2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（九）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（九）一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y=-49x2+4與x軸交于A，BA．(0，78) B．（0，2） C．(02．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，點(diǎn)P是⊙O外任意一點(diǎn)，PM、N分別是⊙O的切線，M、N是切點(diǎn)．設(shè)OP與⊙O交于點(diǎn)K．則點(diǎn)K是△PMN的（）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心3．（2024?海淀區(qū)）如果一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有一邊的長(zhǎng)度等于半徑，那么稱其為該圓的“半徑三角形”．給出下面四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)圓的“半徑三角形”有無數(shù)個(gè)；②一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；③當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，120°或150°；④若一個(gè)圓的半徑為2，則它的“半徑三角形”面積最大值為23上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④4．（2024秋?新市區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分別是AB上的高線和中線．如果⊙A是以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓，那么下列判斷中，正確的是（）A．點(diǎn)P，M均在⊙A內(nèi) B．點(diǎn)P，M均在⊙A外 C．點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，點(diǎn)M在⊙A外 D．以上選項(xiàng)都不正確5．（2024?涼山州模擬）下列說法正確的是（）A．方程x2+2x+3＝0的兩根之和為﹣2 B．拋物線y＝﹣x2﹣2x﹣1可由y＝﹣x2向右平移1個(gè)單位得到 C．任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等二．填空題（共5小題）6．（2024秋?鳳臺(tái)縣月考）如圖，O是△ABC的內(nèi)心．（1）若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為；（2）若AB＝5，BC＝7，AC=42，則⊙O的半徑為7．（2024秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)A，BO交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，∠ABO＝40°，則∠ADC的度數(shù)是．8．（2024秋?孝昌縣期中）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點(diǎn)D為劣弧BC上一點(diǎn)，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，則四邊形ABDC的面積為．9．（2024秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，DE＝3，若以DE為直徑的圓交AB于M、N點(diǎn)，則MN的最大值為．10．（2024?涼山州）如圖，⊙M的圓心為M（4，0），半徑為2，P是直線y＝x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?婺城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，7），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．（1）在圖中作出△ABC的外接圓圓心P（利用格點(diǎn)圖確定圓心P的位置）；（2）△ABC的外接圓半徑r為；位于圓上在第一象限的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有個(gè)；（3）若在x軸的正半軸上有一點(diǎn)D（異與點(diǎn)C），且∠ADB＝∠ACB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為．12．（2024秋?吉林期中）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DC＝DE．（1）求證：OD⊥AB．（2）若半圓O的半徑為8，且OA＝2OE，求DF的長(zhǎng)．13．（2024秋?惠州月考）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°．（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求BD的長(zhǎng)．14．（2024秋?武威月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝α，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DF，其中旋轉(zhuǎn)角∠EDF＝180°﹣2α，此時(shí)點(diǎn)F恰好落在AC上，過點(diǎn)D，E，F(xiàn)的圓交BC于點(diǎn)G，連接GF．（1）若α＝35°，求∠BGF的度數(shù)；（2）求證：BE＝GF．15．（2024秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1）（1）該圓弧所在圓的圓心P的坐標(biāo)為；（2）根據(jù)（1）中的條件填空：①⊙P的半徑為；（結(jié)果保留根號(hào)）②點(diǎn)M（7，﹣1）在⊙P；（填“上”、“內(nèi)”或“外”）③連接AP、CP，則∠APC的度數(shù)為．

