2024年安徽省蕪湖市中考一模數(shù)學(xué)試題

年九年級(jí)畢業(yè)暨升學(xué)模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷（答題時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)的代號(hào)寫在下面的答題表內(nèi)，（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.下列拋物線開口朝上的是（）A. B. C. D.2.如圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，若，則的長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.3.如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（）A. B.1 C. D.24.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.5.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.6.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.7.如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（）A.55° B.45° C.42° D.40°8.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A B. C. D.9.一位同學(xué)在畫二次函數(shù)圖象時(shí)，把看成了，結(jié)果所畫圖像是由原圖象向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得的圖象，則b的值為（）A.24 B. C. D.1210.如圖中，，，，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)（在異側(cè)），且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)必為的重心；②若，則的最大值為；③若，，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若是關(guān)于x的方程的解，則的值為___________．12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內(nèi)放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)圖象上．設(shè)點(diǎn)為軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)在第三象限內(nèi)，連接、，記的面積為，設(shè)，則的最大值為__________．14.如圖，已知菱形的面積等于24，，則（1）______；（2）點(diǎn)，，，分別是此菱形的，，，邊上的點(diǎn)，且，則_______．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.解方程：16.如圖，在邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，O，B為格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），，且，線段關(guān)于直線對(duì)稱的線段為，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）請(qǐng)使用尺規(guī)作圖畫出線段；（2）將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，求的度數(shù)．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，四邊形是學(xué)校的一塊學(xué)農(nóng)基地，其中是水果園，是蔬菜園，已知，，，．（1）求證：；（2）若蔬菜園的面積為，求水果園的面積．18.下圖是今年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個(gè)數(shù)，請(qǐng)解答下列問題：（1）若方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)；（2）方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124嗎?若能，求最小數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)x取值范圍；（3）點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，若面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．20.如圖，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作射線的垂線，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．六、（本題滿分12分）21.某班開展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動(dòng)．下面是印有四位中國(guó)數(shù)學(xué)家紀(jì)念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學(xué)從中隨機(jī)抽取兩張，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．（1）請(qǐng)寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．七、（本題滿分12分）22.【問題背景】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形展開了探究．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則，設(shè)，，那么（用含的式子表示）；（2）探究發(fā)現(xiàn)：比值被稱為黃金比．當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．在（1）的條件下試證明：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．八、（本題滿分14分）23.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，圖象的頂點(diǎn)為M．矩形的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為．（1）求c的值及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，（2）如圖2，將矩形沿x軸正方向平移t個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)的矩形．已知邊，分別與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，Q，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)Q不重合時(shí)，是否存在這樣的t，使得的面積為1？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2024年九年級(jí)畢業(yè)暨升學(xué)模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷（答題時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，其中只有一個(gè)是正確的．請(qǐng)把正確選項(xiàng)的代號(hào)寫在下面的答題表內(nèi)，（本大題共10小題，每題4分，共40分）1.下列拋物線開口朝上的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，涉及由表達(dá)式判斷拋物線開口方向：當(dāng)時(shí)，拋物線開口方向向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開口方向向下；逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案，熟記的正負(fù)與拋物線開口方向的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、中，拋物線開口方向向上，符合題意；B、中，拋物線開口方向向下，不符合題意；C、是一次函數(shù)，不是拋物線，不符合題意；D、中，拋物線開口方向向下，不符合題意；故選：A．2.如圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，A為對(duì)稱中心，若，則的長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)：的銳所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，以及中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)．在直角中根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求得，而，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵在直角中，1，故選：B．3.如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段，則線段的長(zhǎng)是（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交過點(diǎn)B的平行線于點(diǎn)E，交A的鄰近平行線于點(diǎn)D，根據(jù)題意，，利用平行線分線段成比例定理計(jì)算即可，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F，交過點(diǎn)B的平行線于點(diǎn)E，交A的鄰近平行線于點(diǎn)D，根據(jù)題意，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∴，故選：D．