【八年級下冊數(shù)學湘教版】第一章 直角三角形（壓軸題專練）

第一章直角三角形（壓軸題專練）一、選擇題1．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市平江中學校校聯(lián)考期中）如圖，等邊的邊長為6，D是的中點，E是邊上的一點，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．2．（2023上·吉林白城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰中，，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③平分；④，其中正確結(jié)論有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級校考期末）如圖，點C為線段上一動點（不與A、E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連接，以下四個結(jié)論①；②；③平分；④，下面的結(jié)論正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．45．（2023上·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤6．（2023上·河北石家莊·八年級校考期末）如圖，的角平分線相交于點P，若，則的值為（

）A． B． C． D．27．（2023上·湖南長沙·八年級長沙麓山外國語實驗中學校考階段練習）如圖，在中，，，為的中點，為上一點，為延長線上一點，且．有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④8．（2022上·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖，三點在同一直線上，都是等邊三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接，①；②平分；③；④；⑤，下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個9．（2023上·江蘇常州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要細帶．數(shù)學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．10．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，點是的平分線上的一點，點，分別是射線和射線上的動點，且，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是一個定值 B．四邊形的面積是一個定值C．當時，的周長最小 D．當時，11．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點，交于點，則的長為（）A．56 B． C． D．12．（2023上·山東濟南·七年級校考期中）如圖，在和中，，，，，連接相交于點M，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．113．（2023上·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學校校考期中）如圖，在中，，，點是的中點，點是邊上的動點，連接，過點作交于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是；⑤四邊形的面積是定值．其中正確的個數(shù)有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個14．（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③15．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，三條角平分線交于點O，交于點H，兩個外角角平分線交于點M，延長線交反向延長線于點N．則下列結(jié)論中：①平分；②當時，；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)有（）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個16．（2023上·廣東深圳·八年級校考期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，平分交于點D，以為一條直角邊作，其中交于點F，交于點G，線段上有一動點P，于點Q，連接，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正確的個數(shù)是（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個17．（2023上·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學校校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，的平分線交于點，交于，，連接、，交于點、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點一定落在上；②；③；④若，則．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題18．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖，在四邊形中，，連接，，，點分別在邊上，且，連接，若，則的最小值為_________．19．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點為中點，點為上的動點，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接，當線段的最小時，則________．20．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為_____．

21．（2023上·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，是邊長為6的等邊三角形，直線于，點是直線上一動點，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為________．22．（2023上·江蘇南通·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，為上一動點（不與點重合），為等邊三角形，過點作的垂線，為垂線上任一點，連接，為的中點，則線段長的最小值是__________．23．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，已知直線，與之間的距離為6，點，在直線上，且，點，在直線上，，點為線段上一個動點，則的最小值為_______．24．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，中，，，以為邊，在上方作等邊分別為邊上的兩個動點，且．若，則的最小值為___________．25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點在上，且，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點的對應點為點．點為上一點，且滿足的長等于的一半．連接．當時，的長為________．三、解答題26．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市平江中學校校聯(lián)考期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在中，，是斜邊上的中線，則與的數(shù)量關系為________；（2）【問題探究】如圖2，等腰中，，延長到E，以為斜邊，在的下方作等腰，，連接，點F是邊的中點，連接，若，，①試判斷的形狀；②求的面積．（3）【拓展延伸】如圖3，在等腰中，，點E在延長線上，點D在延長線上，以為斜邊，在的上方作等腰，，點F是邊的中點，連接，若，，試直接表示出的面積_（用含a、b的代數(shù)式表示）．27．（2024上·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，在軸上有兩點、，在軸負半軸上有一點，，，以為頂點作等腰直角，點在第三象限，，.(1)填空：點的坐標為：___________；點的縱坐標為：___________；(2)如圖2，連接，，求的度數(shù)；(3)如圖3，過點作于點，交于點，點在上且，連接.①求證：；②直接寫出線段、、之間的數(shù)量關系為：___________.28．（2023上·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）綜合探究直觀感知和操作確認是幾何學習的重要方式，在中，，，.(1)尺規(guī)作圖：如圖1，在中，作的角平分線交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)操作探究：在（1）的條件下，將沿著過點的直線折疊，使點落在三邊所在直線上（頂點除外），畫出示意圖；(3)遷移運用：①如圖2，若為邊的中點，為射線上一點，將沿著翻折得到，點的對應點為，當時，求的長；②如圖3，若點是邊的中點，是邊上一點，將沿折疊至，點的對應點為，連接、，求的面積的最大值.29．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，，，，延長至E，使，連接．(1)求證：；(2)求的面積；(3)點M，N分別是線段，上的動點，連接，求的最小值．30．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】在數(shù)學活動課上，李老師給出如下的問題：如圖1，已知，，過點B作射線l，點E在的內(nèi)部，點A和點E關于l對稱，交l于點D，連接．證明：．【探究合作】同學們根據(jù)問題進行小組合作，下面是第一小組的同學分享的解題過程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補”的方法．如圖4，延長到點G，使，連接，再確定一個三角形作為目標構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長補短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問題”，這就將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學學習中無處不在．請同學們反思后解決下面的問題：（3）如圖，，，點D是的角平分線上一動點，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．31．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第一一三中學校?？计谥校┤鐖D（1），四邊形中，，平分．