2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（九）參考答案與試題解析題號(hào)12345答案ACCCD一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?岳麓區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y=-49x2+4與x軸交于A，BA．(0，78) B．（0，2） C．(0【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線與x軸的交點(diǎn)．【專題】二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】A【分析】設(shè)△ABC的外心P的坐標(biāo)為（0，h），根據(jù)二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)特征分別求出OA、OC，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：∵拋物線y=-49x2+4∴△ABC的外心在y軸上，設(shè)△ABC的外心P的坐標(biāo)為（0，h），連接AP，對(duì)于二次函數(shù)y=-49x2+4，當(dāng)x＝0時(shí)，y當(dāng)y＝0時(shí)，x＝±3，則OC＝4，OA＝3，在Rt△AOP中，AP2＝OA2+OP2，即（4﹣h））2＝32+h2，解得：h=7∴△ABC的外心P的坐標(biāo)為（0，78故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，熟記三角形的外心的概念、二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2024秋?涼州區(qū)月考）如圖，點(diǎn)P是⊙O外任意一點(diǎn)，PM、N分別是⊙O的切線，M、N是切點(diǎn)．設(shè)OP與⊙O交于點(diǎn)K．則點(diǎn)K是△PMN的（）A．垂心 B．重心 C．內(nèi)心 D．外心【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】連接OM、ON、MK、NK，證明點(diǎn)K是△PMN的角平分線交點(diǎn)，即可求解．【解答】解：連接OM、ON、MK、NK，由題意可得：∠OMP＝90°．∴∠OMK+∠PMK＝90°．∵OM＝OK，∴∠OKM＝∠OMK＝90°﹣∠PMK．∴∠MOK＝180°﹣∠OKM﹣∠OMK＝2∠PMK．∴∠PMK∵∠NMK∴∠PMK＝∠NMK．∵OP是∠MPN的平分線，∴K是△PMN的內(nèi)心．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的定義，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2024?海淀區(qū)）如果一個(gè)圓的內(nèi)接三角形有一邊的長(zhǎng)度等于半徑，那么稱其為該圓的“半徑三角形”．給出下面四個(gè)結(jié)論：①一個(gè)圓的“半徑三角形”有無數(shù)個(gè)；②一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形；③當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，120°或150°；④若一個(gè)圓的半徑為2，則它的“半徑三角形”面積最大值為23上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)圓的“半徑三角形”的概念判斷①②；根據(jù)圓周角定理、等腰三角形的概念判斷③；根據(jù)垂徑定理求出AH，根據(jù)勾股定理求出OH，求出△ABC的最大面積，判斷④．【解答】解：如圖，AB＝OA，即AB的長(zhǎng)度等于半徑，以AB為邊的圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個(gè)，∴一個(gè)圓的“半徑三角形”有無數(shù)個(gè)，故①結(jié)論正確；∵OA＝OB＝AB，∴△OAB為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，∠C＝30°，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，∠C＝150°，當(dāng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí)，∠CAB可能是90°，∴一個(gè)圓的“半徑三角形”可能是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，故②結(jié)論正確；由以上可知，∠C可以是30°或150°，當(dāng)AC＝AB，∠C＝30°時(shí)，∠CAB＝180°﹣30°3﹣30°＝120°，∴當(dāng)一個(gè)圓的“半徑三角形”為等腰三角形時(shí)，它的頂角可能是30°，120°或150°，故③結(jié)論正確；過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，則AH＝HB=12AB＝∴OH=O當(dāng)點(diǎn)C為優(yōu)弧AB的中點(diǎn)時(shí)，△ABC的面積最大，最大面積為：12×2×（2+3）＝2+故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?新市區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CP，CM分別是AB上的高線和中線．如果⊙A是以點(diǎn)A為圓心，4為半徑的圓，那么下列判斷中，正確的是（）A．點(diǎn)P，M均在⊙A內(nèi) B．點(diǎn)P，M均在⊙A外 C．點(diǎn)P在⊙A內(nèi)，點(diǎn)M在⊙A外 D．以上選項(xiàng)都不正確【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】C【分析】先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式求出CP的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AP的長(zhǎng)，根據(jù)中線的定義求出AM的長(zhǎng)，然后由點(diǎn)P、M到A點(diǎn)的距離判斷點(diǎn)P、M與圓A的位置關(guān)系即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=AC∵CP、CM分別是AB上的高和中線，∴12AB?CP=12AC?BC，AM=1∴CP＝4.8，∴AP=AC∵AP＝3.6＜4，AM＝5＞4，∴點(diǎn)P在圓A內(nèi)、點(diǎn)M在圓A外，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定，根據(jù)點(diǎn)與圓心之間的距離和圓的半徑的大小關(guān)系作出判斷即可．5．（2024?涼山州模擬）下列說法正確的是（）A．方程x2+2x+3＝0的兩根之和為﹣2 B．拋物線y＝﹣x2﹣2x﹣1可由y＝﹣x2向右平移1個(gè)單位得到 C．任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓 D．三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；根與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象與幾何變換；拋物線與x軸的交點(diǎn)；角平分線的性質(zhì)；確定圓的條件．【專題】二次函數(shù)的應(yīng)用；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的平移，確定圓的條件，三角形內(nèi)心的性質(zhì)依次判斷可求解．