2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第10章-第5節(jié) 古典概型、概率的基本性質(zhì)【課件】

第十章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)古典概型、概率的基本性質(zhì)1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所包含的樣本點(diǎn)及事件發(fā)生的概率.3.當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)互斥事件的概率之和或其對(duì)立事件的概率.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.古典概型具有以下特征的試驗(yàn)叫做古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為古典概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)古典概型.(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有________；(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性______.有限個(gè)相等3.概率的性質(zhì)性質(zhì)1：對(duì)任意的事件A，都有0≤P(A)≤1；性質(zhì)2：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1，P(

)＝0；性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝___________；性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝_________；性質(zhì)5：如果A?B，那么P(A)≤P(B)，由該性質(zhì)可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)?/p>

?A?Ω，所以0≤P(A)≤1.性質(zhì)6：設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).P(A)＋P(B)1－P(B)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，當(dāng)A∩B＝

，即A，B互斥時(shí)，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時(shí)P(A∩B)＝0.常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其樣本點(diǎn)是“發(fā)芽與不發(fā)芽”.(

)(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.(

)(3)從－3，－2，－1，0，1，2中任取一個(gè)數(shù)，取到的數(shù)小于0或不小于0的可能性相同.(

)××√√解析對(duì)于(1)，發(fā)芽與不發(fā)芽不一定是等可能，所以(1)不正確；對(duì)于(2)，三個(gè)事件不是等可能，其中“一正一反”應(yīng)包括“正反”與“反正”兩個(gè)樣本點(diǎn)，所以(2)不正確.2.(必修二P237例7改編)單項(xiàng)選擇題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型，一般是從A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容，他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生有一題不會(huì)做，他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案，答對(duì)的概

率是________.

3.袋中裝有大小、形狀完全相同的6個(gè)白球，4個(gè)紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為_(kāi)_______.4.某人進(jìn)行打靶練習(xí)，共射擊10次，其中有2次中10環(huán)，有3次中9環(huán)，有4次中8環(huán)，有1次未中靶.假設(shè)此人再射擊1次，則中靶的概率約為_(kāi)_______.0.9考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一古典概型例1

(1)(2024·東莞調(diào)研)甲、乙、丙、丁四人在足球訓(xùn)練中進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開(kāi)始傳球，甲等可能地把球傳給乙、丙、丁中的任何一個(gè)人，以此類(lèi)推，則經(jīng)過(guò)3次傳球后乙恰好接到1次球的概率為(

)C解析按接球人分類(lèi)：①不含甲，三人時(shí)，乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6種；兩人時(shí)，乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6種；②含甲，乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15種，故共計(jì)27種.(2)(2024·沈陽(yáng)模擬)如圖為一個(gè)開(kāi)關(guān)陣列，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開(kāi)關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰(上、下相鄰或左、右相鄰)的開(kāi)關(guān)改變狀態(tài).若從這十六個(gè)開(kāi)關(guān)中隨機(jī)選兩個(gè)不同的開(kāi)關(guān)先后各按1次(例如：先按(1，1)，再按(4，4))，則(2，3)和(4，1)的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變的概率為_(kāi)_______.(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)解析要使得(2，3)的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)這五個(gè)開(kāi)關(guān)中的一個(gè)，要使得(4，1)的狀態(tài)發(fā)生改變，則需要按(3，1)，(4，1)，(4，2)這三個(gè)開(kāi)關(guān)中的一個(gè)，所以要使得(2，3)和(4，1)的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變，則需按其他八個(gè)開(kāi)關(guān)中的兩個(gè)或(1，3)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，3)中的兩個(gè)或(3，1)，(4，1)，(4，2)中的兩個(gè)，感悟提升求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法(1)枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問(wèn)題.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題，注意在確定樣本點(diǎn)時(shí)(x，y)可看成是有序的，如(1，2)與(2，1)不同；有時(shí)也可看成是無(wú)序的，如(1，2)與(2，1)相同.(3)排列組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列或組合的知識(shí).訓(xùn)練1(1)(2023·益陽(yáng)調(diào)研)2022年10月12日“天宮課堂”首次在問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙中授課，航天員老師們演示和講解的多種實(shí)驗(yàn)，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.在一次模仿操作實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生們從標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，5，6，7，8，9的9種不同的種子中隨機(jī)抽取2種種子進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則抽到的2種不同的種子的標(biāo)號(hào)之和恰為10的概率為(

)AA解析法一設(shè)6個(gè)主題分別為A，B，C，D，E，F(xiàn)，甲、乙兩位同學(xué)所選主題的所有可能情況如表：乙甲ABCDEFA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)(A，E)(A，F(xiàn))B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)(B，E)(B，F(xiàn))C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)(C，E)(C，F(xiàn))D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)(D，E)(D，F(xiàn))E(E，A)(E，B)(E，C)(E，D)(E，E)(E，F(xiàn))F(F，A)(F，B)(F，C)(F，D)(F，E)(F，F(xiàn))考點(diǎn)二概率的基本性質(zhì)例2