4.用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法，熟練掌握配方法的基本步驟是解題的關(guān)鍵．5.已知點(diǎn)，，都在反比例函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式中的比例系數(shù)確定函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及函數(shù)的增減性解答．【詳解】解：在反比例函數(shù)中，，此函數(shù)圖象在二、四象限，，點(diǎn)，在第二象限，，，函數(shù)圖象在第二象限內(nèi)為增函數(shù)，，．，點(diǎn)在第四象限，，，，的大小關(guān)系為．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)及平面直角坐標(biāo)系中各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較簡(jiǎn)單．6.據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的《2022年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》顯示，2020年和2022年全國(guó)居民人均可支配收入分別為3.2萬(wàn)元和3.7萬(wàn)元．設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，依題意可列方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程即可．【詳解】設(shè)2020年至2022年全國(guó)居民人均可支配收入的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．7.如圖，△ODC是由△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)40°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在AB上，且∠AOC＝105°，則∠C的度數(shù)是（）A.55° B.45° C.42° D.40°【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)∠AOC的度數(shù)為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，可得∠AOB＝65°，再根據(jù)△AOD中，AO＝DO，可得∠A＝70°，然后求出∠B即可．【詳解】解：∵∠AOC的度數(shù)為105°，∠AOD＝∠BOC＝40°，∴∠AOB＝105°﹣40°＝65°，∵△AOD中，AO＝DO，∴∠A＝（180°﹣40°）＝70°，∴△ABO中，∠B＝180°﹣70°﹣65°＝45°，∴∠C＝∠B＝45°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解答．8.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和，弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半，三角形的內(nèi)角和為，弧長(zhǎng)．9.一位同學(xué)在畫二次函數(shù)的圖象時(shí)，把看成了，結(jié)果所畫圖像是由原圖象向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得的圖象，則b的值為（）A.24 B. C. D.12【答案】D【解析】【分析】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．利用二次函數(shù)平移規(guī)律“上加下減，左加右減”的原則結(jié)合對(duì)稱軸的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為，把看成了，所畫圖象的對(duì)稱軸為，兩條對(duì)稱軸關(guān)于y軸對(duì)稱，所畫圖像是由原圖象向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得的圖象，，即．故選D．10.如圖中，，，，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)（在異側(cè)），且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)必為的重心；②若，則的最大值為；③若，，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為A.①④ B.②③ C.②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；②當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得．，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】解：①有3種情況，如圖1，當(dāng)和都是中線時(shí)，點(diǎn)是重心；如圖2，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，則點(diǎn)是重心；如圖3，點(diǎn)不是中點(diǎn)，則點(diǎn)不是重心；故①錯(cuò)誤；②當(dāng)，如圖，取得最大值，，，，，，；故②正確；③如圖，若，，，，，，，，，，，，，，，故③錯(cuò)誤；④如圖，，，即，在中，，，則由勾股定理可得，，，由，拋物線開口向下，則當(dāng)時(shí)，有最大為5；故④正確；綜上所述，正確的結(jié)論是②④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題關(guān)鍵．-二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若是關(guān)于x的方程的解，則的值為___________．【答案】【解析】【分析】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．把代入方程即可求出的值．【詳解】解：把代入，得，∴，∴．故答案為：．12.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)，，以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內(nèi)放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是___．【答案】【解析】【分析】本題考查的是位似變換，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或．根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把在第一象限內(nèi)放大，，∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是點(diǎn)，即，故答案為：．13.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．設(shè)點(diǎn)為軸負(fù)半軸一動(dòng)點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)在第三象限內(nèi)，連接、，記的面積為，設(shè)，則的最大值為__________．【答案】1【解析】【分析】通過反比例函數(shù)的解析式求得的值，根據(jù)點(diǎn)在軸負(fù)半軸上得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，；點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，四邊形為正方形，，軸，的面積為，，，拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，有最大值，的最大值是1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.如圖，已知菱形面積等于24，，則（1）______；（2）點(diǎn)，，，分別是此菱形的，，，邊上的點(diǎn)，且，則_______．【答案】①.6②.6【解析】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，涉及菱形面積公式、菱形性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的面積公式得出解答．（1）根據(jù)菱形的面積公式列方程求解得出即可；（2）根據(jù)菱形的面積得出，由平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)得出比例解答．【詳解】解：（1）菱形的面積等于24，，；（2）四邊形是菱形，，，菱形的面積等于24，，，，，，，，，，，，，同理，由可得，，，即，，故答案為：（1）6；（2）6．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15解方程：【答案】，【解析】【分析】直接開方可得或，然后計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵∴或解得，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?6.