(1)求證：．(2)如圖（2）的垂直平分線交于，交于，過作，交延長線于．求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，連接，若，，求的面積．32．（2024上·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）【概念認識】定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．當這個點是直角的頂點時，這個點又稱為強勾股點．如圖①，在中，，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，也是強勾股點．【概念運用】（1）如圖②，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，，兩點均在格點上，線段上的8個格點中，是，兩點的勾股點的有_____個．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點的強勾股點．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點，是射線上一個動點，當是任意兩個頂點的強勾股點時，直接寫出的長．33．（2024上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【概念建構(gòu)】在中，，，直線經(jīng)過點A，于點D，于點E．如圖1，當直線在外部時，稱和是的“雙外弦三角形”，如圖2，當直線在內(nèi)部時，稱和是的“雙內(nèi)弦三角形”．依據(jù)“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的基本事實，我們得到“雙外弦三角形”和“雙內(nèi)弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念應用】①如圖3，在中，，于點M，，E是邊上的點，，，連接，，若，，求的長．小亮同學在閱讀與理解【概念建構(gòu)】的基礎上，作于點N，構(gòu)造出如圖4所示的“雙內(nèi)弦三角形”，并應用“雙內(nèi)弦三角形”是全等三角形的結(jié)論求出了．請你依照小亮的解題思路，寫出解答過程．②請你應用“雙內(nèi)弦三角形”和“雙外弦三角形”都是全等三角形的結(jié)論或者按照自己的解題思路解答下列問題．如圖5，在中，，，D是邊上一點，，，交于點N，延長，交于點F，猜想，，之間的數(shù)量關系，并說明理由：(2)【學以致用】如圖6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面積和．34．（2024上·遼寧本溪·八年級期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若∠ACB=45°，AC=3，，求的長；(2)如圖2，M為的中點，連接，過點M作與的反向延長線交于點N，連接，試猜想之間有何等量關系，并證明你的結(jié)論．35．（2024上·廣西柳州·九年級校聯(lián)考期末）綜合與實踐：動手操作：某數(shù)學課外活動小組利用圖形的旋轉(zhuǎn)探究圖形變換中蘊含的數(shù)學奧秘．如圖1，是等腰直角三角形，，，將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過點作交延長線于點D．思考探索：（1）在圖1中：的面積為________；拓展延伸：（2）如圖2，若為任意直角三角形，．將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，過點作交延長線于點D．猜想三條線段、、的數(shù)量關系，并證明．（3）如圖3，在中，，，將邊繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．若點D是的邊的高線上的一動點，連接、，則的最小值是________．36．（2023上·浙江杭州·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，點是邊所在直線上的一個動點，連接，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．(1)如圖1，當點在的延長線上時，求證：．(2)如圖2，若點從點運動到點A．①的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由．②如圖3，過點作的垂線，與直線交于點，作點關于直線的對稱點，直線交直線于點，若，求的長．37．（2023上·遼寧大連·九年級校考期中）綜合與實踐：數(shù)學課上，白老師出示了一個問題：已知等腰直角和等腰直角，，，，連接，，如圖1．獨立思考：（1）如圖1，求證：；實踐探究：在原有條件不變的情況下，白老師把旋轉(zhuǎn)到了特殊位置，增加了新的條件，并提出了新的問題，請你解答：（2）如圖2，在繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好有，．①求的度數(shù)；②線段與線段交于點F，求的值；③若，求的值．38．（2023上·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學校聯(lián)考期中）（1）如圖1，四邊形的對角線、交于點，．證明：．（2）如圖2，分別以的直角邊和斜邊為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，連結(jié)、、．①，，求的值．②若分別取，的中點、，連接，，，判斷的形狀為__________．（3）如圖3，對于任意，以和為邊向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，連結(jié)、、，分別取，的中點、，連接，，，則②的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

第一章直角三角形（壓軸題專練）答案全解全析一、選擇題1．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市平江中學校校聯(lián)考期中）如圖，等邊的邊長為6，D是的中點，E是邊上的一點，連接，以為邊作等邊，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過點作，交于點，于點，過點作于點，易證為等邊三角形，進而證明，進而求出的長，利用求出的長，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長，進而求出的長，再利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：過點作，交于點，于點，過點作于點，∵等邊的邊長為6，D是的中點，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∵等邊，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴；故選A．2．（2023上·吉林白城·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知和△ADE都是等腰三角形，，，交于點，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④．正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定定理等知識，熟練掌握相關知識，證明是解題關鍵．利用“”證明，由全等三角形的性質(zhì)證明，，即可判斷結(jié)論①；作于點，于點，設交于點，證明，即可判斷結(jié)論②；利用三角形面積公式證明，由角平分線的判定定理即可判斷結(jié)論④；題目中條件無法證明結(jié)論③正確．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，故①正確；如圖，作于點，于點，設交于點，在和中，∵，，∴，∴，故②正確；∵，，，∴，∴，∵，∴，∴平分，∴，故④正確．若③成立，則，∵∠AFE=∠AFB，∴，推出，由題意知，不一定等于，∴不一定平分，故③錯誤．綜上所述，結(jié)論正確的有①②④，共計3個．故選：C．3．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等腰中，，，，于點，的平分線分別交、于、兩點，為的中點，的延長線交于點，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③平分；④，其中正確結(jié)論有（