【解答】解：A、方程x2+2x+3＝0中Δ＝22﹣4×3＝﹣8＜0，方程無解，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、拋物線y＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2可由y＝﹣x2向左平移1個(gè)單位得到，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、不在同一直線上的任意三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等，說法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的平移，確定圓的條件，三角形內(nèi)心的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)判斷即可．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?鳳臺(tái)縣月考）如圖，O是△ABC的內(nèi)心．（1）若∠A＝80°，則∠BOC的度數(shù)為130°；（2）若AB＝5，BC＝7，AC=42，則⊙O的半徑為3【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心．【專題】三角形；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）130°；（2）3-【分析】（1）由∠BAC＝80°，求得∠ABC+∠ACB＝100°，因?yàn)镺是△ABC的內(nèi)心，所以∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，則∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（12∠ABC+（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H，則AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2＝AH2，所以52﹣BH2＝（42）2﹣（7﹣BH）2，求得BH＝3，則AH=AB2-BH2=4，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑為r，⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)E、F、D，連接OE、OF、OD、OA，則S△ABC=12×5r+12×【解答】解：（1）∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，∴12∠ABC+12∠ACB∵O是△ABC的內(nèi)心，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC＝∠OBA=12∠ABC，∠OCB＝∠OCA=1∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°﹣50故答案為：130°．（2）作AH⊥BC于點(diǎn)H，則∠AHB＝∠AHC＝90°，∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2＝AH2，∵AB＝5，BC＝7，AC＝42，∴52﹣BH2＝（42）2﹣（7﹣BH）2，解得BH＝3，∴AH=AB設(shè)△ABC的內(nèi)切圓⊙O的半徑為r，⊙O與AB、BC、AC分別相切于點(diǎn)E、F、D，連接OE、OF、OD、OA，∵OE⊥AB，OF⊥BC，OD⊥AC，且OE＝OF＝OD＝r，∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC=12AB?OE+12BC?OF+12AC?∴12×5r+12×7r+12×解得r=3-故答案為：3-【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2024秋?南崗區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB切⊙O于點(diǎn)A，BO交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)D在⊙O上，∠ABO＝40°，則∠ADC的度數(shù)是25°．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】25°．【分析】連接OA．根據(jù)切線的性質(zhì)可知∠OAB＝90°，從而可求出∠AOB＝50°．再根據(jù)圓周角定理即可求出∠ADC的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接OA．∵AB切⊙O于點(diǎn)A，∴∠OAB＝90°．∵∠ABO＝40°，∴∠AOB＝90°﹣40°＝50°，∴∠ADC故答案為：25°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，圓周角定理．連接常用的輔助線是解題關(guān)鍵．8．（2024秋?孝昌縣期中）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，點(diǎn)D為劣弧BC上一點(diǎn)，∠ADC＝60°，若CD＝2BD＝4，則四邊形ABDC的面積為93．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】93【分析】過點(diǎn)B作BE⊥CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，先證明△ABC為等邊三角形，再證明∠DBE＝30°，根據(jù)CD＝2BD＝4，可得BD＝2，所以DE=12BD=1，BE=3DE=3【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE⊥CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵∠ABC＝∠ADC＝60°，又AB＝AC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝∠ADC＝60°，∴∠BDC＝120°，∴∠BDE＝60°，∴∠DBE＝30°，∵CD＝2BD＝4，∴BD＝2，∴DE=∴BE=∴△BDC的面積=1在Rt△BEC中，BE=3，CE＝CD+DE＝4+1＝根據(jù)勾股定理得：BC2＝BE2+CE2＝3+25＝28，∴等邊三角形ABC的面積=3∴四邊形ABDC的面積＝△BDC的面積+等邊三角形ABC的面積=23∴四邊形ABDC的面積為93故答案為：93【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，垂徑定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用圓周角定理，垂徑定理．9．（2024秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5，D是AC上一點(diǎn)，E是BC上一點(diǎn)，DE＝3，若以DE為直徑的圓交AB于M、N點(diǎn)，則MN的最大值為125【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；勾股定理；垂徑定理．