2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第02講 二次根式的運(yùn)算

第02講二次根式的運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)1最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2.最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、、等．知識(shí)點(diǎn)2二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：（a≥0，b＞0）注意：在使用性質(zhì)（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無(wú)意義；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．知識(shí)點(diǎn)3分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．2.兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)4同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．注意：同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)．（2）幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．知識(shí)點(diǎn)5二次根式的加減法1.法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)6二次根式的混合運(yùn)算1.二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．2.二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．知識(shí)點(diǎn)7二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．知識(shí)點(diǎn)8二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．考點(diǎn)01：求二次根式的值例題1.已知，則代數(shù)式的值是．【變式1-1】（2024·河北張家口·三模）若，則計(jì)算的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【變式1-2】當(dāng)時(shí)，的值是．【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）當(dāng)時(shí)，二次根式的值是．考點(diǎn)02：二次根式的乘法例題2.（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如果，那么（

）A． B． C． D．為一切實(shí)數(shù)【變式2-1】化簡(jiǎn)的正確結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．3【變式2-2】計(jì)算：．【變式2-3】計(jì)算．考點(diǎn)03：二次根式的除法例題3．（24-25八年級(jí)上·上海·期中）假設(shè)長(zhǎng)方形的面積為，相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，已知，，則．【變式3-1】計(jì)算：【變式3-2】若，則．【變式3-3】若三角形的面積為26，一邊長(zhǎng)為，則這邊上的高線長(zhǎng)為．考點(diǎn)04：二次根式的乘除混合運(yùn)算例題4.已知，則的值為．【變式4-1】計(jì)算：．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·廣西百色·期中）計(jì)算：．【變式4-3】（24-25八年級(jí)上·上海寶山·期中）計(jì)算：考點(diǎn)05：最簡(jiǎn)二次根式的判斷例題5.二次根式、、、中是最簡(jiǎn)二次根式的有個(gè)．【變式5-1】下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式5-2】下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式5-3】在、、、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的是．考點(diǎn)06：同類二次根式例題6.在二次根式、、、、、中，與是同類二次根式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式6-1】下列二次根式中，不能與合并的是（

）A． B． C． D．【變式6-2】如果與是同類二次根式，那么．【變式6-3】如最簡(jiǎn)二次根式與能進(jìn)行合并，且，化簡(jiǎn)：．考點(diǎn)07：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)例題7．（24-25八年級(jí)上·四川甘孜·期中）與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則．【變式7-1】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，則．【變式7-2】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則代數(shù)式的值為．【變式7-3】若是最簡(jiǎn)二次根式，且為整數(shù)，則的最小值是．考點(diǎn)08：二次根式的加減運(yùn)算例題8．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）計(jì)算：．【變式8-1】計(jì)算：（

）A． B． C． D．【變式8-2】計(jì)算：．【變式8-3】計(jì)算：(1)(2)考點(diǎn)09：二次根式的混合運(yùn)算例題9.計(jì)算：已知：，，求．【變式9-1】（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【變式9-2】計(jì)算：(1)(2)【變式9-3】計(jì)算：(1)；(2)．考點(diǎn)10：分母有理化例題10．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）認(rèn)識(shí)概念：一、兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式；如：；，我們稱的一個(gè)有理化因式為，的一個(gè)有理化因式是；二、如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．如：；理解應(yīng)用：（1）填空：的有理化因式是________；將分母有理化得________；（2）化簡(jiǎn)：；拓展應(yīng)用：（3）利用以上解題方法比較與的大小，并說(shuō)明理由．【變式10-1】計(jì)算的結(jié)果是．