）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】本題根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和平分，得出，利用為的中點，得出，結(jié)合直角三角形兩銳角互余，推出，證明，即可得出結(jié)論①，再證明，即可得出結(jié)論④，利用，、、、四點共圓，結(jié)合圓周角定理，即可得出結(jié)論③，最后利用三角形外角證明，即可得出結(jié)論②．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，為的中點，，，，在和中，，，①正確．在和中，，，．④正確．，、、、四點共圓，，，，平分，③正確．，，，②正確．綜上所述，正確的有4個，故選：D．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級?？计谀┤鐖D，點C為線段上一動點（不與A、E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點O，與交于點P，與交于點Q，連接，以下四個結(jié)論①；②；③平分；④，下面的結(jié)論正確的有（

）個A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，易證，得到，再由三角形內(nèi)角和定理，即可判斷①結(jié)論；證明，進而可證是等邊三角形，得出，即可判斷②結(jié)論；過點作與點，于點，由全等三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)角平分線的判定定理，即可判斷③結(jié)論；在上取一點，使得，證明是等邊三角形，進而可證，得到，即可判斷④結(jié)論．【詳解】解：和是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，①結(jié)論正確；，，在和中，，，，又，是等邊三角形，，，，②結(jié)論正確；如圖，過點作與點，于點，，，，，又，，平分，③結(jié)論正確；如圖，在上取一點，使得，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，④結(jié)論正確，即結(jié)論正確的有①②③④，共4個，故選：D．5．（2023上·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，為的角平分線，且，E為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的結(jié)論有（）A．①②③④ B．①②③④⑤ C．①②③ D．①②③⑤【答案】D【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題中熟練求證三角形全等和熟練運用全等三角形對應角、對應邊相等性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)角平分線定義推出．利用證明，據(jù)此判斷①；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理判斷③；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、鄰補角定義判斷②；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)判斷④；過作交于點，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出，利用證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及線段的和差即可得解．【詳解】解：∵為的角平分線，在和中，，故①正確，符合題意；為的角平分線，，，故③正確，符合題意；故②正確，符合題意；是等腰三角形，故④錯誤，不符合題意；如圖，過作交于點，是的角平分線上的點，且，（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等），在和中，，，，在和中，，，，，故⑤正確，符合題意；故選：D．6．（2023上·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，的角平分線相交于點P，若，則的值為（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理．根據(jù)，平分，利用勾股定理求出，如圖，過點P作交于點D，證明，得到，，設，則，利用勾股定理求出，即可求出結(jié)果．【詳解】解：，平分，，，，如圖，過點P作交于點D，的角平分線相交于點P，，，，，，，，設，則，在中，，，解得：，，，故選：A．7．（2023上·湖南長沙·八年級長沙麓山外國語實驗中學校考階段練習）如圖，在中，，，為的中點，為上一點，為延長線上一點，且．有下列結(jié)論：①；②為等邊三角形；③；④，其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④【答案】A【分析】連接，由等腰三角形的性質(zhì)和線段的中垂線性質(zhì)即可判斷①；由三角形內(nèi)角和定理可求，可得，可判斷②；過點作，在上截取，由“”可證，延長至H，使，則點關于的對稱點，連接，根據(jù)對稱性質(zhì)即可判斷③；過點A作，在上截取，由三角形的面積的和差關系可判斷④．【詳解】解：如圖，連接，∵，點是的中點，∴，，，∴是的中垂線，∴，而，∴，∴，，∴，∴，故①正確；∵，∴，

∵，∴，∴而，∴是等邊三角形，故②正確；如圖，延長至，使，則點關于的對稱點為，連接，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故③正確；過點A作，在上截取，

∵，∴是等邊三角形，∴，∴，且，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴．故④正確．所以其中正確的結(jié)論是①②③④．故選：A．8．（2022上·湖北省直轄縣級單位·八年級校聯(lián)考期中）如圖，三點在同一直線上，都是等邊三角形，與交于點，與交于點，與交于點，連接，①；②平分；③；④；⑤，下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】對于①可先證明△ACD△BCE，已有，，易得，其他的結(jié)論的證明需要通過①得到，等邊三角形的定義與性質(zhì)、角平分線的判定，分別進行證明即可得出答案．【詳解】解：①和為等邊三角形，，，∴△ACD△BCE，，故①正確；由（1）中的全等得，，，故⑤正確；∴，都是等邊三角形，，則為等邊三角形，，，，，，故④錯誤；，，，，，故③正確；作，，如圖所示：，，平分，故②正確；綜上所述，正確的有①②③⑤共4個，故選：C．9．（2023上·江蘇常州·八年級?？计谥校┕垂啥ɡ硎侨祟愒缙诎l(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要細帶．數(shù)學家歐幾里得利用如圖驗證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此題考查的是勾股定理的證明；過點作于點，交于點，由正方形的性質(zhì)可知、的長，利用直角三角形面積公式可得的長，再勾股定理可得、的長，最后利用勾股定理可得答案．正確作出輔助線是解決此題的關鍵．【詳解】解：過點作于點，交于點，正方形面積為5，正方形面積為1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以為邊長的正方形面積為10．故選：．10．（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，已知，點是的平分線上的一點，點，分別是射線和射線上的動點，且，，下列結(jié)論中正確的是（