【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】125【分析】如圖，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，由題意MN=2MH=2OM2-【解答】解：如圖，連接OM，OC，過點(diǎn)O作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K，∵OH⊥MN，∴MH＝HN，∴MN=2∵∠DCE＝90°，OD＝OE=12DE∴OC=∴點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)軌跡是以C為圓心，32在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，∵12∴CK=當(dāng)C、O、H共線，且與CK重合時(shí)，OH的值最小，∴OH的最小值為125∴MN的最大值為2(故答案為：125【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理、勾股定理以及軌跡等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系．10．（2024?涼山州）如圖，⊙M的圓心為M（4，0），半徑為2，P是直線y＝x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙M的切線，切點(diǎn)為Q，則PQ的最小值為27．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；垂線段最短；勾股定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；推理能力．【答案】27．【分析】連接MP、MQ，根據(jù)切線的性質(zhì)得到MQ⊥PQ，根據(jù)勾股定理得到PQ=PM2-4【解答】解：如圖，連接MP、MQ，∵PQ是⊙M的切線，∴MQ⊥PQ，∴PQ=P當(dāng)PM最小時(shí)，PQ最小，當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP最小，直線y＝x+4與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），∴OA＝OB＝4，∴∠BAO＝45°，AM＝8，當(dāng)MP⊥AB時(shí)，MP＝AM?sin∠BAO＝8×22=∴PQ的最小值為：(42)2故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、垂線段最短，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?婺城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，7），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．（1）在圖中作出△ABC的外接圓圓心P（利用格點(diǎn)圖確定圓心P的位置）；（2）△ABC的外接圓半徑r為29；位于圓上在第一象限的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有4個(gè)；（3）若在x軸的正半軸上有一點(diǎn)D（異與點(diǎn)C），且∠ADB＝∠ACB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（7，0）．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【專題】平面直角坐標(biāo)系；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）確定圓心P的位置見解答，P（5，5）；（2）29，4；（3）（7，0）．【分析】（1）取格點(diǎn)F及AB的中點(diǎn)E，連結(jié)BF、CF，作EP∥x軸，連結(jié)并延長(zhǎng)OF交EP于點(diǎn)P，由A（0，7），B（0，3），得E（0，5），且EP垂直平分AB，而OF垂直平分BC，所以點(diǎn)P為△ABC的外接圓的圓心，且點(diǎn)P為格點(diǎn)，PE＝OE＝5，則P（5，5）；（2）作△ABC的外接圓⊙P，交x軸于點(diǎn)D，取格點(diǎn)H，連結(jié)PH、PA，求得r＝PA=AE2+PE2=29，D（7，0），由⊙P的四分之一圓上有2個(gè)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，可知⊙P上橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)共有8個(gè)，而A、B（3）連結(jié)AD、BD，則∠ADB＝∠ACB，由（2）得D（7，0），于是得到問題的答案．【解答】解：（1）取格點(diǎn)F及AB的中點(diǎn)E，連結(jié)BF、CF，作EP∥x軸，連結(jié)并延長(zhǎng)OF交EP于點(diǎn)P，∵A（0，7），B（0，3），∴E（0，5），EP垂直平分AB，∵四邊形OBFC是正方形，∴OF垂直平分BC，且OF為正方形的對(duì)角線，∴點(diǎn)P為△ABC的外接圓的圓心，且點(diǎn)P為格點(diǎn)，PE＝OE＝5，∴△ABC的外接圓的圓心P的坐標(biāo)為（5，5）．（2）作△ABC的外接圓⊙P，交x軸于點(diǎn)D，取格點(diǎn)H，連結(jié)PH、PA，∵∠AEP＝90°，AE＝2，PE＝5，∴PA=A∴△ABC的外接圓半徑r=29∵PH⊥CD，∴DH＝CH＝2，∵H（5，0），∴D（7，0），∵∠EPH＝90°，點(diǎn)B、點(diǎn)C為橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，∴⊙P的四分之一圓上有2個(gè)橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)，∴⊙P上橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)共有8個(gè)，∵A、B、C、D這4個(gè)點(diǎn)不屬于第一象限的點(diǎn)，∴位于圓上在第一象限的橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有4個(gè)，故答案為：29，4．（3）連結(jié)AD、BD，則∠ADB＝∠ACB，由（2）得D（7，0），故答案為：（7，0）．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形的外接圓與外心、垂徑定理、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)，正確地畫出圖形并且作出相應(yīng)的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?吉林期中）如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)F在半圓上，點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上，PC與半圓相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AC與OF相交于點(diǎn)E，DC＝DE．（1）求證：OD⊥AB．（2）若半圓O的半徑為8，且OA＝2OE，求DF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）證明見解答；（2）DF的長(zhǎng)是2．【分析】（1）連接OC，則OC＝OA，所以∠OAC＝∠OCA，而DC＝DE，則∠OEA＝∠DEC＝∠DCE，由切線的性質(zhì)得PC⊥OC，則∠BOD＝∠OEA+∠OAC＝∠DCE+∠OCA＝90°，所以O(shè)D⊥AB；（2）因?yàn)镺A＝OF＝OC＝8，所以O(shè)A＝2OE＝8，則OE＝4，F(xiàn)E＝OF﹣OE＝4，所以DC＝DE＝DF+4，由勾股定理得82+（DF+4）2＝（DF+8）2，求得DF＝2．