【變式10-2】分母有理化：；【變式10-3】（24-25八年級(jí)上·福建寧德·期中）我們已經(jīng)知道，因此像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子，把無(wú)理數(shù)的分母化成有理數(shù)的變形叫做分母有理化．請(qǐng)你通過(guò)分母有理化完成以下各小題(1)計(jì)算：；(2)比較：與的大?。?3)化簡(jiǎn)：．考點(diǎn)11：已知字母的值或條件式，進(jìn)行化簡(jiǎn)求值例題11．已知，求的值．【變式11-1】已知，求的值【變式11-2】已知，，求的值．【變式11-3】已知，求下列各式的值：(1)(2)考點(diǎn)12：比較二次根式的大小例題12.設(shè)，，，將用“>”進(jìn)行排列，則排列后的順序是．【變式12-1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）已知，，則x與y的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無(wú)法比較【變式12-2】比較大?。海ㄌ睢啊?、“”、“”）．【變式12-3】（24-25八年級(jí)上·廣東茂名·期中）比較大?。海ㄕ?qǐng)用<，>或=填空）考點(diǎn)13：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)例題13.閱讀下列材料回答問(wèn)題：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使，，則，，那么便有．如，，，，．(1)填空：______，______；(2)化簡(jiǎn)：①，②；(3)計(jì)算：．【變式13-1】“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故．由，解得，即．根據(jù)以上方法，求的值．【變式13-2】像…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式，有些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：(2)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值【變式13-3】先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如：．解決問(wèn)題：(1)在橫線和括號(hào)內(nèi)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：；(2)根據(jù)上述思路，試將予以化簡(jiǎn)．一、單選題1．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．2．（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．3．（23-24八年級(jí)下·安徽銅陵·期末）下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．4．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知，則的值為（

）A．4 B． C．3 D．2

二、填空題5．（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則．6．（23-24八年級(jí)下·安徽淮南·期末）寫出一個(gè)最簡(jiǎn)二次根式，使它與可以進(jìn)行合并，這個(gè)二次根式可以是．（寫一個(gè)即可）7．（23-24八年級(jí)下·安徽蕪湖·期末）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)結(jié)果為．三、解答題8．（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）計(jì)算：(1)(2)9．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）計(jì)算下列各題：(1)；(2)．10．（23-24八年級(jí)下·安徽六安·期末）閱讀下面問(wèn)題：；；；(1)直接寫出：①的值為；②的值為；(2)試求的值．

第02講二次根式的運(yùn)算模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)1．了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)1最簡(jiǎn)二次根式1.最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式．2.最簡(jiǎn)二次根式的條件：（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有4、9、、等．知識(shí)點(diǎn)2二次根式的乘除法（1）積的算術(shù)平方根性質(zhì)：（a≥0，b≥0）（2）二次根式的乘法法則：（a≥0，b≥0）（3）商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：（a≥0，b＞0）（4）二次根式的除法法則：（a≥0，b＞0）注意：在使用性質(zhì)（a≥0，b≥0）時(shí)一定要注意a≥0，b≥0的條件限制，如果a＜0，b＜0，使用該性質(zhì)會(huì)使二次根式無(wú)意義；同樣的在使用二次根式的乘法法則，商的算術(shù)平方根和二次根式的除法運(yùn)算也是如此．知識(shí)點(diǎn)3分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去．分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式．2.兩個(gè)含二次根式的代數(shù)式相乘時(shí)，它們的積不含二次根式，這樣的兩個(gè)代數(shù)式成互為有理化因式．一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)．知識(shí)點(diǎn)4同類二次根式1.同類二次根式的定義：一般地，把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式后，如果它們的被開(kāi)方數(shù)相同，就把這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．2.合并同類二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．注意：同類二次根式：把幾個(gè)二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式．（1）同類二次根式類似于整式中的同類項(xiàng)．（2）幾個(gè)同類二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同．（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同．知識(shí)點(diǎn)5二次根式的加減法1.法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變．2.步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào)．