）A．是一個定值 B．四邊形的面積是一個定值C．當時，的周長最小 D．當時，【答案】C【分析】過點作于點，于點，于點，證明，得出，，求出，得出是一個定值；根據(jù)，得出，說明四邊形的面積是一個定值；根據(jù)，得出當最小時，的周長最小，根據(jù)垂線段最短，得出當時，最小，的周長最??；根據(jù)時，，得出，求出，求出一定與不垂直．【詳解】解：A、過點作于點，于點，于點，如圖所示：點是的平分線上的一點，，，，，，，，，，，，即是一個定值；當、關于對稱時，，不固定，故錯誤；B、，，即，四邊形的面積是一個定值，四邊形的面積是一個定值，當、關于對稱時，，不固定，四邊形的面積不固定，故錯誤；C、如圖，∵，，，，，，由勾股定理得，，，，當最小時，的周長最小，垂線段最短，當時，最小，的周長最小，故正確；D、時，，，一定與不垂直，故錯誤．故選：．11．（2023·廣東深圳·?？寄M預測）如圖，等腰直角與等腰直角，，，，連接、．若，為中點，交于點，則的長為（）A．56 B． C． D．【答案】B【分析】延長至，使，連接，過作，交的延長線于點，證，得，，再證，得，，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)得，則，，進而求出，再利用即可解決問題．【詳解】解：延長至，使，連接，過作，交的延長線于點，如圖所示：為的中點，，在和中，，，，，，，，，，，∴，，，，在和中，，，，，，，，∴EH=BC，，在中，，，，，，，，，，，，，，，，故選：B．12．（2023上·山東濟南·七年級?？计谥校┤鐖D，在和中，，，，，連接相交于點M，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分．其中正確的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】由SAS證明得出，①正確；由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形的外角性質(zhì)得：，得出，②正確；作，如圖所示：則，由AAS證明，得出，由角平分線的判定方法得出平分，④正確；由，得出當時，才平分，假設，則∠COM=∠BOM，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③錯誤；即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，即，在和中，，∴，，①正確；∴，由三角形的外角性質(zhì)得：，，②正確；作于，于，如圖2所示：則，在和中，，，，∴平分，④正確；∵，∴當時，才平分，假設，∵，∴∠COM=∠BOM，∵平分，∴，在△COM和中，，∴，∴，∵，∴，與矛盾，∴③錯誤；正確的①②④；故選：B．13．（2023上·重慶銅梁·八年級重慶市巴川中學校?？计谥校┤鐖D，在中，，，點是的中點，點是邊上的動點，連接，過點作交于點，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是；⑤四邊形的面積是定值．其中正確的個數(shù)有（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】先證明出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出其他選項，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴為等腰直角三角形，∵點是的中點，∴，平分，且，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴,∵,∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵∴，又，∴，∴，但很明顯是變化的，∴也是變化的，∴③不正確；當時，的值最小，∵，，∴，即的最小值為，故④正確，∵，∴，∴，∵，∴，，∴⑤正確，即正確的有個，故選：C．14．（2023上·浙江湖州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，，，于點B，于點D，E、F分別是、上的點，且，下列結(jié)論中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正確的結(jié)論是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分別是上的任意點，可知與不一定相等，與也不一定全等，可判斷①錯誤，②錯誤；延長到點G，使，連接，先證明，得，由，可以推導出，則，即可證明，得，因為，所以，可判斷③正確，因為，所以，可判斷⑤正確；由平分結(jié)合，推出與題干互相矛盾，可得④錯誤．【詳解】解：∵E、F分別是上的任意點，∴與不一定相等，故①錯誤；∵于點于點D，∴，∵，∴的另一個條件是，∵與不一定相等，∴與不一定全等，故②錯誤；延長到點G，使，連接，則，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正確；若平分，而，∴，與題干信息矛盾，故④錯誤；故選C15．（2023上·黑龍江牡丹江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，三條角平分線交于點O，交于點H，兩個外角角平分線交于點M，延長線交反向延長線于點N．則下列結(jié)論中：①平分；②當時，；③；④；⑤；⑥．其中正確的個數(shù)有（）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】C【分析】假設是的平分線，用反證法即可證明①不正確；當時，在上截取，連接，證明，可得，即得，從而證明，有，可得，判斷②正確；由，，進而可判斷③正確；由平分∠ABC，平分，可得，故；同理，即得，即，得，判斷④正確；因O到，的距離都等于，故，判斷⑤正確；過O作于K，于T，由，而，，，可得，判斷⑥正確．【詳解】解：若是的平分線，則，∵是的平分線，∴.∵，，∴,∵分別是的角平分線，∴,∴，這與與不一定相等矛盾，∴不一定是的平分線，故①不正確；當時，在上截取，連接，如圖：

