2025年滬科版七年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第03講 不等式及其基本性質(zhì)

第03講不等式及其基本性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)1不等式1.不等式的定義用符號(hào)“<”或“>”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式.像a+2≠a-2這樣用符號(hào)“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.2.常見的不等號(hào)3.等式與不等式的根本區(qū)別等式表示的是相等關(guān)系，用等號(hào)連接；不等式表示的是不等關(guān)系，用不等號(hào)連接。(1)有些不等式中不含未知數(shù)，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x>5中，x表示未知數(shù)。(2)判斷一個(gè)式子是否為不等式，關(guān)鍵是看這個(gè)式子是否含有不等號(hào)。知識(shí)點(diǎn)2不等式的解1.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的取值叫做不等式的解。如-2，0，2是不等式2x-1<5的解。2.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解組成的集合，叫這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式。注意：不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：(1)解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立。(2)能使不等式成立的數(shù)都在解集中。3.用數(shù)軸表示不等式的解集不等式的解集表示的是未知數(shù)的取值范圍，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái).如下圖，一般來(lái)說(shuō)，一元一次不等式的解集用數(shù)軸表示，有以下四種情況：用數(shù)軸表示不等式解集時(shí)的規(guī)律：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫空心圓圈.4.不等式的解與解集的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：不等式的所有解組成了解集，解集中包括了不等式的每一個(gè)解。(2)區(qū)別：不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值，不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值。知識(shí)點(diǎn)3不等式的基本性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變；即：如果，那么。2.不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；即：如果那么(或)。3.不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；即：如果那么(或).注意：(1)不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先認(rèn)清這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)。如果這個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么不等號(hào)的方向不變；如果這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么不等號(hào)的方向改變。(2)不等式的兩邊不能乘以0，因?yàn)槌艘?后不等式變?yōu)榈仁?。考點(diǎn)01：不等式的定義例題1．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）北斗高精導(dǎo)航能夠?qū)崟r(shí)顯示當(dāng)前路口的信號(hào)燈顏色及時(shí)長(zhǎng)，一輛小車行駛在限速的路段上，當(dāng)距離下一路口時(shí)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航顯示下一路口的信號(hào)燈為綠燈，且剩余時(shí)間為，此時(shí)導(dǎo)航提示：按照當(dāng)前時(shí)速行駛能通過(guò)下一路口，則小車當(dāng)前行駛速度的取值范圍是．【變式1-1】某市一天的最高氣溫是，最低氣溫是，則當(dāng)天該市氣溫的變化范圍是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）一種藥品的說(shuō)明書上寫著：“每日用量，分次服用”，一次服用這種藥品的有效劑量不可以為（

）A． B． C． D．【變式1-3】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，是校園內(nèi)限速標(biāo)志，若用V表示速度，請(qǐng)用含字母V的不等式表示這個(gè)標(biāo)志的實(shí)際意義．考點(diǎn)02：不等式的解集例題2．（23-24七年級(jí)下·湖南·期中）已知當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為，則．【變式2-1】（23-24七年級(jí)下·河南周口·期中）下列說(shuō)法中：①是不等式的一個(gè)解；②是不等式的一個(gè)解；③不等式的解集為，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期中）請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于x的不等式，使，3都是它的解．【變式2-3】若不等式的解都是不等式的解，則的取值范圍是．考點(diǎn)03：不等式的基本性質(zhì)例題3.設(shè)a，b，c，d都是整數(shù)，且，則a的最大值是．【變式3-1】如圖，表示A，B，C三人體重的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式3-2】如果，那么下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式3-3】下列不等式變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）下列四個(gè)不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．3．（23-24七年級(jí)下·云南紅河·期末）如果，那么下列式子不成立的是（