【解答】（1）證明：連接OC，則OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∵DC＝DE，∴∠DEC＝∠DCE，∴∠OEA＝∠DEC＝∠DCE，∵PC與⊙相切于點(diǎn)C，與OF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，∴PC⊥OC，∴∠BOD＝∠OEA+∠OAC＝∠DCE+∠OCA＝∠OCD＝90°，∴OD⊥AB．（2）解：∵⊙O的半徑為8，∴OA＝OF＝OC＝8，∵OA＝2OE＝8，∴OE＝4，∴FE＝OF﹣OE＝8﹣4＝4，∴DC＝DE＝DF+4，∵OC2+DC2＝OD2，且OD＝DF+8，∴82+（DF+4）2＝（DF+8）2，解得DF＝2，∴DF的長(zhǎng)是2．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查切線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?惠州月考）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O外，∠ABC的平分線與⊙O交于點(diǎn)D，∠C＝90°．（1）CD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說明理由；（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求BD的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；運(yùn)算能力．【答案】（1）相切，見解析；（2）23【分析】（1）連接OD，則OD＝OB，等邊對(duì)等角得到∠ODB＝∠ABD，角平分線得到∠ABD＝∠CBD，進(jìn)而得到∠ODB＝∠CBD，推出OD∥BC，得到∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，即可得出結(jié)論；（2）直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ADB＝90°，易得∠ABD＝30°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）CD與⊙O相切，理由：連接OD，則OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠CBD＝∠ODB，∴OD∥BC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝180°﹣∠C＝180°﹣90°＝90°，∴OD⊥CD，∵OD是半徑，∴CD與⊙O相切．（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠CDB＝60°，∠C＝90°，∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°，在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，∴AD=∴BD=【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，圓周角定理，含30度角的直角三角形，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．14．（2024秋?武威月考）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝α，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，線段DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到DF，其中旋轉(zhuǎn)角∠EDF＝180°﹣2α，此時(shí)點(diǎn)F恰好落在AC上，過點(diǎn)D，E，F(xiàn)的圓交BC于點(diǎn)G，連接GF．（1）若α＝35°，求∠BGF的度數(shù)；（2）求證：BE＝GF．【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；圓周角定理．【專題】三角形；運(yùn)算能力．【答案】（1）70°；（2）見解析．【分析】（1）先代入計(jì)算得到∠EDF＝110°，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求解；（2）利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及等弦對(duì)等弧求得DE=DF，證得∠B＝∠FGD，再證明△BDE≌△GDF，據(jù)此即可證明BE＝【解答】（1）解：∵α＝35°，∴∠EDF＝（180﹣2×35）°＝110°，∴∠BGF＝180°﹣∠EDF＝70°；（2）證明：連接DG，∵∠EDF＝（180﹣2α）°，∴∠EGF＝180°﹣∠EDF＝2α，∵DE＝DF，∴DE=∴∠EGD∵∠B＝α，∴∠B＝∠FGD，∵∠GED+∠GFD＝180°，又∵∠GED+∠BED＝180°，∴∠GFD＝∠BED，在△BDE和△GDF中，∠GFD∴△BDE≌△GDF（AAS），∴BE＝GF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，正確作出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．15．（2024秋?寶應(yīng)縣月考）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1）（1）該圓弧所在圓的圓心P的坐標(biāo)為（2，﹣1）；（2）根據(jù)（1）中的條件填空：①⊙P的半徑為25；（結(jié)果保留根號(hào)）②點(diǎn)M（7，﹣1）在⊙P外；（填“上”、“內(nèi)”或“外”）③連接AP、CP，則∠APC的度數(shù)為90°．【考點(diǎn)】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理．【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；運(yùn)算能力．【答案】（1）（2，﹣1）（2）①25；②外；③90【分析】（1）可以作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心，根據(jù)位置寫出圓心坐標(biāo)即可；（2）①利用勾股定理求出PA的長(zhǎng)即可得到答案；②利用勾股定理求出點(diǎn)M到圓心的距離即可判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；③利用勾股定理和勾股定理的逆定理證明△APC是直角三角形，即∠APC＝90°即可得到答案．【解答】解：（1）作弦AB和BC的垂直平分線，交點(diǎn)即為圓心．