∵，∴，∴，∴，∵，∴，在和中，，

∴，∴，∴，即，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故②正確；如圖：

∵于H，∴，∴，∵，∴，故③正確；∵平分，平分，∴，∴；同理可得，∴，∴，而，∴，∴，故④正確；∵三條角平分線交于點O，，∴O到的距離都等于，∴，故⑤正確；過O作于K，于T，如圖：∵，∴，∴，由角的對稱性可知，，∴，∴，故⑥正確；∴正確的有：②③④⑤⑥，共5個；故選：C．16．（2023上·廣東深圳·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形中，，，平分交于點D，以為一條直角邊作，其中交于點F，交于點G，線段上有一動點P，于點Q，連接，則下列結(jié)論中：①；②為等腰三角形；③；④，⑤的最小值是；正確的個數(shù)是（

）

A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】利用的性質(zhì)證明，可得①符合題意；證明，可得，，再證明，可判斷②符合題意；由，，可判斷③符合題意；由，可得，可判斷④符合題意；如圖，過作于，過作于，而，平分，可得，則當，，關系，且時，最短，即最短，即圖中的，再求解的長度可判斷⑤，從而可得答案.【詳解】解：∵，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∵，平分，∴，，而，∴，∴，，∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故②符合題意；∵，，∴，故③符合題意；∵，，，∴，故④符合題意；如圖，過作于，過作于，而，平分，∴，∴當，，關系，且時，最短，即最短，即圖中的，

∵，，∴，，，∴，∴，∴的最小值為1；故⑤不符合題意；故選C17．（2023上·重慶南岸·八年級重慶市第十一中學校校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，的平分線交于點，交于，，連接、，交于點、下列結(jié)論：①若將沿折疊，則點一定落在上；②；③；④若，則．上述結(jié)論中正確的個數(shù)是（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由，得，由，得，先證明，得，則垂直平分，再證明，得，若將沿折疊，則點E一定落在上，可判斷①②正確；連接，則，得，可推導出，再證明，則，可判斷③正確；作于點L，則，由，得，則，再證明，則，于是求得，則，可判斷④錯誤，于是得到問題的答案．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∴點A、點E都在的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴若將沿折疊，則點E一定落在上，故①②正確；連接，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故③正確；作于點L，則，

∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯誤；綜上分析可知，正確的有3個，故選：C．二、填空題18．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，連接，，，點分別在邊上，且，連接，若，則的最小值為_________．【答案】【分析】延長至點H使，連接，構(gòu)造可得，即可得的最小值為，通過勾股定理即可求解．【詳解】解：延長至點H使，連接如圖：，，，，，，，，，，的最小值為，的最小值為，在中，．19．（2023上·陜西西安·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，點為中點，點為上的動點，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，連接，當線段的最小時，則________．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及全等三角形判定與性質(zhì)的綜合應用，過作于，易證，可得，再根據(jù)當時，，即點與點重合，即可得出線段的最小值為3，求出此時，又勾股定理即可求出此時．【詳解】解：如圖所示，過作于，則，由旋轉(zhuǎn)可得，，，，在和中，，，，點的運動軌跡是平行的直線，當點與點重合，的值最小，的最小值為3，此時，∴，故答案為：．20．（2023上·吉林長春·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，分別以它的四條邊為斜邊，向外作等腰直角三角形．若、和的面積分別為4、9、5，則的面積為_____．

【答案】8【分析】本題考查了勾股定理的知識，要求能夠運用勾股定理證明4個等腰直角三角形的面積之間的關系．連接，根據(jù)等腰直角三角形的面積公式可求，根據(jù)勾股定理可求再根據(jù)等腰直角三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：如圖，連接，、和是等腰直角三角形，，、和的面積分別為、、，，，，在中，，在中，，，則的面積為．故答案為∶8．21．（2023上·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，是邊長為6的等邊三角形，直線于，點是直線上一動點，以為邊在的右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為________．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含的直角三角形．根據(jù)題意確定點的運動軌跡是解題的關鍵．如圖，連接，證明，則，可知點在與夾角為的直線上運動，如圖，直線即為點的運動軌跡，作于，即為的最小值，由，可得，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，是等邊三角形，，∴，，，∴，即，∵，∴，∴，∴點在與夾角為的直線上運動，如圖，直線即為點的運動軌跡，作于，即為的最小值，∵，∴，∴的最小值為，故答案為：．22．（2023上·江蘇南通·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，，為上一動點（不與點重合），為等邊三角形，過點作的垂線，為垂線上任一點，連接，為的中點，則線段長的最小值是__．【答案】9【分析】本題考查含角的直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，利用已知得出點的軌跡是解本題的突破口，利用垂線段最短求出的最小值是解本題的關鍵．首先連接根據(jù)線段中垂線性質(zhì)定理逆定理得出為線段的中垂線，然后得出，而后證明即為定值，得出G的運動軌跡，再根據(jù)垂線段最短即可得出的最小值．【詳解】解：連接交于，如圖：為中點，為等邊三角形，是的中垂線，，點在過點，與所交角的直線動，過點作于點，則為所求∴，，故答案為：9．23．（2023上·四川成都·八年級?？计谥校┤鐖D，已知直線，與之間的距離為6，點，在直線上，且，點，在直線上，，點為線段上一個動點，則的最小值為_______．【答案】【分析】如圖所示，過點C作于W，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，則，據(jù)此求出，則點B與點W重合；如圖所示，以點B為一個頂點，以長為邊，向上作等邊，點M在直線上，取中點H，以為邊作等邊，連接，延長交直線于T，連接，證明，得到，則，取中點K，連接，則是的中位線，由平行線的唯一性可知此時直線和直線重合，即點G與點K重合，則點G為的中點，證明，，得到，則，則當最小時，最??；設直線交直線于N，則證明，得到當T、E、P三點共線，且時，最小，即最小，如圖所示，過點M作交直線于Q，在中，，則，，求出，，得到，即可得到的最小值為．【詳解】解：如圖所示，過點C作于W，∵，，∴，∵與之間的距離為6，∴，∵，∴，∵，∴，∴點B與點W重合，如圖所示，作點D關于直線的對稱點P，連接，∴，∴，∴點P在直線上運動，如圖所示，以點B為一個頂點，以長為邊，向上作等邊，點M在直線上，取中點H，以為邊作等邊，連接，延長交直線于T，連接，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，取中點K，連接，則是的中位線，∴，由平行線的唯一性可知此時直線和直線重合，即點G與點K重合，∴點G為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴當最小時，最小，設直線交直線于N，則，∵，∴，∴，∴當T、E、P三點共線，且時，最小，即最小，如圖所示，過點M作交直線于Q，在中，，∴，，∴，，∴，∴的最小值為9，∴的最小值為，故答案為：．24．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習）如圖，中，，，以為邊，在上方作等邊分別為邊上的兩個動點，且．若，則的最小值為___________．