）A． B．C． D．4．（23-24七年級(jí)下·廣西百色·期末）若，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．5．（23-24七年級(jí)下·河北保定·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解C．是不等式的解集 D．是不等式的一個(gè)解二、填空題6．（23-24七年級(jí)下·廣西梧州·期末）的小數(shù)部分是，小數(shù)部分是，則．7．（23-24七年級(jí)下·吉林·期末）如果，那么．（填“”或“”）8．（23-24七年級(jí)下·河北滄州·期末）若想，且，則m的值可以是(寫出一個(gè)即可)三、解答題9．（23-24七年級(jí)下·廣西河池·期末）【閱讀材料】我們?cè)诜治鼋鉀Q某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或式子的大小，解決問(wèn)題時(shí)一般要進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)化，“求差法”就是常用的方法之一．所謂“求差法”，就是通過(guò)求差、變形，并利用差的符號(hào)來(lái)確定它們的大小，即要比較兩個(gè)數(shù)a，b的大小，只要求出它們的差．若，則；若，則；若，則．【解決問(wèn)題】(1)已知，試比較，的大??；(2)若，，，求a的取值范圍．10．（23-24七年級(jí)上·四川宜賓·期末）已知．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．(1)求出的值；(2)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式y(tǒng)的取值范圍．

第03講不等式及其基本性質(zhì)模塊一思維導(dǎo)圖串知識(shí)模塊二基礎(chǔ)知識(shí)全梳理（吃透教材）模塊三核心考點(diǎn)舉一反三模塊四小試牛刀過(guò)關(guān)測(cè)結(jié)合具體問(wèn)題，了解不等式的意義，探索不等式的基本性質(zhì)。知識(shí)點(diǎn)1不等式1.不等式的定義用符號(hào)“<”或“>”表示大小關(guān)系的式子叫做不等式.像a+2≠a-2這樣用符號(hào)“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.2.常見的不等號(hào)3.等式與不等式的根本區(qū)別等式表示的是相等關(guān)系，用等號(hào)連接；不等式表示的是不等關(guān)系，用不等號(hào)連接。(1)有些不等式中不含未知數(shù)，如3<4，-1>-2；有些不等式中含有未知數(shù)，如2x>5中，x表示未知數(shù)。(2)判斷一個(gè)式子是否為不等式，關(guān)鍵是看這個(gè)式子是否含有不等號(hào)。知識(shí)點(diǎn)2不等式的解1.不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的取值叫做不等式的解。如-2，0，2是不等式2x-1<5的解。2.不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有的解組成的集合，叫這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過(guò)程叫做解不等式。注意：不等式的解集必須符合兩個(gè)條件：(1)解集中的每一個(gè)數(shù)值都能使不等式成立。(2)能使不等式成立的數(shù)都在解集中。3.用數(shù)軸表示不等式的解集不等式的解集表示的是未知數(shù)的取值范圍，所以不等式的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái).如下圖，一般來(lái)說(shuō)，一元一次不等式的解集用數(shù)軸表示，有以下四種情況：用數(shù)軸表示不等式解集時(shí)的規(guī)律：大于向右，小于向左，有等號(hào)畫實(shí)心圓點(diǎn)，無(wú)等號(hào)畫空心圓圈.4.不等式的解與解集的聯(lián)系與區(qū)別(1)聯(lián)系：不等式的所有解組成了解集，解集中包括了不等式的每一個(gè)解。(2)區(qū)別：不等式的解是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的某個(gè)值，不等式的解集是指滿足這個(gè)不等式的未知數(shù)的所有的值。知識(shí)點(diǎn)3不等式的基本性質(zhì)1.不等式的性質(zhì)1：不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子)，不等號(hào)的方向不變；即：如果，那么。2.不等式的性質(zhì)2：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；即：如果那么(或)。3.不等式的性質(zhì)3：不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變；即：如果那么(或).注意：(1)不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，必須先認(rèn)清這個(gè)數(shù)的性質(zhì)符號(hào)。如果這個(gè)數(shù)是正數(shù)，那么不等號(hào)的方向不變；如果這個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，那么不等號(hào)的方向改變。(2)不等式的兩邊不能乘以0，因?yàn)槌艘?后不等式變?yōu)榈仁??？键c(diǎn)01：不等式的定義例題1．（23-24七年級(jí)下·浙江臺(tái)州·期末）北斗高精導(dǎo)航能夠?qū)崟r(shí)顯示當(dāng)前路口的信號(hào)燈顏色及時(shí)長(zhǎng)，一輛小車行駛在限速的路段上，當(dāng)距離下一路口時(shí)，發(fā)現(xiàn)導(dǎo)航顯示下一路口的信號(hào)燈為綠燈，且剩余時(shí)間為，此時(shí)導(dǎo)航提示：按照當(dāng)前時(shí)速行駛能通過(guò)下一路口，則小車當(dāng)前行駛速度的取值范圍是．【答案】【解析】解：，當(dāng)距離下一路口時(shí)，以速度通過(guò)需要的時(shí)間為：，要在內(nèi)通過(guò)，小車的速度至少為，因?yàn)閷?dǎo)航提示：按照當(dāng)前時(shí)速行駛能通過(guò)下一路口，則小車當(dāng)前行駛速度的取值范圍是．