2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第05講 一元二次方程根的判別式

第05講一元二次方程根的判別式模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；根的判別式一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母，即.根的情況與判別式的關(guān)系方程有兩個不相等的實根:x=?方程有兩個相等的實根：方程無實根考點(diǎn)01：根據(jù)判別式判斷方程根的情況例題1.已知關(guān)于的一元二次方程．(1)判斷此方程根的情況，并說明理由；(2)當(dāng)時，求方程的根．【變式1-1】（24-25九年級上·四川眉山·期中）關(guān)于方程的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【變式1-2】一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【變式1-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有一個解為0，求k的值；(2)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；例題2．（24-25九年級上·江蘇徐州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【變式2-1】（24-25九年級上·廣東河源·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：無論k取何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【變式2-2】（24-25九年級上·山西呂梁·期中）已知關(guān)于的一元二次方程，試說明：不論為何值，此方程總有實數(shù)根．【變式2-3】已知關(guān)于的一元二次方程(1)求證：無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；(2)若的一邊長，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求的取值范圍．考點(diǎn)02：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)例題3．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是．【變式3-1】（24-25九年級上·陜西西安·期中）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【變式3-2】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式3-3】（24-25九年級上·吉林長春·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．例題4．（24-25九年級上·天津河?xùn)|·期中）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）．(1)若是該方程的一個實數(shù)根，求的值；(2)若該方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．【變式4-1】（24-25九年級上·北京東城·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的根．【變式4-2】（24-25九年級上·廣東中山·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時，求這個方程的解；(2)當(dāng)m為何值時，此方程有兩個相等的實數(shù)根？【變式4-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求p的取值范圍；(2)對p選取一個合適的整數(shù)，使原方程有兩個實數(shù)根，并解這個方程．例題5．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求證：是非負(fù)數(shù)．【變式5-1】（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）若關(guān)于x的方程有實根，試化簡．【變式5-2】（24-25八年級上·上海黃浦·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為整數(shù)，且，是方程的一個根，求代數(shù)式的值．【變式5-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．其中a，b，c分別為三邊的長．(1)如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由；(3)如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期中）若一元二次方程有實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且3．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．4．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知a，b，c為常數(shù)，，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定二、填空題5．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．6．（23-24九年級上·安徽宿州·期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．三、解答題7．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）若關(guān)于的方程有實數(shù)根，求的取值范圍．8．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）已知關(guān)于的一元二次方程，求證：無論取何值，該方程一定有實數(shù)根，并用含有的代數(shù)式表示方程的根．9．（22-23八年級下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，化簡：．10．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若的兩邊、的長是方程的兩個實數(shù)根，第三邊的長為4，當(dāng)是等腰三角形時，求k的值．

第05講一元二次方程根的判別式模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等；根的判別式一般地，式子叫做一元二次方程根的判別式，通常用希臘字母，即.根的情況與判別式的關(guān)系方程有兩個不相等的實根:方程有兩個相等的實根：方程無實根考點(diǎn)01：根據(jù)判別式判斷方程根的情況例題1.已知關(guān)于的一元二次方程．(1)判斷此方程根的情況，并說明理由；(2)當(dāng)時，求方程的根．【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根，理由見解析(2)，【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識．（1）判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式的值的符號即可；（2）把的值代入方程，然后解方程即可．【解析】（1）解：方程有兩個不相等的實數(shù)根，理由如下：關(guān)于的一元二次方程為，，，，即方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）當(dāng)時，原方程為，，．