從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個(gè)數(shù)的概率如表所示：解由題意可得0.02＋0.1＋a＋0.35＋0.2＋0.1＋0.03＝1，解得a＝0.2.紅燈個(gè)數(shù)0123456個(gè)及6個(gè)以上概率0.020.1a0.350.20.10.03求：(1)表中字母a的值；(2)至少遇到4個(gè)紅燈的概率；解設(shè)事件A為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為4，事件B為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為5，事件C為遇到紅燈的個(gè)數(shù)為6個(gè)及6個(gè)以上，則事件“至少遇到4個(gè)紅燈”為A∪B∪C，因?yàn)槭录嗀，B，C互斥，所以P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.1＋0.03＝0.33，即至少遇到4個(gè)紅燈的概率為0.33.(3)至多遇到5個(gè)紅燈的概率.感悟提升復(fù)雜事件概率的求解方法(1)對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率就是這些簡(jiǎn)單事件的概率的和.(2)當(dāng)求解的問(wèn)題中有“至多”“至少”“最少”等關(guān)鍵詞語(yǔ)時(shí)，常?？紤]其對(duì)立事件，通過(guò)求其對(duì)立事件的概率，然后轉(zhuǎn)化為所求問(wèn)題.訓(xùn)練2(多選)(2024·河北名校聯(lián)考)中國(guó)籃球職業(yè)聯(lián)賽中，某男籃球運(yùn)動(dòng)員在最近幾次參加的比賽中的得分情況如下表：ABC記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒(méi)投中為事件C，則(

)A.P(A)＝0.55 B.P(B)＝0.18C.P(C)＝0.27 D.P(B∪C)＝0.55投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518∵事件A∪B為事件C的對(duì)立事件，且事件A，B，C兩兩互斥，∴P(C)＝1－P(A∪B)＝1－P(A)－P(B)＝0.27，∴P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.45.考點(diǎn)三古典概型的綜合應(yīng)用例3

(2024·南充診斷)某大學(xué)“愛(ài)牙協(xié)會(huì)”為了解“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對(duì)200名青少年展開(kāi)了調(diào)查，得知這200個(gè)人中共有120個(gè)人“有蛀牙”，其中“不愛(ài)吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛(ài)吃甜食”且“無(wú)蛀牙”的有50人.有2×2列聯(lián)表如表所示.(1)根據(jù)已知條件完成如表所示的2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)；

有蛀牙無(wú)蛀牙總計(jì)愛(ài)吃甜食

不愛(ài)吃甜食

總計(jì)

解由題意可知，2×2列聯(lián)表為

有蛀牙無(wú)蛀牙總計(jì)愛(ài)吃甜食9030120不愛(ài)吃甜食305080總計(jì)12080200零假設(shè)H0：“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”無(wú)關(guān).根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，∴認(rèn)為“愛(ài)吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.解若從“無(wú)蛀牙”的青少年中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取8人做進(jìn)一步調(diào)查，則愛(ài)吃甜食的有3人，設(shè)為x，y，z，不愛(ài)吃甜食的有5人，設(shè)為a，b，c，d，e，從中隨機(jī)抽取2人，所有情況為{x，y}，{x，z}，{y，z}，{x，a}，{x，b}，{x，c}，{x，d}，{x，e}，{y，a}，{y，b}，{y，c}，{y，d}，{y，e}，{z，a}，{z，b}，{z，c}，{z，d}，{z，e}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{c，d}，{c，e}，{d，e}，共28種，感悟提升有關(guān)古典概型與統(tǒng)計(jì)結(jié)合的題型是高考考查概率的一個(gè)重要題型.概率與統(tǒng)計(jì)的結(jié)合題，無(wú)論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵.復(fù)雜事件的概率可將其轉(zhuǎn)化為互斥事件或?qū)α⑹录母怕蕟?wèn)題.(1)求直方圖中x的值；解由(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125＋x＋0.0050＋0.0025)×20＝1得x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.訓(xùn)練3

某城市100戶(hù)居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))以[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；因?yàn)?0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＝0.45<0.5，且(0.0020＋0.0095＋0.0110＋0.0125)×20＝0.7>0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220，240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.0020＋0.0095＋0.0110)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5，解得a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.(3)在月平均用電量為[240，260)，[260，280)，[280，300]的三組用戶(hù)中，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6戶(hù)居民，并從抽取的6戶(hù)中任選2戶(hù)參加一個(gè)訪談節(jié)目，求參加節(jié)目的2戶(hù)來(lái)自不同組的概率.解月平均用電量為[240，260)的用戶(hù)有0.0075×20×100＝15(戶(hù))，月平均用電量為[260，280)的用戶(hù)有0.005×20×100＝10(戶(hù))，月平均用電量在[280，300]的用戶(hù)有0.0025×20×100＝5(戶(hù)).所以在[240，260)，[260，280)，[280，300]中分別抽取3戶(hù)、2戶(hù)和1戶(hù).設(shè)參加節(jié)目的2戶(hù)來(lái)自不同組為事件A，課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.(多選)下列試驗(yàn)是古典概型的是(

