2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年重慶市高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上.2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若函數(shù)滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．-12．已知為奇函數(shù)，則在處的切線方程為（

）A． B．C． D．3．設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，直線，則“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知為等差數(shù)列，，.若數(shù)列滿足，記的前項(xiàng)和為，則（

）A． B． C． D．5．已知是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若對(duì)任意的，恒成立，則（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．是遞增數(shù)列 D．是遞減數(shù)列6．已知曲線與x軸交于不同的兩點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，則過A，B，C（A，B，C均不重合）三點(diǎn)的圓的半徑不可能為（

）A． B． C．1 D．27．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．設(shè)分別為橢圓的左，右焦點(diǎn)，以為圓心且過的圓與x軸交于另一點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，線段與C交于點(diǎn)A．已知與的面積之比為，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”（Lookandsaysequence），該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”.例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則對(duì)于外觀數(shù)列，則（

）A．若，則從開始出現(xiàn)數(shù)字2；B．若，則的最后一個(gè)數(shù)字均為；C．可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；D．若，則均不包含數(shù)字4.10．設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則（

）A．軸 B． C． D．11．已知有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則．13．若數(shù)列滿足，（），則.14．若函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，函數(shù)在上存在唯一的零點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)在上是增函數(shù).為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)證明：，其中16．類似平面解析幾何中的曲線與方程，在空間直角坐標(biāo)系中，可以定義曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之間滿足：①曲面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)均為三元方程的解；②以三元方程的任意解為坐標(biāo)的點(diǎn)均在曲面上，則稱曲面的方程為，方程的曲面為.已知曲面的方程為.

(1)已知直線過曲面上一點(diǎn)，以為方向向量，求證：直線在曲面上（即上任意一點(diǎn)均在曲面上）；(2)已知曲面可視為平面中某雙曲線的一支繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面；同時(shí)，過曲面上任意一點(diǎn)，有且僅有兩條直線，使得它們均在曲面上.設(shè)直線在曲面上，且過點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值.17．已知橢圓，過外一點(diǎn)作的兩條切線，分別交軸于兩點(diǎn).(1)記的傾斜角分別為.若，求的軌跡方程.(2)求面積的最小值.18．已知函數(shù)，將曲線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到曲線.(1)證明：存在唯一的實(shí)數(shù)，使得曲線是某個(gè)函數(shù)的圖形，并求出；(2)取，設(shè)是曲線圖象上任意一點(diǎn)，將曲線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到函數(shù)曲線，設(shè)函數(shù)的極小值為，求的單調(diào)性.19．已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，記集合為函數(shù)所有的切線所構(gòu)成的集合，集合為集合中所有與函數(shù)有且僅有個(gè)公共點(diǎn)的切線所構(gòu)成的集合，其中，.(1)若，判斷集合和的包含關(guān)系，并說明理由：(2)若（），求集合中的元素個(gè)數(shù):(3)若，證明：對(duì)任意，，為無窮集.1．A【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則兩邊分別求導(dǎo)，再賦值計(jì)算即得.【詳解】由兩邊分別求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A2．A【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出函數(shù)表達(dá)式，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)和切線相關(guān)知識(shí)求解切線方程即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，所以，代入函數(shù)表達(dá)式得，所以，則，所以在處的切線方程為，即.故選：A3．A【分析】利用線面垂直的定義、面面垂直的判定定理結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?、是兩個(gè)不同的平面，直線，若對(duì)內(nèi)的任意直線，都有，根據(jù)線面垂直的定義可知，，，所以，“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”“”；若，因?yàn)?，?duì)內(nèi)的任意直線，與的位置關(guān)系不確定，所以，“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”“”.因此，“對(duì)內(nèi)的任意直線，都有”是“”的充分而不必要條件.故選：A.4．B【分析】求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的求和公式可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，，，，所以，，則，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，因此，.故選：B5．B【分析】先根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和,結(jié)合恒成立，得出的取值范圍，得到是遞減數(shù)列.【詳解】是公比為的等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和,恒成立,恒成立,若，則可能為正也可能為負(fù)，不成立所以,當(dāng)是遞減數(shù)列,當(dāng)是遞減數(shù)列,故選:B.6．A【分析】設(shè)出圓的方程，利用給定條件用m表示圓的半徑，并求出半徑的取值范圍即得.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)實(shí)根，，，顯然點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，曲線過原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)之一重合，不符合題意，則，設(shè)過三點(diǎn)的圓方程為，由，得，顯然是的兩個(gè)根，于是，又，聯(lián)立解得，又，因此，而當(dāng)或時(shí)，，所以過三點(diǎn)的圓的半徑的取值范圍是，BCD均可能，A不可能.故選：A7．D【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，推導(dǎo)出，，可得出，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，則，則，可得，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故選：D.8．B【分析】由題意可逐步計(jì)算出點(diǎn)A坐標(biāo)，由點(diǎn)A在橢圓上，將其代入橢圓方程得到等式后，借助等式即可計(jì)算離心率.【詳解】由題意可得、，，則以為圓心且過的圓的方程為，令，則，由對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)在軸上方，即，則，即，有，則，又，即有，即，代入，有，即，即在橢圓上，故，化簡得，由，即有，整理得，即，有或，由，故舍去，即，則.故選：B.