②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)．③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式．3.合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式的方法：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，如果被開(kāi)方數(shù)相同則可以進(jìn)行合并．合并時(shí)，只合并根式外的因式，即系數(shù)相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)6二次根式的混合運(yùn)算1.二次根式的混合運(yùn)算是二次根式乘法、除法及加減法運(yùn)算法則的綜合運(yùn)用．學(xué)習(xí)二次根式的混合運(yùn)算應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①與有理數(shù)的混合運(yùn)算一致，運(yùn)算順序先乘方再乘除，最后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的．②在運(yùn)算中每個(gè)根式可以看做是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類的二次根式的和可以看作“多項(xiàng)式”．2.二次根式的運(yùn)算結(jié)果要化為最簡(jiǎn)二次根式．3.在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．知識(shí)點(diǎn)7二次根式的化簡(jiǎn)求值二次根式的化簡(jiǎn)求值，一定要先化簡(jiǎn)再代入求值．二次根式運(yùn)算的最后，注意結(jié)果要化到最簡(jiǎn)二次根式，二次根式的乘除運(yùn)算要與加減運(yùn)算區(qū)分，避免互相干擾．知識(shí)點(diǎn)8二次根式的應(yīng)用把二次根式的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)生活相聯(lián)系，體現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，感受所學(xué)知識(shí)的整體性，不斷豐富解決問(wèn)題的策略，提高解決問(wèn)題的能力．二次根式的應(yīng)用主要是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中用到有關(guān)二次根式的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法．考點(diǎn)01：求二次根式的值例題1.已知，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，先將變形為，再將代入即得答案．【解析】∵，∴．故答案為：．【變式1-1】（2024·河北張家口·三模）若，則計(jì)算的結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)和化簡(jiǎn)，先根據(jù)求出，即可求解．【解析】∵∴∴故選：A．【變式1-2】當(dāng)時(shí)，的值是．【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，把代入計(jì)算即可求解，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，∴，故答案為：26【變式1-3】（23-24八年級(jí)下·黑龍江綏化·期末）當(dāng)時(shí)，二次根式的值是．【答案】4【分析】本題主要考查了求二次根式的值，掌握二次根式的值的求法是解答本題的關(guān)鍵．將代入即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得：，故答案為：4．考點(diǎn)02：二次根式的乘法例題2.（24-25九年級(jí)上·四川宜賓·期中）如果，那么（

）A． B． C． D．為一切實(shí)數(shù)【答案】B【分析】本題考查二次根式乘法法則成立的條件，解題的關(guān)鍵是掌握：二次根式的乘法法則是，注意：只有、都是非負(fù)數(shù)時(shí)法則才成立．據(jù)此列式求解即可．也考查一元一次不等式組的解法．【解析】解：∵，∴，解得：．故選：B．【變式2-1】化簡(jiǎn)的正確結(jié)果是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【分析】本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握乘法法則是解答本題的關(guān)鍵．二次根式相乘，把系數(shù)相乘作為積的系數(shù)，被開(kāi)方數(shù)相乘，并化為最簡(jiǎn)二次根式．【解析】解：．故選A．【變式2-2】計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握二次根式的乘法運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可【解析】解：，故答案為：．【變式2-3】計(jì)算．【答案】8【分析】本題主要考查二次根式的乘方，直接根據(jù)二次根式的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解析】解：，故答案為：8．考點(diǎn)03：二次根式的除法例題3．（24-25八年級(jí)上·上?！て谥校┘僭O(shè)長(zhǎng)方形的面積為，相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，已知，，則．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除法，掌握分母有理化是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得：，將，代入即可得到的值．【解析】解：長(zhǎng)方形的面積為，相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，，，，，故答案為：．【變式3-1】計(jì)算：【答案】【分析】本題考查二次根式的除法運(yùn)算，先算除法再化簡(jiǎn)即可．【解析】，故答案為：．【變式3-2】若，則．【答案】【分析】本題主要考查了解一元一次方程，二次根式的除法計(jì)算，把方程兩邊同時(shí)除以即可得到答案．【解析】解：∵，∴，故答案為：．【變式3-3】若三角形的面積為，一邊長(zhǎng)為，則這邊上的高線長(zhǎng)為．【答案】【分析】此題考查了二次根式除法運(yùn)算，利用三角形面積公式列式，再用二次根式的除法計(jì)算即可．【解析】解：由題意可得高線長(zhǎng)為：，故答案為：考點(diǎn)04：二次根式的乘除混合運(yùn)算例題4.已知，則的值為．【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，方程兩邊同時(shí)除以，進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵，∴；故答案為：．