【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段最短，勾股定理等知識，解題的關鍵是添加合適的輔助線，構(gòu)造全等三角形求解．連接，過點B作，取，連接，證明，可求出，然后證明，得出，則，故當D、F、G三點共線時，取最小值，最小值為，過D作于H，先在中求出，，然后在中求解即可．【詳解】解：連接，過點B作，取，連接，∵，，∴，，又，，∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，又，∴，∴，，∴，又，∴，又，，∴，∴，∴，當D、F、G三點共線時，取最小值，最小值為，過D作于H，∴，∴，∴，∴，∴，即最小值為．故答案為：．25．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，點在上，且，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點的對應點為點．點為上一點，且滿足的長等于的一半．連接．當時，的長為________．

【答案】或【分析】首先利用含的直角三角形性質(zhì)及勾股定理求出，進而由題中條件得到三點共線，再由將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，分兩種情況：①在之間；②在延長線上，分類討論，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：在中，，設，則，由勾股定理可得，解得，，，，又的長等于的一半，，過作，如圖所示：

在中，利用等面積法，解得，，，與重合，連接，如圖所示：

三點共線，，將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點的對應點為點，分兩種情況：①在之間；②在延長線上（可取為），則，當點在線段之間時，，在中，，當點在線段的延長線上時，，在中，，綜上所述，的長為或，故答案為：或．三、解答題26．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市平江中學校校聯(lián)考期中）（1）【閱讀理解】如圖1，在中，，是斜邊上的中線，則與的數(shù)量關系為_；（2）【問題探究】如圖2，等腰中，，延長到E，以為斜邊，在的下方作等腰，，連接，點F是邊的中點，連接，若，，①試判斷的形狀；②求的面積．（3）【拓展延伸】如圖3，在等腰中，，點E在延長線上，點D在延長線上，以為斜邊，在的上方作等腰，，點F是邊的中點，連接，若，，試直接表示出的面積_（用含a、b的代數(shù)式表示）．【答案】（1）（2）等腰直角三角形，（3）【分析】（1）延長至點使，證明，進而證明，即可得出結(jié)論；（2）①延長至點，使，證明，進一步證明，進而得到，即可；②勾股定理求出的長，進而求出的長，勾股定理求出的長，求出的長，再用三角形的面積公式進行求解即可；（3）先證明為等腰直角三角形，勾股定理求出的長，進而求出的長，再用三角形的面積公式進行求解即可．【詳解】解：（1）延長至點使，連接，∵是斜邊上的中線，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；故答案為：；（2）由（1）可知：，延長至點使，連接，同（1）法可得：，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，∴，，∴，又，∴，∴，∵，∴，又，∴為等腰直角三角形；∵，，∴，∴，∴，∴的面積為；（3）∵，均為等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，∴；∵，為的中點，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴的面積為．27．（2024上·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標系中，在軸上有兩點、，在軸負半軸上有一點，，，以為頂點作等腰直角，點在第三象限，，.(1)填空：點的坐標為：___________；點的縱坐標為：___________；(2)如圖2，連接，，求的度數(shù)；(3)如圖3，過點作于點，交于點，點在上且，連接.①求證：；②直接寫出線段、、之間的數(shù)量關系為：___________.【答案】(1)，(2)(3)①證明見解析；②【分析】（1）本題根據(jù)，得出，推出，得到，，即可得到點的坐標，再作軸于點D，證明，利用全等的性質(zhì)即可解題．（2）本題根據(jù)題干得到為等腰直角三角形，得出，再利用等腰三角形性質(zhì)和三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)，即可解題．（3）①由題干的條件證明是等邊三角形，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角度的計算推出，最后結(jié)合，即可證明三角形全等．②連接，證明，根據(jù)全等的性質(zhì)，推出為等邊三角形，得到，再結(jié)合線段的和差，即可解題．【詳解】（1）解：作軸于點D，如圖所示：，∴∠BAO=∠ABO=90°，，，，，，，，，，，，，，，點的縱坐標為．故答案為：，．（2）解：，，，，，又，，，，，，．（3）解：①證明：，，是等邊三角形，，，，∵，，，，，，，在和中，．②，理由如下：連接，如圖所示：∵，，，，，，，，，，，，，為等邊三角形，，，，．故答案為：．28．（2023上·廣東佛山·八年級統(tǒng)考期末）綜合探究直觀感知和操作確認是幾何學習的重要方式，在中，，，.(1)尺規(guī)作圖：如圖1，在中，作的角平分線交于點（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)操作探究：在（1）的條件下，將沿著過點的直線折疊，使點落在三邊所在直線上（頂點除外），畫出示意圖；(3)遷移運用：①如圖2，若為邊的中點，為射線上一點，將沿著翻折得到，點的對應點為，當時，求的長；②如圖3，若點是邊的中點，是邊上一點，將沿折疊至，點的對應點為，連接、，求的面積的最大值.