【變式1-1】（24-25九年級上·四川眉山·期中）關(guān)于方程的根的情況，下列說法正確的是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】D【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1），方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2），方程有兩個相等的實數(shù)根；（3），方程沒有實數(shù)根．根據(jù)根的判別式即可求出答案．【解析】解：∵，∴關(guān)于一元二次方程沒有實數(shù)根．故選：D．【變式1-2】一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．【解析】解：∵，∴，∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根故選：B．【變式1-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)若方程有一個解為0，求k的值；(2)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；【答案】(1)0或(2)證明過程見詳解【分析】本題考查了根的判別式以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是∶(1)代入得出關(guān)于k的一元二次方程；(2)求出的值，本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，由根的判別式來判斷實數(shù)根的個數(shù)是關(guān)鍵．（1）將代入原方程，得出關(guān)于k的一元二次方程，解方程即可求出k的值；（2）求出的值，再與0作比較，由于，從而證出方程有兩個不相等的實數(shù)根．【解析】（1）解∶方程有一個根為0，，即，解得∶，，k的值為0或．（2）證明∶，方程有兩個不相等的實數(shù)根．例題2．（24-25九年級上·江蘇徐州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【答案】見解析【分析】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根．計算一元二次方程根的判別式，通過配方法得出判別式大于等于0即可求解．【解析】解：∵，，∴；∵不論m為何值，∴不論m為何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【變式2-1】（24-25九年級上·廣東河源·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．求證：無論k取何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【分析】本題考查根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，掌握一元二次方程的根的判別式為，且當(dāng)時，該方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，該方程沒有實數(shù)根是解題關(guān)鍵．求出該一元二次方程根的判別式，即可得解．【解析】解：．∵，∴，∴無論k取何值，該方程總有兩個實數(shù)根．【變式2-2】（24-25九年級上·山西呂梁·期中）已知關(guān)于的一元二次方程，試說明：不論為何值，此方程總有實數(shù)根．【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式．熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．由題意知，，進(jìn)而結(jié)論得證．【解析】解：由題意，得．不論為何值，此方程總有實數(shù)根．【變式2-3】已知關(guān)于的一元二次方程(1)求證：無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根；(2)若的一邊長，另兩邊長恰好是這個方程的兩個根，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了根的判別式、三角形的三邊關(guān)系、求根公式：（1）先計算根的判別式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明，從而得到結(jié)論；（2）先利用求根公式得到，再利用兩邊之和大于第三邊得到，然后解不等式組得到的范圍．【解析】（1）無論取何實數(shù)值，方程總有實數(shù)根．（2）根據(jù)求根公式可得：解得即解得：即的取值范圍為．考點(diǎn)02：根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)例題3．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．利用判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程即可．【解析】解：根據(jù)題意得，解得：．故答案為：．【變式3-1】（24-25九年級上·陜西西安·期中）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程有實數(shù)根，則列出不等式，解不等式即可，需要注意二次項系數(shù)不能為0．【解析】解：由題意得，解得且．故選D．【變式3-2】若一元二次方程有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式可得：，再求解即可．【解析】解：由關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，可得：，解得：；故選：C．【變式3-3】（24-25九年級上·吉林長春·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與根的關(guān)系，熟練掌握根的判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵．當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實數(shù)根．由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關(guān)于a的不等式，可求得a的取值范圍．【解析】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴且，即且，解得且，∴a的取值范圍為且．故答案為：且．例題4．（24-25九年級上·天津河?xùn)|·期中）已知關(guān)于的一元二次方程（為常數(shù)）．(1)若是該方程的一個實數(shù)根，求的值；(2)若該方程有兩個實數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)且【分析】本題主要考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是對根的判別式的掌握與靈活運(yùn)用．（1）將代入原方程可求出m的值；（2）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范圍．【解析】（1）解：將代入原方程得：，解得：，的值為；（2）解：關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，，解得：，是關(guān)于的一元二次方程，，的取值范圍為：且．【變式4-1】（24-25九年級上·北京東城·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求m的取值范圍；(2)若m為符合條件的最大整數(shù)，求此時方程的根．