如圖所示：（2）①由題意得，A（0，3），∵P（2，﹣1），∴PA=∴⊙P的半徑為25故答案為：25②∵M(jìn)（7，﹣1），P（2，﹣1），∴PM=5∴M（7，﹣1）在⊙P外，故答案為：外；③如圖所示，連接PA、PC，AC，∵A（0，3），C（6，1），∴AC2＝（6﹣0）2+（1﹣3）2＝40，∵PA=∴PA∴△APC是直角三角形，即∠APC＝90°，故答案為：90°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了確定三角形外接圓圓心的位置，坐標(biāo)與圖形，勾股定理和勾股定理的逆定理，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，準(zhǔn)確確定圓心是解答此題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．根與系數(shù)的關(guān)系（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的兩根時(shí)，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反過來可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時(shí)，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反過來也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根與系數(shù)的關(guān)系解決以下問題：①不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根．②已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)．③不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號(hào)．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時(shí)除了利用根與系數(shù)的關(guān)系，同時(shí)還要考慮a≠0，△≥0這兩個(gè)前提條件．2．坐標(biāo)與圖形性質(zhì)1、點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離與這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是有區(qū)別的，表現(xiàn)在兩個(gè)方面：①到x軸的距離與縱坐標(biāo)有關(guān)，到y(tǒng)軸的距離與橫坐標(biāo)有關(guān)；②距離都是非負(fù)數(shù)，而坐標(biāo)可以是負(fù)數(shù)，在由距離求坐標(biāo)時(shí)，需要加上恰當(dāng)?shù)姆?hào)．2、有圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)求面積時(shí)，過已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問題的基本方法和規(guī)律．3、若坐標(biāo)系內(nèi)的四邊形是非規(guī)則四邊形，通常用平行于坐標(biāo)軸的輔助線用“割、補(bǔ)”法去解決問題．3．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-bk，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．4．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a，4ac-b24a），對(duì)稱軸直線x=-b2a，二次函數(shù)y＝①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞-b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-b2a時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞-b2a時(shí)，y隨x的增大而減?。粁③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|-b2a|個(gè)單位，再向上或向下平移|5．二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象是拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-b2a①拋物線是關(guān)于對(duì)稱軸x=-b2②拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)解析中的c值．③拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別是（x1，0），（x2，0），則其對(duì)稱軸為x=x6．二次函數(shù)圖象與幾何變換由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．7．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．8．垂線段最短（1）垂線段：從直線外一點(diǎn)引一條直線的垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做垂線段．（2）垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點(diǎn)到這條直線所作的垂線段最短．它是相對(duì)于這點(diǎn)與直線上其他各點(diǎn)的連線而言．（3）實(shí)際問題中涉及線路最短問題時(shí)，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點(diǎn)之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩個(gè)中去選擇．9．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE10．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．12．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?3．圓心角、弧、弦的關(guān)系（1）定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．（2）推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．說明：同一條弦對(duì)應(yīng)兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣?。?）正確理解和使用圓心角、弧、弦三者的關(guān)系三者關(guān)系可理解為：在同圓或等圓中，①圓心角相等，②所對(duì)的弧相等，③所對(duì)的弦相等，三項(xiàng)“知一推二”，一項(xiàng)相等，其余二項(xiàng)皆相等．這源于圓的旋轉(zhuǎn)不變性，即：圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，所得圖形與原圖形完全重合．（4）在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí)，可根據(jù)需要，選擇其有關(guān)部分．14．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都