ//DE？存在λ，使得AQ=λ追問(wèn)1：用前面的基底向量來(lái)表示會(huì)得到怎樣的等式呢？AQDE所以可以得到等式t追問(wèn)2：如果用坐標(biāo)法，該如何表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)呢？因?yàn)辄c(diǎn)Q在線(xiàn)段PB上，所以存在a∈(0,1)，使得

PQ（解法一）（3）解：若存在點(diǎn)Q在線(xiàn)段PB上，則AQ=tAB+(1-t)所以AQ=t因?yàn)镈E若有AQ//DE，則存在實(shí)數(shù)λ使得AQ=λDE所以所以所以因?yàn)樯鲜綗o(wú)解，所以不存在點(diǎn)Q在線(xiàn)段PB上，滿(mǎn)足AQ//DE.（解法二）解：采用第（1）問(wèn)的空間直角坐標(biāo)系，若存在點(diǎn)Q在線(xiàn)段PB上，所以存在a∈(0,1)，使得

PQ因?yàn)镻B=1,1,-1，所以因?yàn)镻(0,0,1)，所以Q(a,a,1-a).可以得到若有AQ//DE，則存在實(shí)數(shù)λ使得AQ=λ所以因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以，不存在點(diǎn)Q在線(xiàn)段PB上