【變式4-1】計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的乘除混合計(jì)算，熟知二次根式的乘除法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【解析】解：．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·廣西百色·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，根據(jù)二次根式乘除法的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【解析】解：，故答案為：．【變式4-3】（24-25八年級(jí)上·上海寶山·期中）計(jì)算：【答案】【分析】本題考查了二次根式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)二次根式的乘除計(jì)算法則進(jìn)行計(jì)算求解即可．【解析】解：．考點(diǎn)05：最簡(jiǎn)二次根式的判斷例題5.二次根式、、、中是最簡(jiǎn)二次根式的有個(gè)．【答案】1【分析】本題考查的是最簡(jiǎn)二次根式的定義，被開(kāi)方數(shù)不含分母；被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是最簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義解答即可．【解析】解：，，，都不是最簡(jiǎn)二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式，則最簡(jiǎn)二次根式有1個(gè)，故答案為：1．【變式5-1】下列選項(xiàng)中的式子，是最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念判斷即可．【解析】A、，故該選項(xiàng)不符合題意；B、，故該選項(xiàng)不符合題意；C、，故該選項(xiàng)不符合題意；D、不能再化簡(jiǎn)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【變式5-2】下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．【解析】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；故選：C【變式5-3】在、、、、、中，是最簡(jiǎn)二次根式的是．【答案】【分析】本題是對(duì)最簡(jiǎn)二次根式的考查，熟練掌握最簡(jiǎn)二次根式定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)被開(kāi)方數(shù)不含分母，不含開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式分析判斷即可．【解析】解：，不是最簡(jiǎn)二次根式；，不是最簡(jiǎn)二次根式；，不是最簡(jiǎn)二次根式；，不是最簡(jiǎn)二次根式；不是二次根式，是最簡(jiǎn)二次根式；故答案為：．考點(diǎn)06：同類二次根式例題6.在二次根式、、、、、中，與是同類二次根式的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，根據(jù)同類二次根式的定義，二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式即為同類二次根式，可得答案．【解析】解：∵，，，，，∴與是同類二次根式的有，，，，中共5個(gè)，故選：D．【變式6-1】下列二次根式中，不能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式的概念，熟練掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．先將各二次根式化簡(jiǎn)，再根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行判斷即可．【解析】A、因?yàn)?，所以A不符合題意；B、因?yàn)?，所以B不符合題意；C、因?yàn)?，所以C符合題意；D、因?yàn)椋訢不符合題意．故選：C．【變式6-2】如果與是同類二次根式，那么．【答案】1【分析】本題考查了同類二次根式的定義、二次根式有意義的條件，根據(jù)題意得出，求解即可得出的值，再結(jié)合二次根式有意義的條件判斷即可得解．【解析】解：由已知，得，解得或1，當(dāng)時(shí)，，不合題意，∴．故答案為：1．【變式6-3】如最簡(jiǎn)二次根式與能進(jìn)行合并，且，化簡(jiǎn)：．【答案】4【分析】本題主要考查了同類二次根式的定義，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，整式的加減運(yùn)算，掌握同類二次根式的定義，二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．同類二次根式指的是根指數(shù)相同，被開(kāi)方數(shù)相同，由此可得，解出的值，可確定，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后運(yùn)用整式的加減運(yùn)算即可求解．【解析】解：由題意可知：，解得，，，，，．考點(diǎn)07：已知最簡(jiǎn)二次根式求參數(shù)例題7．（24-25八年級(jí)上·四川甘孜·期中）與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，則．【答案】【分析】本題主要考查了最簡(jiǎn)二次根式，同類二次根式，化簡(jiǎn)二次根式，根據(jù)同類二次根式的定義可得出，求解即可．【解析】解：∵與最簡(jiǎn)二次根式是同類二次根式，∴，解得：，故答案為：．【變式7-1】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類根式，則．【答案】9【分析】本題考查了同類二次根式，以及最簡(jiǎn)二次根式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)同類二次根式的概念進(jìn)行解答即可．【解析】解：由題意可知，，，解得，，；故答案為：9．【變式7-2】若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則代數(shù)式的值為．【答案】7【分析】此題主要考查了同類二次根式的定義，即：二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式，也考查了代數(shù)式求值．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式與同類二次根式的定義列方程組求解后，再求代數(shù)式的值即可．【解析】解：由題意，得，解得，故答案為：7【變式7-3】若是最簡(jiǎn)二次根式，且為整數(shù)，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式的定義．讓被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)列式求得的取值范圍，找到最小的整數(shù)解即可．