【變式1-1】某市一天的最高氣溫是，最低氣溫是，則當(dāng)天該市氣溫的變化范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵當(dāng)天該市氣溫最高氣溫是，最低氣溫是，∴當(dāng)天氣溫的變化范圍是，故選：A．【變式1-2】（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）一種藥品的說(shuō)明書上寫著：“每日用量，分次服用”，一次服用這種藥品的有效劑量不可以為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：根據(jù)題意，由“每日用量，分次服用”，用（/次），（/次）得到一次服用這種藥的劑量為：，則沒(méi)在此范圍內(nèi)，故選：A．【變式1-3】（23-24七年級(jí)下·四川宜賓·期末）如圖，是校園內(nèi)限速標(biāo)志，若用V表示速度，請(qǐng)用含字母V的不等式表示這個(gè)標(biāo)志的實(shí)際意義．【答案】【解析】解：由圖可知：；故答案為：．考點(diǎn)02：不等式的解集例題2．（23-24七年級(jí)下·湖南·期中）已知當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為，則．【答案】【解析】解：∵當(dāng)時(shí)的最小值為，當(dāng)時(shí)的最大值為，∴，∴，故答案為：．【變式2-1】（23-24七年級(jí)下·河南周口·期中）下列說(shuō)法中：①是不等式的一個(gè)解；②是不等式的一個(gè)解；③不等式的解集為，正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．0個(gè)【答案】C【解析】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一個(gè)解，正確；②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正確；③不等式的解集為，正確．故選C.【變式2-2】（23-24八年級(jí)下·廣東揭陽(yáng)·期中）請(qǐng)寫出一個(gè)關(guān)于x的不等式，使，3都是它的解．【答案】（答案不唯一）【解析】解：由，3均小于3可得，所以符合條件的不等式可以是，故答案為：（答案不唯一）．【變式2-3】若不等式的解都是不等式的解，則的取值范圍是．【答案】【解析】根據(jù)不等式組的解集意義，若不等式的解都是不等式的解，則n的取值范圍是．故答案為：．考點(diǎn)03：不等式的基本性質(zhì)例題3.設(shè)a，b，c，d都是整數(shù)，且，則a的最大值是．【答案】447【解析】解：因?yàn)閍，b，c，d都是整數(shù)，且，所以d的最大值是19，所以，所以c的最大值是75，所以，所以b的最大值是224，所以，所以a的最大值是447．故答案為：447．【變式3-1】如圖，表示A，B，C三人體重的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、由圖示，得，故錯(cuò)誤；B、由圖示，得，故錯(cuò)誤；C、由圖示，得，，由不等式的傳遞性，得，故C錯(cuò)誤；D、由圖示，得，，由不等式的傳遞性，得，故正確．故選：D．【變式3-2】如果，那么下列各式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、∵，∴不等式的兩邊都加1，則，原式不成立，不符合題意；B、∵，∴不等式的兩邊都乘以，則，原式不成立，不符合題意；C、∵，∴不等式的兩邊都乘以，則，成立，符合題意；D、∵，，∴，原式不成立，不符合題意．故選：C．【變式3-3】下列不等式變形正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【解析】解：A．∵，∴，故此選項(xiàng)符合題意；B．∵，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴，∴，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵，當(dāng)時(shí)，∴，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．一、單選題1．（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）下列四個(gè)不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】解：（1）只有當(dāng)時(shí)，才能由，推出，不符合題意；（2）只有當(dāng)時(shí)，才能由，推出，不符合題意；（3）由可以推出，符合題意；（4）只有當(dāng)時(shí)，才能由，推出推出，不符合題意；故選：A。2．（23-24七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）已知，則下列各式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：A、，故A不符合題意；B、，，故B不符合題意；C、，，故C符合題意；D、，，故D不符合題意；故選：C．3．（23-24七年級(jí)下·云南紅河·期末）如果，那么下列式子不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：A、不等式的兩邊都加5，則，故成立，不符合題意；B、不等式的兩邊都乘以，則，故成立，不合題意；C、不等式的兩邊都乘以，則，故成立，不合題意；D、不等式的兩邊都乘，再都減，則，故不成立，符合題意；故選：D．4．（23-24七年級(jí)下·廣西百色·期末）若，則下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)，時(shí)，符合，但，，故選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，符合，但，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：A．5．（23-24七年級(jí)下·河北保定·期末）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．是不等式的解 B．是不等式的唯一解C．是不等式的解集 D．是不等式的一個(gè)解【答案】D【解析】解：解不等式，可得．A.由于，故不是不等式的解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.由于，故是不等式的一個(gè)解，但不是唯一解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.由于，故不是不等式的一個(gè)解，但不是解集，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.由