2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省高三上學(xué)期第二次月考（12月）數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知θ是三角形的一個(gè)內(nèi)角，滿(mǎn)足，則（）A． B． C． D．4．如圖，平行四邊形中，，，若，，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知球O的半徑為R，A，B，C三點(diǎn)在球O的球面上，球心O到平面的距離為，，，則球O的表面積為（）A． B． C． D．7．若數(shù)列和滿(mǎn)足，，，則（）A． B． C． D．8．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．的單調(diào)遞增區(qū)間是B．的單調(diào)遞增區(qū)間是C．在上有3個(gè)零點(diǎn)D．將函數(shù)圖象向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)10．下列說(shuō)法正確的有（）A．若，則函數(shù)的最大值為B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x、y滿(mǎn)足，則的最小值為3．D．設(shè)x、y為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為611．布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方體圖案，如圖，把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成組合，把這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成空間幾何體．若圖中每個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是C． D．異面直線(xiàn)與所成角的正切值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知冪函數(shù)過(guò)點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.13．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是．14．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若與底面所成角的度數(shù)為，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，（x∈R，且為常數(shù)），若．(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若時(shí)，函數(shù)的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值．16．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.(1)求的值；(2)若，且的面積為，求的周長(zhǎng).18．如圖1，在平行四邊形中，，，E為的中點(diǎn)，將沿折起，連結(jié)，，且，如圖2．

(1)求證：圖2中的平面平面；(2)在圖2中，若點(diǎn)在棱上，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．

答案1．【正確答案】B【詳解】∵，，∴．故選：B．2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是，在第三象限，故選：C.3．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，兩邊平方得，即，可得，因?yàn)槭侨切蔚囊粋€(gè)內(nèi)角，且，所以，所以，得，又因?yàn)椋?，故有：．從而有．故選：B．4．【正確答案】D【詳解】由題得，，所以，所以.故選；D.5．【正確答案】C【詳解】由題，對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，所以若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】，，由正弦定理得（是的外接圓半徑），解得：，，解得：，球O的表面積．故選：B．7．【正確答案】A【詳解】由題可得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故，又由題可得即，所以，故，所以.所以，所以.故選：A.8．【正確答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，，令，可得，，由題意是方程的兩根，且故且，解得，又，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．9．【正確答案】AC【詳解】由圖象得，周期，得，所以，．令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為．A正確，B錯(cuò)誤；令，解得，令得，解得，可知C選項(xiàng)正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，得到的函數(shù)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選：AC．10．【正確答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以則函數(shù)的最小值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)檎龜?shù)x、y滿(mǎn)足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)閤、y為正實(shí)數(shù)，且，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為6，故D正確.故選：BCD.11．【正確答案】ABC【詳解】依題意得，故A正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，對(duì)于BC，，所以，設(shè)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故BC正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以異面直線(xiàn)與所成角的正切值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．【正確答案】【詳解】由題可設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)過(guò)點(diǎn)，所以，所以函數(shù)，所以函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，所以若，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.13．【正確答案】【詳解】由題得定義域?yàn)镽，，所以時(shí)，；時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，所以，故m的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，由題意可設(shè)，，其中，所以，顯然為平面的法向量，所以，化簡(jiǎn)得，顯然（否則矛盾），從而，解得，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為，所以的取值范圍為.故答案為.15．【正確答案】(1)，(2)2【詳解】（1）∵，，∴，∴的最小正周期為，由，得，∴的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)，即時(shí)，有最小值，即．16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析，；(2).【詳解】（1）證明：由題可得，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以，又，所以所以①，又，均滿(mǎn)足①式，所以.又，即數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為1的等差數(shù)列.（2）由（1）得，數(shù)列的前n項(xiàng)和，所以，所以，所以.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因?yàn)椋裕?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所?（2）由（1）可得，所以.因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，則.由余弦定理可得，即，所以，則.故的周長(zhǎng)為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）連接，利用勾股定理證明，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】（1）連接，由題意，則為等邊三角形，由余弦定理得，所以，則，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，，因?yàn)檩S垂直平面，故可取平面的一條法向量為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或（舍去），所以，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，所以點(diǎn)到平面的距離為．

19．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.【方法總結(jié)】對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：1通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)