【答案】(1)見解析(2)見解析(3)①；②【分析】（1）以點為圓心，任意長度為半徑畫弧交、于、兩點，再分別以、為圓心，大于為半徑畫弧交于一點，作射線交于點；（2）分兩種情況：點落在邊上；點落在邊上；分別畫出圖形即可；（3）①由折疊的性質(zhì)可得，，，結(jié)合得出點、、在一條直線上，由點是邊的中點得出，由勾股定理得出，從而得到，設，則，由勾股定理得出，求解即可得出答案；②由勾股定理可得，由點是邊的中點，可得，，由折疊的性質(zhì)可得，，從而得出，設點到的距離為，則，當時，點到的距離最大，為，由此即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，即為所作，（2）解：如圖，作于，，∵平分，，，，，不是的中點，點不能落在邊上，當沿直線折疊時，此時點落在邊上，得到的圖形如圖所示，；當點落在邊上時，如圖所示：；（3）解：①如圖，，為射線上一點，，，將沿著翻折得到，點的對應點為，，，，，點、、在一條直線上，為邊的中點，，，，，設，則，由勾股定理可得：，，解得：，；②在中，，，，，點是邊的中點，，，將沿折疊至，，，，，設點到的距離為，則，，如圖，當時，點到的距離最大，為，，的面積的最大值為：．29．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，，，，延長至E，使，連接．(1)求證：；(2)求的面積；(3)點M，N分別是線段，上的動點，連接，求的最小值．【答案】(1)見詳解(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可得，，根據(jù)，可得，即有，問題得證；（2）過D點作于點G，利用含角的直角三角形的性質(zhì)可得，問題隨之解得；（3）將沿向下翻轉(zhuǎn)得到，再作N點關于的對稱點H，連接、、，根據(jù)對稱性有：，，，先證明、是等邊三角形，即有，結(jié)合圖形有：，當M點在上時，，此時有最小值，即可得，問題得解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）過D點作于點G，如圖，∵，，，∴在中，，∵在（1）中已求出，∴；（3）將沿向下翻轉(zhuǎn)得到，再作N點關于的對稱點H，連接、、，如圖所示，根據(jù)翻折可知：、關于軸對稱，∴N點關于的對稱點H在上，根據(jù)對稱性有：，，，∴，∴是等邊三角形，∵N點關于的對稱點是點H，∴垂直平分線段，∴，，∴是等邊三角形，∴，結(jié)合圖形有：，當M點在上時，，此時有最小值，∴，∵，，∴，∴，∴，即的最小值為．30．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）【問題情境】在數(shù)學活動課上，李老師給出如下的問題：如圖1，已知，，過點B作射線l，點E在的內(nèi)部，點A和點E關于l對稱，交l于點D，連接．證明：．【探究合作】同學們根據(jù)問題進行小組合作，下面是第一小組的同學分享的解題過程：小紅：除已知所給相等的邊和角之外，我們小組還推理得到；小鵬：從結(jié)論出發(fā)可以“截”較長的線段，本題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等的問題．如圖2，在上截取，再證明；小亮：要證明，觀察圖形選取“證明這兩條線段所在的三角形全等”的方法，如圖3，連接，以為目標構(gòu)造與之全等的三角形；小明：與小鵬的想法類似，但采用將結(jié)論中任一較短的線段“補”的方法．如圖4，延長到點G，使，連接，再確定一個三角形作為目標構(gòu)造與之全等的三角形證明．【推理證明】（1）請你推理出小紅的結(jié)論；（2）根據(jù)第一小組同學們的解題思路，任選一種方法證明．【反思提升】李老師：小鵬和小明利用“截長補短”的方法，將“求證一條線段等于兩條線段和的問題”轉(zhuǎn)化為“求兩條線段相等的問題”，這就將新問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題去解決，轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學學習中無處不在．請同學們反思后解決下面的問題：（3）如圖，，，點D是的角平分線上一動點，的垂直平分線交射線于E，求的最小值．【答案】（1）見解析；（2）證明見解析（3）的最小值是3【分析】（1）對稱的性質(zhì)得到，，，，，推出，設，等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，推出即可；（2）采用小明的方法：連接，易得是等邊三角形，證明是等邊三角形，推出，即可得出結(jié)論．（3）過點C作交BA于點H，交的平分線于點D，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線平分角，推出，進而得到，根據(jù)含30度角的直角三角形，得到，進而得到，進而得到當三點共線時，取得最小值為的長，進一步求出結(jié)果即可．【詳解】（1）∵A、E兩點關于l對稱∴，，，，，∵，∴，設，則∴∵，∴∵∴∴（2）連接．∵，，∴是等邊三角形，∴，，又∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）過點C作交BA于點H，交的平分線于點D，此時取得最小值；∵點E在的垂直平分線上∴．∴∵BD平分∴∴∴∴在中，∴∴當C、D、H三點共線時最短，此時在中，∴∴的最小值是3．31．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第一一三中學校校考期中）如圖（1），四邊形中，，平分．