【解析】解：二次根式有意義，，解得：，當(dāng)時(shí)，二次根式的值為，是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意，若二次根式是最簡(jiǎn)二次根式，則整數(shù)的最小值是．故答案為：．考點(diǎn)08：二次根式的加減運(yùn)算例題8．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查二次根式加減運(yùn)算，熟練掌握二次根式化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．先化簡(jiǎn)各二次根式，再合并同類二次根式即可．【解析】解：原式．【變式8-1】計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解析】解：原式，故選：B．【變式8-2】計(jì)算：．【答案】【分析】本題主要考查了二次根式加減法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．首先將化成最簡(jiǎn)二次根式，然后合并同類二次根式即可．【解析】解：．故答案為：．【變式8-3】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的加減混合運(yùn)算．（1）先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．考點(diǎn)09：二次根式的混合運(yùn)算例題9.計(jì)算：已知：，，求．【答案】5【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式，求代數(shù)式的值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式運(yùn)算法則．先根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則求出和的值，再把變形為，最后整體代入求值．【解析】解：∵，，∴，，∴．【變式9-1】（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的二次根式的減法運(yùn)算，再計(jì)算除法運(yùn)算即可；（2）先化簡(jiǎn)，再合并同類二次根式即可．【解析】（1）解：；；（2）解：．【變式9-2】計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)完全平方公式，平方差公式，化簡(jiǎn)絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的除法以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而即可求解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【變式9-3】計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的混合運(yùn)算：（1）先計(jì)算二次根式的乘法，化簡(jiǎn)二次根式、絕對(duì)值，再合并同類二次根式即可；（2）先計(jì)算二次根式的乘除，再進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算．【解析】（1）解：；（2）解：．考點(diǎn)10：分母有理化例題10．（24-25八年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）認(rèn)識(shí)概念：一、兩個(gè)含有二次根式且非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式；如：；，我們稱的一個(gè)有理化因式為，的一個(gè)有理化因式是；二、如果一個(gè)代數(shù)式的分母中含有二次根式，通?？蓪⒎肿?、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根號(hào)，這種變形叫做分母有理化．如：；理解應(yīng)用：（1）填空：的有理化因式是________；將分母有理化得________；（2）化簡(jiǎn)：；拓展應(yīng)用：（3）利用以上解題方法比較與的大小，并說(shuō)明理由．【答案】（1），；（2）；（3），理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，掌握二次根式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)材料提示的分母有理化方法，二次根式的性質(zhì)，二次根式的乘法運(yùn)算法則即可求解；（2）根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解；（3）根據(jù)題意可得，，再根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法即可求解．【解析】解：（1）∵，∴的有理化因式是，∵，∴將分母有理化得，故答案為：，；（2）；（3），理由如下：由題意得：，，∵，∴．【變式10-1】計(jì)算的結(jié)果是．【答案】【分析】本題主要考查了分母有理化，分子分母同時(shí)乘以，然后利用平方差公式計(jì)算，再進(jìn)行約分即可．【解析】解：，故答案為：．【變式10-2】分母有理化：；【答案】【分析】本題考查二次根式的分母有理化．利用了平方差公式分母有理化即可．【解析】解：，故答案為：．【變式10-3】（24-25八年級(jí)上·福建寧德·期中）我們已經(jīng)知道，因此像這樣通過(guò)分子、分母同乘一個(gè)式子，把無(wú)理數(shù)的分母化成有理數(shù)的變形叫做分母有理化．請(qǐng)你通過(guò)分母有理化完成以下各小題(1)計(jì)算：；(2)比較：與的大??；(3)化簡(jiǎn)：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）分子、分母同時(shí)乘以，進(jìn)行分母有理化即可求解；（2）根據(jù)材料提示，將的分子、分母同時(shí)乘以分母有理化得，將的分子、分母同時(shí)乘以分母有理化得，再將兩數(shù)作差進(jìn)行比較即可；（3）根據(jù)材料提示，分別進(jìn)行分母有理化，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算法則即可求解．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．考點(diǎn)11：已知字母的值或條件式，進(jìn)行化簡(jiǎn)求值例題11．已知，求的值．【答案】當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．【分析】討論：當(dāng)，，利用因式分解的方法得到，解得，當(dāng)，，則，解得，然后把，代入中進(jìn)行分式的化簡(jiǎn)求解．【解析】解：要有意義，即，且或且，當(dāng)且時(shí)，，或（舍去），解得：，把代入得：；當(dāng)且時(shí)，，（舍去）或，解得：，把代入得：．【變式11-1】已知，求的值【答案】【分析】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確應(yīng)用乘法公式進(jìn)行整體代入是解題關(guān)鍵．