2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（七）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（七）一．選擇題（共5小題）1．（2024春?懷化期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，則BC的長(zhǎng)度為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm2．（2023秋?谷城縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（）s后，可得到等邊△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．23．（2024秋?昭通月考）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則CD的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2024秋?寧波期中）下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三個(gè)角的度數(shù)之比是2：2：15．（2024秋?長(zhǎng)春月考）如圖，已知△ABD是等邊三角形，BC＝DC，E是AD上的點(diǎn)，CE∥AB，與BD交于點(diǎn)F．若∠CBD＝40°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．2° D．25°二．填空題（共5小題）6．（2024?武威三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交AB于M點(diǎn)，交AC于N點(diǎn)，則△AMN的周長(zhǎng)為．7．（2024秋?啟東市期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，則BD的長(zhǎng)為．8．（2024秋?綦江區(qū)期中）若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為．9．（2024秋?龍亭區(qū)校級(jí)期中）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：設(shè)∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．從點(diǎn)A1開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能擺放4根小棒，則θ的范圍為．10．（2023秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與AB、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周長(zhǎng)為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨堑钠椒志€CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交BA延長(zhǎng)線于D，交CA延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)BC至M，試說(shuō)明BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．12．（2024秋?佳木斯月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于點(diǎn)P．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）直接寫(xiě)出△ABC的面積與四邊形CDOE的面積的數(shù)量關(guān)系．13．（2024秋?荷塘區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且CD＝BE，AD，CE交于點(diǎn)P．（1）試說(shuō)明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度數(shù)，并證明．14．（2024春?鄄城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求15．（2024秋?周村區(qū)期中）已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)A恰好落在三角尺的斜邊DF上．（1）利用圖1證明：EF＝2BC；（2）如圖2，在三角尺平移過(guò)程中，設(shè)AB，AC與三角尺的斜邊的交點(diǎn)分別為G，H，猜想線段AH與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)寒假作業(yè)（七）參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CCBDB一．選擇題（共5小題）1．（2024春?懷化期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，則BC的長(zhǎng)度為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先求出∠A＝30°，再根據(jù)含有30°角的直角三角形性質(zhì)可得BC的長(zhǎng)．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝4（故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023秋?谷城縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)（）s后，可得到等邊△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．2【考點(diǎn)】等邊三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)xs后，可得到等邊△AMN，求出AM＝xcm，AN＝（12﹣2x）cm，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，當(dāng)AM＝AN時(shí)，△AMN是等邊三角形，得到x＝12﹣2x，求出x＝4，即可得到答案．【解答】解：設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)xs后，可得到等邊△AMN，∴AM＝xcm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴AM＝AN時(shí)，△AMN是等邊三角形，∴x＝12﹣2x，∴x＝4，∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4s后，可得到等邊△AMN．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．3．（2024秋?昭通月考）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則CD的長(zhǎng)為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形；直角三角形的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】求出∠CAD＝30°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AC＝4cm，則CD可求出．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，∵AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ABC中，AC=∴Rt△ACD中，CD=故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?寧波期中）下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三個(gè)角的度數(shù)之比是2：2：1【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理．【專(zhuān)題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)選項(xiàng)中△ABC三個(gè)角的關(guān)系，利用三角形的內(nèi)角和定理可分別求出△ABC三個(gè)角的度數(shù)，進(jìn)而根據(jù)等腰三角形的判定可得出答案．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，∵∠B＝40°，∠C＝80°∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故選項(xiàng)A不能判定△ABC為等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)B，∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可設(shè)∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴k+2k+3k＝180°，解得：k＝30°，∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°，故選項(xiàng)B不能判定△ABC為等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)C，∵2∠A＝∠B+∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠A＝180°，解得：∠A＝60°，此時(shí)不能確定∠B和∠C的度數(shù)，無(wú)法判定△ABC的形狀，故選項(xiàng)C不能判定△ABC為等腰三角形；對(duì)于選項(xiàng)D，∵三個(gè)角的度數(shù)之比是2：2：1，不妨假設(shè)∠A：∠B：∠C＝2：2：1，可設(shè)∠A＝2k，∠B＝2k，∠C＝k，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2k+2k+2＝180°，解得：k＝36°，∴∠A＝2k＝72°，∠B＝2k＝72°，∠C＝k＝36°，∵∠A＝∠B，∴△ABC為等腰三角形，故選項(xiàng)D可以判定△ABC為等腰三角形．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，理解等腰三角形的判定，靈活利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行角度的計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．（2024秋?長(zhǎng)春月考）如圖，已知△ABD是等邊三角形，BC＝DC，E是AD上的點(diǎn)，CE∥AB，與BD交于點(diǎn)F．若∠CBD＝40°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．2° D．25°【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求出∠ABD＝60°，由CE∥AB得∠ABD＝∠EFD＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CDB＝∠CBD＝40°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DCE的度數(shù)即可．【解答】解：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠EFD＝60°，∵BC＝BD，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝∠CBD＝40°，∵∠DCE+∠CDB＝∠EFD，∴∠DCE＝20°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024?武威三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作BC的平行線交AB于M點(diǎn)，交AC于N點(diǎn)，則△AMN的周長(zhǎng)為10．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用角平分線及平行線性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，將三角形AMN周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化，求出即可．【解答】解：∵BO為∠ABC的平分線，CO為∠ACB的平分線，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周長(zhǎng)為AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案為：10【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?啟東市期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點(diǎn)E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，則BD的長(zhǎng)為2．