方法點(diǎn)睛：求橢圓的離心率時(shí)，可將已知的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于橢圓基本量a，b，c的方程，利用和轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，通過解方程求得離心率．9．BCD【分析】由外觀數(shù)列的定義可判斷A和②；舉例子可判斷③；由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列的定義可判斷④.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，故A錯(cuò)；對(duì)于B，由外觀數(shù)列的定義可知，每次都是從左向右描述，所以第一項(xiàng)的始終在最右邊，即最后一個(gè)數(shù)字，故B正確；對(duì)于C，取，則，此時(shí)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，.設(shè)第一次出現(xiàn)數(shù)字4，則中必出現(xiàn)了4個(gè)連續(xù)的相同數(shù)字.而的描述必須包含“個(gè)，個(gè)”，顯然的描述不符合外觀數(shù)列的定義.所以當(dāng)時(shí)，均不包含數(shù)字4，故D正確.故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義、根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式寫出數(shù)列中的項(xiàng)及利用遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì).解題關(guān)鍵在于理解數(shù)列的新定義，明確數(shù)列的遞推關(guān)系式.10．AC【分析】設(shè)切線求交點(diǎn)根據(jù)兩根之和判斷A選項(xiàng)；特殊值法判斷B,C選項(xiàng)；根據(jù)定義數(shù)形結(jié)合判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè),,,過點(diǎn)A切線為：①,過點(diǎn)B切線為:②,①②得化簡可得軸,A選項(xiàng)正確.設(shè)過A點(diǎn)的切線為,過B點(diǎn)的切線為,交點(diǎn)為AB的中點(diǎn)為，所以不垂直,B選項(xiàng)錯(cuò)誤；,所以,D選項(xiàng)錯(cuò)誤;作拋物線準(zhǔn)線的垂線,連接則顯然,所以又因?yàn)橛蓲佄锞€定義,得,故知是線段的中垂線,得到則同理可證：,，所以，即,所以,即.故選:AC.11．BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可知有2個(gè)正數(shù)根，從而可得根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合判別式求得a的范圍，即可判斷A；求出的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷B；求出的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式，即可判斷C；將化簡為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷D.【詳解】由題意得，由于有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即有2個(gè)正數(shù)根，則，，故需滿足，解得，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故，令，，即在上單調(diào)遞減，故，即，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，可看作曲線上兩點(diǎn)連線的斜率，由于，，故不妨設(shè)，由于，，則曲線在處的切線斜率為1，由于，故連線的斜率小于1，即，所以，即，D正確，故選：BCD難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)時(shí)選項(xiàng)D的判斷，解答時(shí)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷，即可判斷該選項(xiàng).12．【分析】先根據(jù)與相切，確定的值，再根據(jù)直線與相切，確定的值.【詳解】因?yàn)榕c相切.，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為.因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，所以：，故切點(diǎn)為，所以.對(duì)函數(shù)，，由，根據(jù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，根據(jù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)為：，由，又由題可知.故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：先根據(jù)的切線過原點(diǎn)，求出的值；求時(shí)，要注意切點(diǎn)即在曲線上，也在切線上，根據(jù)縱坐標(biāo)相等列方程求解.13．3268【分析】由數(shù)列遞推式可得到，和已知等式作差得，利用累加法即可求得答案.【詳解】由題意可得，作差得，故，故326814．【分析】根據(jù)可求得單調(diào)遞增，得到，可解得；由可知單調(diào)性，結(jié)合可確定，由此解得；取交集即可得到的范圍.