首先化簡(jiǎn)得到，，然后求出，，然后代入求解即可．【解析】解：，，∴，，．【變式11-2】已知，，求的值．【答案】【分析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，完全平方公式和平方差公式，首先根據(jù)完全平方公式和平方差公式化簡(jiǎn)，然后利用二次根式的混合運(yùn)算法則求解，最后代數(shù)求解即可．【解析】解：，∵，，∴原式．【變式11-3】已知，求下列各式的值：(1)(2)【答案】(1)12(2)【分析】本題考查了完全平方公式以及分式化簡(jiǎn)求值，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先整理，再把代入計(jì)算，即可作答．（2）先通分得出，再把代入計(jì)算，即可作答．【解析】（1）解：∵∴（2）解：∵∴．考點(diǎn)12：比較二次根式的大小例題12.設(shè)，，，將用“>”進(jìn)行排列，則排列后的順序是．【答案】【分析】此題主要考查了分母有理化，比較二次根式的大?。劝寻迅魇交癁樽詈?jiǎn)根式或分母有理化，然后用求差法比較各數(shù)的大?。窘馕觥拷猓?，，由，則，由，則，∴b最大，又∵，則．故．故答案為：．【變式12-1】（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）已知，，則x與y的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．無(wú)法比較【答案】C【分析】本題主要考查二次根式的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的大小比較的方法和二次根式的運(yùn)算法則．將、分別平方后，比較即可得．【解析】解：∵，，∴、，∵，∴．故選C【變式12-2】比較大?。海ㄌ睢啊薄ⅰ啊?、“”）．【答案】【分析】本題考查了比較二次根式的大小，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先把化成，再進(jìn)行比較即可．【解析】解：∵，∴，∴，故答案為：．【變式12-3】（24-25八年級(jí)上·廣東茂名·期中）比較大?。海ㄕ?qǐng)用<，>或=填空）【答案】>【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的估算，實(shí)數(shù)的大小比較，根據(jù)得出，即可作答．【解析】解：依題意，∵，∴，故答案為：>．考點(diǎn)13：復(fù)合二次根式的化簡(jiǎn)例題13.閱讀下列材料回答問(wèn)題：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)數(shù)a，b，使，，則，，那么便有．如，，，，．(1)填空：______，______；(2)化簡(jiǎn)：①，②；(3)計(jì)算：．【答案】(1)；(2)①；②(3)【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式：（1）先把變形為，進(jìn)而得到，據(jù)此化簡(jiǎn)即可；同理可把變形為據(jù)此化簡(jiǎn)即可；（2）①根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；②根據(jù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（3）先把原式變形為，進(jìn)一步變形得到，據(jù)此化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）解：；；故答案為：；；（2）解：①；②；（3）解：．【變式13-1】“分母有理化”是我們常用的一種化簡(jiǎn)方法，除此之外，我們也可以用平方之后再開(kāi)方的方式來(lái)化簡(jiǎn)一些有特點(diǎn)的無(wú)理數(shù)，如：對(duì)于，設(shè)，易知，故．由，解得，即．根據(jù)以上方法，求的值．【答案】【分析】本題主要考查了化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式，仿照題意設(shè)，再把等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行計(jì)算求解即可．【解析】解：設(shè)，∴，∴，∵，∴，∴．【變式13-2】像…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式，有些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡(jiǎn)，如：請(qǐng)用上述方法探索并解決下列問(wèn)題：(1)化簡(jiǎn)：(2)若，且a，m，n為正整數(shù)，求a的值【答案】(1)(2)或【分析】本題考查化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式：（1）根據(jù)題意，構(gòu)造完全平方公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)題意得到是一個(gè)完全平方式，進(jìn)而推出或，進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：；（2）∵∴是一個(gè)完全平方式，∵，，均為正整數(shù)，且或，∴或，∴，此時(shí)或，此時(shí)．【變式13-3】先閱讀下列材料，再解決問(wèn)題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號(hào)內(nèi)又帶根號(hào)的數(shù)，它們能通過(guò)完全平方公式及二次根式的性質(zhì)化去一層根號(hào)．例如：．解決問(wèn)題：(1)在橫線和括號(hào)內(nèi)上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：；(2)根據(jù)上述思路，試將予以化簡(jiǎn)．【答案】(1)；；；(2)【分析】本題主要考查了復(fù)合二次根式化簡(jiǎn)：（1）根據(jù)結(jié)合完全平方公式得到，據(jù)此化簡(jiǎn)即可；（2）根據(jù)結(jié)合完全平方公式得到，據(jù)此化簡(jiǎn)即可．【解析】（1）解：；故答案為：；；；；（2）解：．一、單選題1．（22-23八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期中）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、二次根式的乘法法則、二次根式的除法法則，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式的性質(zhì)、二次根式的加法法則、二次根式的乘除法法則進(jìn)行判斷即可．【解析】解：A、，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，故本選項(xiàng)符合題意；D、，不是同類二次根式不能合并，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·安徽黃山·期末）下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】此題考查的是二次根式的