江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年上學(xué)期高一期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

江西省景德鎮(zhèn)市2023-2024學(xué)年上學(xué)期高一期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題，每題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知為隨機(jī)事件，與互斥，與互為對(duì)立，且，則（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.93．（

）A． B． C． D．4．已知，，．則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．6．若，，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C．D．8．對(duì)于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”．已知函數(shù)，則曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，每小題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列結(jié)論正確的是（

）A．B．的單調(diào)遞增區(qū)間是C．定義域?yàn)?，則D．函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為直線10．下列說法正確的是（

）A．從50個(gè)個(gè)體中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為20的樣本，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為0.4B．?dāng)?shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15C．?dāng)?shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7D．小明在上學(xué)的路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)每個(gè)路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立，且每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是，則小明在第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為11．有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（

）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙不相互獨(dú)立 D．丙與丁不相互獨(dú)立12．已知函數(shù).則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B．C．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增 D．若實(shí)數(shù)a，b滿足，則三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13．函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，點(diǎn)又在冪函數(shù)的圖象上，則.14．關(guān)于的不等式在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．16．已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對(duì)于任意，，且，都有則實(shí)數(shù)的取值范圍為.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．已知集合，.(1)若，求；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．鎮(zhèn)安大板栗又稱中國(guó)甘栗?東方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，營(yíng)養(yǎng)豐富而著稱于世.現(xiàn)從某板栗園里隨機(jī)抽取部分板栗進(jìn)行稱重（單位：克），將得到的數(shù)據(jù)按分成五組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)請(qǐng)估計(jì)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)；(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在和內(nèi)的板栗中抽取5顆，再?gòu)倪@5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆，求抽取到的2顆板栗中至少有1顆的質(zhì)量在內(nèi)的概率.19．已知指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，求不等式的解集．20．已知函數(shù)，且．(1)若，求方程的解；(2)若對(duì)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．某單位購(gòu)入了一種新型的空氣消毒劑用于環(huán)境消毒，已知在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個(gè)單位的消毒劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫米/立方米）隨著時(shí)間（單位：小時(shí)）變化的關(guān)系如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．若多次噴灑，則某一時(shí)刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時(shí)刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時(shí)，它才能起到殺滅空氣中的病毒的作用．(1)若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)幾小時(shí)？(2)若第一次噴灑2個(gè)單位的消毒劑，6小時(shí)后再噴灑個(gè)單位的消毒劑，要使接下來的4小時(shí)中能夠持續(xù)有效消毒，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）22．定義：若對(duì)定義域內(nèi)任意，都有，（為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“距”增函數(shù).(1)若，，判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；(2)若，，其中（）為常數(shù).若是“2距”增的數(shù)，求的最小值.答案：一．單選題1．B【詳解】因?yàn)榧希?，故選：B2．B【詳解】因?yàn)槭录c事件互為對(duì)立，所以，因?yàn)槭录c事件互斥，則，故選：B3.A4．B【詳解】∵，∴，又，∴，∴．故選：B．5．D【詳解】函數(shù)，易得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)的值域?yàn)?故選：D.6．A【詳解】當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，所以，即可以推出，充分性成立；?dāng)時(shí)，比如取，此時(shí)有，但，所以當(dāng)時(shí)，不能推出，必要性不成立；故是的充分不必要條件.故選：A7．D【詳解】記，由題意可知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，若，則為開口向上的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；若，則為開口向下的二次函數(shù)，要有兩個(gè)零點(diǎn)且一個(gè)大于1一個(gè)小于1，則，得，故；綜上可知：或，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故8．C【詳解】若時(shí)，，其關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是，，在同一坐標(biāo)系中作出，和的圖像，如圖，圖像共有4個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)的“優(yōu)美點(diǎn)”共有4個(gè).故選：C.二多選題9．ACD10．AC11．BCD【詳解】?jī)纱稳〕龅那虻臄?shù)字之和為8，有共5種情況，所以；兩次取出的球的數(shù)字之和為7，有共6種情況，所以；；對(duì)于A，，故甲與丙不相互獨(dú)立，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故甲與丁相互獨(dú)立，正確；對(duì)于C，，故乙與丙不相互獨(dú)立，正確；對(duì)于D，，故丙與丁不相互獨(dú)立，正確.故選：BCD.12．ABD【詳解】，故，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，故A、B對(duì)；由上單調(diào)遞減，而單調(diào)遞增，所以在上遞減，又關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故在定義域R上遞減，由，結(jié)合C分析結(jié)果知，故，所以C錯(cuò)，D對(duì).故選：ABD三.填空題13．4【詳解】由，得，所以定點(diǎn)，設(shè)，又，得，所以，所以，故4.14．【詳解】由不等式以及可得，依題意可知即可，令，又，由可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)可知，即可得；即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故15．【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以的最小值是，故16[0，2]【詳解】解：對(duì)于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調(diào)遞增即可，當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點(diǎn)，當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當(dāng)1＜x≤2時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對(duì)稱軸x＝，即a≤2，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對(duì)稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2]，故[0，2]四.解答題17．(1)(2)【詳解】（1），解得，故，，故；（2），由于恒成立，故，又，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18．(1)57.5(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)在內(nèi).設(shè)該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)為，則，解得，即該板栗園的板栗質(zhì)量的中位數(shù)約為57.5.（2）由題意可知采用分層抽樣的方法從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取2顆，分別記為；從質(zhì)量在內(nèi)的板栗中抽取顆，分別記為.從這5顆板栗中隨機(jī)抽取2顆的情況有，共10種，其中符合條件的情況有，共7種，故所求概率.19．(1)(2)【詳解】（1）若為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，即，所以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為.（2）因?yàn)?，可知的定義域?yàn)椋?，可知為定義在上的偶函數(shù)，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且在內(nèi)單調(diào)遞減，對(duì)于不等式，可得，整理得，解得，所以等式的解集為.20．(1)或(2)【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即，得，有或，則或，所以或.（2）法一：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，令，?duì)稱軸，①當(dāng)時(shí)，即，，得.所以.②當(dāng)，即，，得.所以.綜上所述，的取值范圍為.法二：令，由，得，依題意得恒成立，令，①當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，所以此時(shí)沒有最小值，即不存在使得不等式恒成立.②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞增，故恒成立，解得，即當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.③當(dāng)時(shí)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，要使原不等式成立，須使恒成立，解得綜上所述，的取值范圍為.法三：令，由，得，依題意得恒成立，因?yàn)?，所以在上恒成立，由，得，①?dāng)時(shí)，恒成立，R；②當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以，的取值范圍為.③當(dāng)，，所以在上恒成立，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，時(shí)等號(hào)成立，即，所以，的取值范圍為綜上所述，的取值范圍為.21．(1)8小時(shí)(2)1.6【詳解】（1）因?yàn)橐淮螄姙?個(gè)單位的消毒劑，所以其濃度為當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)，所以若一次噴灑4個(gè)單位的消毒劑，則有效殺滅時(shí)間可達(dá)8小時(shí)．（2）設(shè)從第一次噴灑起，經(jīng)小時(shí)后，其濃度，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；所以其最小值為，由，解得，所以a的最小值為．