如圖，在邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，O，B為格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)），，且，線段關(guān)于直線對(duì)稱的線段為，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）請(qǐng)使用尺規(guī)作圖畫出線段；（2）將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若，求的度數(shù)．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形；（2）利用勾股定理的逆定理證明，再求出，可得結(jié)論．【小問1詳解】如圖所示，線段即為所求；【小問2詳解】如圖所示，在中，，，是直角三角形，，，∴．∵線段關(guān)于直線對(duì)稱的線段為，，．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，勾股定理的逆定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作出圖形．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，四邊形是學(xué)校的一塊學(xué)農(nóng)基地，其中是水果園，是蔬菜園，已知，，，．（1）求證：；（2）若蔬菜園的面積為，求水果園的面積．【答案】（1）見解析；（2）．【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形全等；（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求解．【小問1詳解】證明：，，，，，，又，，；【小問2詳解】，，，，，答：水果園的面積為．18.下圖是今年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個(gè)數(shù)，請(qǐng)解答下列問題：（1）若方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)；（2）方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124嗎?若能，求最小數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）10（2）不能，理由見解析【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)最小數(shù)是，則最大數(shù)是，根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）假設(shè)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124，設(shè)最小數(shù)是，則另外三個(gè)數(shù)分別是，，，根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和為124，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假設(shè)不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124．【小問1詳解】解：設(shè)最小數(shù)是，則最大數(shù)是，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：最小數(shù)是10；【小問2詳解】方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124，理由如下：假設(shè)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124，設(shè)最小數(shù)是，則另外三個(gè)數(shù)分別是，，，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），在最后一列，假設(shè)不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，一次函數(shù)與函數(shù)為的圖象交于兩點(diǎn)．（1）求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出滿足時(shí)x的取值范圍；（3）點(diǎn)P在線段上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為M，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)Q，若面積為3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1），（2）（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為或【解析】【分析】（1）將代入可求反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再將和點(diǎn)B坐標(biāo)代入即可求出一次函數(shù)解析式；（2）直線在反比例函數(shù)圖象上方部分對(duì)應(yīng)的x的值即為所求；（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，代入一次函數(shù)解析式求出縱坐標(biāo)，將代入反比例函數(shù)求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而用含p的代數(shù)式表示出，再根據(jù)面積為3列方程求解即可．【小問1詳解】解：將代入，可得，解得，反比例函數(shù)解析式為；在圖象上，，，將，代入，得：，解得，一次函數(shù)解析式為；【小問2詳解】解：，理由如下：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)直線在反比例函數(shù)圖象上方，此部分對(duì)應(yīng)的x的取值范圍為，即滿足時(shí)，x的取值范圍為；【小問3詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，將代入，可得，．將代入，可得，．，，整理得，解得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題，考查求一次函數(shù)解析式、反比例函數(shù)解析式，坐標(biāo)系中求三角形面積、解一元二次方程等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．20.如圖，為的直徑，點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)作射線的垂線，垂足為．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了圓的綜合應(yīng)用，涉及熟練掌握切線的判斷定理以及扇形面積的求法是解題的關(guān)鍵．（1）連接，證明，即可得到結(jié)論；（2）連接，證明，從而可得，再代入求值即可．【小問1詳解】證明：連接，如圖所示：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，，，，半徑，是的切線；【小問2詳解】解：連接，如圖所示：，，，，，．六、（本題滿分12分）21.某班開展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動(dòng)．下面是印有四位中國(guó)數(shù)學(xué)家紀(jì)念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學(xué)從中隨機(jī)抽取兩張，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．（1）請(qǐng)寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．【答案】（1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共6種：，，，，，（2）小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率是【解析】【分析】本題主要考查了列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，寫出所有可能的結(jié)果即可；（2）根據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【小問1詳解】解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共6種：，，，，，．【小問2詳解】解：記抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案為事件M，M包含的結(jié)果有3種，即，，，且6種可能的結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，∴．七、（本題滿分12分）22.【問題背景】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組發(fā)現(xiàn)國(guó)旗上五角星的五個(gè)角都是頂角為36°的等腰三角形，對(duì)此三角形展開了探究．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，在中，，．將折疊，使邊落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，折痕交于點(diǎn)，連接，，則，設(shè)，，那么（用含的式子表示）；（2）探究發(fā)現(xiàn)：比值被稱為黃金比．當(dāng)?shù)妊切蔚牡着c腰的比等于黃金比時(shí)，這個(gè)三角形叫黃金三角形．例如，圖1中的△ABC是黃金三角形．在（1）的條件下試證明：；【拓展應(yīng)用】（3）如圖2，在菱形中，，．求這個(gè)菱形較長(zhǎng)對(duì)角線的長(zhǎng)．【答案】探究發(fā)現(xiàn)（1），；（2）證明見解析；拓展應(yīng)用【解析】【分析】探究發(fā)現(xiàn)（1）可求得，，，進(jìn)而求得的值，；（2）可證得，從而，進(jìn)而得出，解得，從而得出；拓展應(yīng)用在上截取，連接，可得出