)A.在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)數(shù)x，使x2－3x＋2>0B.口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球?yàn)榘浊虻母怕蔆.向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率D.老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人做典型發(fā)言，甲被選中的概率BD解析A中，在區(qū)間[－1，5]上任取一個(gè)數(shù)x，使x2－3x＋2>0，該事件個(gè)數(shù)是無(wú)限的；B中，從中任取一球的事件有限，且任取一球?yàn)榘浊蚧蚝谇虻母怕适堑瓤赡艿?；C中，向一個(gè)圓面內(nèi)部隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓心的概率不符合有限性；D中，老師從甲、乙、丙三名學(xué)生中任選兩人的事件有限，甲、乙、丙被選中的概率是等可能的.DC解析記印有“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片分別為A，B，C，則樣本點(diǎn)有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9個(gè)，其中一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的樣本點(diǎn)有(A，B)，(B，A)，共2個(gè)，CD解析從1，2，3，4，5中隨機(jī)選取三個(gè)不同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)之積為偶數(shù)的樣本點(diǎn)有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共9個(gè)，它們之和大于8的樣本點(diǎn)有(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共5個(gè)，6.(2023·南京模擬)有5個(gè)形狀大小相同的球，其中3個(gè)紅色、2個(gè)藍(lán)色，從中一次性隨機(jī)取2個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是(

) A.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至少取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件 B.“恰好取到1個(gè)紅球”與“至多取到1個(gè)藍(lán)球”是互斥事件 C.“至少取到1個(gè)紅球”的概率大于“至少取到1個(gè)藍(lán)球”的概率 D.“至多取到1個(gè)紅球”的概率大于“至多取到1個(gè)藍(lán)球”的概率C解析對(duì)于A、B，兩事件能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，A、B錯(cuò)誤；A解析記事件D＝“抽到紅花色”，因?yàn)镈＝A∪B，且A，B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，9.(2024·重慶診斷)餃子是我國(guó)的傳統(tǒng)美食，不僅味道鮮美而且寓意美好.現(xiàn)鍋中煮有白菜餡餃子4個(gè)，韭菜餡餃子3個(gè)，這兩種餃子的外形完全相同.從中任意

舀取3個(gè)餃子，則每種口味的餃子都至少舀取到1個(gè)的概率為_(kāi)_______.解析分為兩類(lèi)，舀取到的餃子有1個(gè)白菜餡，2個(gè)韭菜餡，或是2個(gè)白菜餡，1個(gè)韭菜餡，10.(2024·聊城模擬)若互不相等的實(shí)數(shù)m，n，s，t滿(mǎn)足mn＝st，則稱(chēng)m，n，s，t具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì).現(xiàn)從2，4，8，16，32，64，128這7個(gè)數(shù)中隨機(jī)選取4個(gè)

不同的數(shù)，則這4個(gè)數(shù)具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的概率為_(kāi)_______.因?yàn)?＝21，4＝22，8＝23，16＝24，32＝25，64＝26，128＝27，所以具有“準(zhǔn)等比”性質(zhì)的4個(gè)數(shù)有{2，16，4，8}，{2，32，4，16}，{2，64，8，16}，{2，64，4，32}，{2，128，4，64}，{2，128，8，32}，{8，16，4，32}，{4，64，8，32}，{4，128，16，32}，{4，128，8，64}，{16，32，8，64}，{16，64，8，128}，{32，64，16，128}，共13種.11.2021年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情況. (1)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？解由已知得老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，由于采用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取25位員工，因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人、9人、10人.(2)抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.員工項(xiàng)目ABCDEF子女教育○○×○×○繼續(xù)教育××○×○○大病醫(yī)療×××○××住房貸款利息○○××○○住房租金××○×××贍養(yǎng)老人○○×××○①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果；解從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的樣本空間為{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個(gè)樣本點(diǎn).②設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.解

由表格知，符合題意的樣本空間為{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共11個(gè)樣本點(diǎn)，12.某中學(xué)組織了一次數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試，學(xué)校從測(cè)試合格的男、女生中各隨機(jī)抽取100人的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖.注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](1)若得分大于或等于80認(rèn)定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？解由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)在(1)中所述的優(yōu)秀學(xué)生中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率.13.(2024·北京通州