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式及解方程的方法，是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式，結(jié)合題意即可求解；（2）根據(jù)m的范圍確定m的取值，代入方程，因式分解即可求得方程的根．【解析】（1）解：因為關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，解得；（2）解：由（1）得，所以符合條件的最大整數(shù)為2，即，此時方程為，分解因式得，解得．【變式4-2】（24-25九年級上·廣東中山·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)當(dāng)時，求這個方程的解；(2)當(dāng)m為何值時，此方程有兩個相等的實數(shù)根？【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，對于（1），將代入，并求出解；對于（2），根據(jù)，求出答案即可．【解析】（1）當(dāng)時，，即，∴，解得；（2）∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，解得．當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．【變式4-3】已知關(guān)于x的方程．(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求p的取值范圍；(2)對p選取一個合適的整數(shù)，使原方程有兩個實數(shù)根，并解這個方程．【答案】(1)(2)當(dāng)時，，（答案不唯一）【分析】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式即可進(jìn)行解答；（2）選擇一個符合條件的k的值代入求解即可．【解析】（1）解：∵關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：．（2）當(dāng)時，原方程為，，或，，．（答案不唯一）例題5．已知關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，求證：是非負(fù)數(shù)．【分析】本題考查根的判別式，根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得到，進(jìn)而得到，代入，得到，即可得證．【解析】證明：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴，∴是非負(fù)數(shù)．【變式5-1】（24-25九年級上·安徽蕪湖·期中）若關(guān)于x的方程有實根，試化簡．【答案】【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，涉及二次根式的化簡、絕對值的化簡等知識，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．由一元二次方程有實根得到，繼而解得，再由完全平方公式因式分解，化簡二次根式，結(jié)合絕對值的性質(zhì)解題．【解析】解：∵方程有實根，∴，∴．

．【變式5-2】（24-25八年級上·上海黃浦·期中）已知關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)若為整數(shù)，且，是方程的一個根，求代數(shù)式的值．【答案】(1)且(2)【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的定義，代數(shù)式求值，理解根的判別式是解答關(guān)鍵．（1）根據(jù)一元二次方程的定義，根的判別式來求解；（2）根據(jù)題意先求出，進(jìn)而得到，再代入代數(shù)式中進(jìn)行計算求解．【解析】（1）解：由題意得，∴，，．，且．（2）解：由題意得：，且為的整數(shù)，．將，代入得：，將代入中．【變式5-3】已知關(guān)于x的一元二次方程．其中a，b，c分別為三邊的長．(1)如果是方程的根，試判斷的形狀，并說明理由；(2)如果方程有兩個相等的實數(shù)根，試判斷的形狀，并說明理由；(3)如果是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．【答案】(1)為等腰三角形，理由見解析(2)為直角三角形，理由見解析(3)，【分析】（1）把代入原方程，得出，即可得出為等腰三角形；（2）根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，得出，從而得出，即可判定出為直角三角形；（3）根據(jù)是等邊三角形，得出，代入原方程得出，整理得出，求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：將代入原方程得：，即，∴為等腰三角形．（2）解：∵方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，∴，∴為直角三角形．（3）解：∵是等邊三角形，∴，∴原方程為：，∵，∴，∴，解得：，．一、單選題1．（23-24八年級下·安徽馬鞍山·期中）若一元二次方程有實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根得情況求參數(shù)，根據(jù)題意可知，即可求出m的取值范圍．【解析】解：根據(jù)題意可知：，即：，解得：，故選：B．2．（23-24八年級下·安徽阜陽·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】D【分析】此題考查了根的判別式，解一元一次不等式，以及一元二次方程的定義，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)方程有實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0且二次項系數(shù)不為0，求出a的范圍即可．【解析】解：由題意得：，解不等式得：，∵該方程為一元二次方程，∴，∴，∴a的取值范圍是且，故選：D．3．（23-24七年級下·安徽馬鞍山·期中）關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則a的取值范圍是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的根的判別式．分兩種情況討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，方程是一元一次方程，顯然有實數(shù)根，即可得到答案．【解析】解：∵關(guān)于的方程有實數(shù)根，∴當(dāng)時，，解得：且，當(dāng)時，方程是一元一次方程，顯然有實數(shù)根，綜上所述：．故選：B．4．（23-24八年級下·安徽安慶·期中）已知a，b，c為常數(shù)，，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況為（

）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判定【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，據(jù)此求解即可．【解析】解：由題意得，，∵，∴，∴，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：A．二、填空題5．（23-24八年級下·安徽蚌埠·期中）一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元一次方程．根據(jù)一元二次方程根的判別式得出，解一元一次方程即可．【解析】解：，整理得：，，，，則，∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，∴，即，解得：．故答案為：．6．（23-24九年級上·安徽宿州·期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根