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由已知條件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角對(duì)等邊判定AE＝BE，則易求BD＝2．【解答】解：如圖，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，則∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，∠BCD∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BD=∵AC＝10，BC＝6，∴BD=故答案是：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?綦江區(qū)期中）若一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和9，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為22．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】22．【分析】分腰長(zhǎng)為4和腰長(zhǎng)為9兩種情況進(jìn)行分析，三角形的三條邊需滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【解答】解：①當(dāng)腰長(zhǎng)為4時(shí)，4、4、9，4+4＜9，不能夠組成三角形；②當(dāng)腰長(zhǎng)為9時(shí)，4、9、9，能夠組成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)＝4+9+9＝22．∴這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是22．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?龍亭區(qū)校級(jí)期中）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：設(shè)∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．從點(diǎn)A1開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能擺放4根小棒，則θ的范圍為18°≤θ＜22.5°．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【專(zhuān)題】三角形；推理能力．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理推出∠A2A1A3＝2∠BAC＝2θ，∠A3A2A4＝3θ，∠A4A3C＝4θ，∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，根據(jù)只能擺放4根小棒，列出不等式組求解即可．【解答】解：如圖，∵AA1＝A1A2，∴∠AA2A1＝∠A，∴∠A2A1A3＝∠AA2A1+∠A＝2∠BAC＝2θ，∵A1A2＝A2A3，∴∠A2A1A3＝∠A2A3A1＝2θ，∴∠A3A2A4＝∠A+∠A2A3A1＝θ+2θ＝3θ，∵A2A3＝A3A4，∴∠A3A2A4＝∠A3A4A＝3θ，∴∠A4A3C＝∠A3A4A+∠BAC＝4θ，同理∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，∵只能擺放4根小棒，∴4θ＜90°且5θ≥90°，解得：18°≤θ＜22.5°，故答案為：18°≤θ＜22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形“等邊對(duì)等角”，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．10．（2023秋?甘井子區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)O與AB、AC相交于點(diǎn)M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周長(zhǎng)為16．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】16．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△BMO和△CNO是等腰三角形，從而得到MB＝MO，NC＝NO，然后利用等量代換可得到△AMN的周長(zhǎng)為AB+AC，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，∴MB＝MO，NC＝NO，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線性質(zhì)的熟練掌握．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?中山區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨堑钠椒志€CF相交于點(diǎn)F，過(guò)F作DF∥BC，交BA延長(zhǎng)線于D，交CA延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)BC至M，試說(shuō)明BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】CE＝BD+DE，理由見(jiàn)解析．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，根據(jù)角平分線的定義得出∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，于是推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得出BD＝DF，CE＝EF，從而問(wèn)題得證．【解答】解：CE＝BD+DE，理由：∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，∵∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨堑钠椒志€CF相交于點(diǎn)F，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，∴BD＝DF，CE＝EF，∵EF＝DF+DE，∴CE＝BD+DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這兩個(gè)定理是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?佳木斯月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于點(diǎn)P．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）直接寫(xiě)出△ABC的面積與四邊形CDOE的面積的數(shù)量關(guān)系．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．【分析】（1）根據(jù)題意可求得AO＝CO，∠AOD＝∠COE，∠OAD＝∠OCE，進(jìn)而可求得結(jié)論；（2）根據(jù)S四邊形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOC，即可求得答案．【解答】（1）證明：由題意可得：∴∠ACO＝∠OCE＝45°，∠AOC＝90°．∴△AOC為等腰直角三角形．∴AO＝CO，∠OAD＝45°．∴∠OAD＝∠OCE．∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠COE＝90°，∴∠AOD＝∠COE．在△AOD和△COE中，∠AOD∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）解：S四邊形即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及判定，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．13．（2024秋?荷塘區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，且CD＝BE，AD，CE交于點(diǎn)P．（1）試說(shuō)明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度數(shù)，并證明．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠CAB＝∠CBA＝30°，從而得到∠ACB＝∠CBE，由SAS即可證明△ACD≌△CBE；（2）由（1）得△ACD≌△CBE，從而可得∠CAP＝∠PCD，由∠ACP+∠PCD＝120°得到∠CAP+∠ACP＝120°，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【解答】（1）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵BE⊥AB，∴∠CBE＝30°+90°＝120°，∴∠ACB＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，AC=∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：∠APC＝60°，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴∠CAP＝∠PCD，∵∠ACP+∠PCD＝120°，∴∠CAP+∠ACP＝120°，∴∠APC＝180°﹣120°＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．14．（2024春?鄄城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，DF⊥AB，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．【答案】（1）詳見(jiàn)解答；（2）23．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先說(shuō)明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DF⊥AB，∴CD＝DF=3在Rt△CDE中，CE=DE∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD=CD2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線和等腰三角形，掌握角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?周村區(qū)期中）已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)A恰好落在三角尺的斜邊DF上．（1）利用圖1證明：EF＝2BC；（2）如圖2，在三角尺平移過(guò)程中，設(shè)AB，AC與三角尺的斜邊的交點(diǎn)分別為G，H，猜想線段AH與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【專(zhuān)題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱(chēng)；推理能力．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AH＝BE，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)證明AC＝BC，∠CAF＝∠F，進(jìn)而可證明CA＝CF，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系即可證明結(jié)論；（2）同（1）可證明CF＝CH，再由（1）的結(jié)論和線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：由題意得，∠F＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CAF＝∠F＝30°，∴CA＝CF，∴BC＝CF，∴EF＝2BC；（2）解：AH＝BE，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CHF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CHF＝∠F，∴CF＝CH，∵EF＝2BC，∴BE+CF＝BC，又∵AC＝AH+CH，AC＝BC，∴AH＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是等邊三角形性質(zhì)的熟練掌握．

考點(diǎn)卡片1．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．2．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．6．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．9．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴(lài)全等三角形的思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便