【詳解】恒成立，單調(diào)遞增，又在上存在唯一的零點(diǎn)，，即，解得：；，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，即，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠結(jié)合零點(diǎn)求得單調(diào)性，從而確定在區(qū)間端點(diǎn)處的符號(hào)，由此構(gòu)造不等式組求得參數(shù)范圍.15．(1)(2)答案見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒成立問題，分離參數(shù)法處理即可.（2）先用二次函數(shù)求和公式化簡原式，再利用放縮法證明即可.【詳解】（1）由題意得函數(shù)在上是增函數(shù)，可得在上恒成立，而，必有恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，化簡得，而，令，，令，，故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則此時(shí)，可得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，因，恒成立，綜上.（2）欲證，則需證即可，由將上述不等式整理可得：即證，因即，故即證即可，令，其中，而，故在上單調(diào)遞增，因，，故，即得證，綜上必有，即原不等式得證.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與證明不等式，第一小問解題關(guān)鍵是分析題意，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，采用分離參數(shù)法求解，第二小問解題關(guān)鍵是分析題意，利用求和公式，轉(zhuǎn)化為易證明的不等式問題，再利用放縮法證明即可.16．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，由題意有，從而得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程驗(yàn)證即可.（2）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，由題意有，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入曲面的方程，進(jìn)而可求得的關(guān)系，可得，利用向量夾角公式求解即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，而為直線的方向向量，則有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，即點(diǎn)，顯然，因此點(diǎn)的坐標(biāo)總是滿足曲面的方程，所以直線在曲面上.（2）直線在曲面上，且過點(diǎn)，設(shè)是直線上任意一點(diǎn)，直線的方向向量為，則有，從而存在實(shí)數(shù)，使得，即，則，解得，即點(diǎn)，由點(diǎn)在曲面上，得，整理得，依題意，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，因此，且，解得，或，不妨取，則，或，即，或，又直線的方向向量為，所以異面直線與所成角的余弦值均為.17．(1)(2)4【分析】（1）設(shè)，，過點(diǎn)直線方程設(shè)為，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用判別式為0，結(jié)合韋達(dá)定理，求解點(diǎn)軌跡方程．（2）根據(jù)點(diǎn)斜式可得的坐標(biāo)，即可根據(jù)三角形面積公式得表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】（1）設(shè),，過點(diǎn)直線方程設(shè)為．由，解得．相切．化簡得：．，

點(diǎn)軌跡方程為．（2）由（1）知：直線的斜率滿足，且，，在直線中，令，則，因此,故,所以,由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故面積的最小值為4.方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用表示出來，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值．18．(1)證明見解析；(2)證明見解析【分析】（1）分析題意，轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題處理即可.（2）分析題意，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)研究即可.【詳解】（1）若存在是某個(gè)函數(shù)的圖形，則的方程為，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到，由題意得與有唯一公共點(diǎn)，即與有唯一交點(diǎn)，可得一定是單調(diào)函數(shù)，且，探得，此時(shí)一階導(dǎo)取得最小值，故得一定是的拐點(diǎn)，設(shè)，得，故得，解得，即，故存在唯一的實(shí)數(shù)，使得曲線是某個(gè)函數(shù)的圖形得證.（2）對(duì)于，故設(shè)，，設(shè)曲線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為，設(shè)，可得，，則旋轉(zhuǎn)中心為原點(diǎn)時(shí)，會(huì)變?yōu)?，而現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)中心為，設(shè)的極小值為，則，由題意知取，則，而，設(shè)，，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，顯然，，得，由零點(diǎn)存在性定理得一定存在作為零點(diǎn)，令，，令，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.思路點(diǎn)睛：借助參數(shù)方程解