(1)求證：．(2)如圖（2）的垂直平分線交于，交于，過作，交延長線于．求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，連接，若，，求的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)9【分析】（1）過點B作于，作延長線于點，證明，得出即可；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，證明，得出，證明，即可證明結(jié)論；（3）延長交于點，證明，求出，證明，得出，證明是的中位線，得出，，設，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，證明，得出，設，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，（舍），過點作于，設，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)三角形面積公式求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過點B作于，作延長線于點，如圖所示：∴∠AMB=∠N=90°，平分，，四邊形的內(nèi)角和為，且，，又，，在和中，，，；（2）解：垂直平分，，，∵，，，∴，，，，由（1）知，；（3）解：延長交于點，設，，，，∵BD平分，，，，，，，，，又，，，，，，，是的中位線，∴，，設，則，，在中，勾股得，，解得，∴，，在中，由勾股定理得：，在和中，，，，設，則，在中由勾股定理得：，在等腰中，由勾股定理得：，，，（舍），，，

過點作于，設，則，在和中，由勾股定理得：，，解得：，，．32．（2024上·江蘇南京·八年級校聯(lián)考期中）【概念認識】定義：如果一個點能與另外兩個點構(gòu)成直角三角形，則稱這個點為另外兩個點的勾股點．當這個點是直角的頂點時，這個點又稱為強勾股點．如圖①，在中，，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，是，兩點的勾股點，也是強勾股點．【概念運用】（1）如圖②，方格紙中的每個小正方形的邊長均為1，，兩點均在格點上，線段上的8個格點中，是，兩點的勾股點的有_____個．（2）如圖③，在中，，垂足為，若，，．求證：是，兩點的強勾股點．【拓展提升】（3）如圖④，在中，，，，是的中點，是射線上一個動點，當是任意兩個頂點的強勾股點時，直接寫出的長．【答案】（1）4；（2）證明見解析；（3）2，，，8．【分析】（1）根據(jù)新定義“勾股點”可得出答案；（2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，則可得出結(jié)論；（3）由新定義“強勾股點”畫出圖形，根據(jù)勾股定理可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，，，，四點與，能構(gòu)成四個直角三角形，圖中，兩點的勾股點的有4個，故答案為：4；（2）證明：．，在中，由勾股定理得：，．在中，由勾股定理得：，．在中，，又，，由勾股定理逆定理得：是直角三角形，點是，兩點的強勾股點；（3）解：若點是，兩個頂點的強勾股點時，且點在內(nèi)，如圖，為的中點，，，，，；若點是，兩個頂點的強勾股點時，如圖，，，；若點是，兩個頂點的強勾股點時，如圖，，，，設，，，，；若點是，兩個頂點的強勾股點時，且點在外，如圖，為的中點，，．綜上所述，的長為2，，，8．33．（2024上·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）【概念建構(gòu)】在中，，，直線經(jīng)過點A，于點D，于點E．如圖1，當直線在外部時，稱和是的“雙外弦三角形”，如圖2，當直線在內(nèi)部時，稱和是的“雙內(nèi)弦三角形”．依據(jù)“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的基本事實，我們得到“雙外弦三角形”和“雙內(nèi)弦三角形”都是全等三角形，即．

(1)【概念應用】①如圖3，在中，，于點M，，E是邊上的點，，，連接，，若，，求的長．小亮同學在閱讀與理解【概念建構(gòu)】的基礎上，作于點N，構(gòu)造出如圖4所示的“雙內(nèi)弦三角形”，并應用“雙內(nèi)弦三角形”是全等三角形的結(jié)論求出了．請你依照小亮的解題思路，寫出解答過程．②請你應用“雙內(nèi)弦三角形”和“雙外弦三角形”都是全等三角形的結(jié)論或者按照自己的解題思路解答下列問題．如圖5，在中，，，D是邊上一點，，，交于點N，延長，交于點F，猜想，，之間的數(shù)量關系，并說明理由：(2)【學以致用】如圖6，，和是等腰直角三角形，，，，求△ADE和的面積和．【答案】(1)①，②(2)3【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．（1）①先證明可得，，再求解，求解，再利用勾股定理可得結(jié)論；②如圖5，連接，過作交的延長線于，由“雙外弦三角形”的含義同理可得：，再證明，可得，結(jié)合，可得結(jié)論；（2）如圖6，過作交的延長線于，過作于，過作于，過作于，可得，，證明，，可得，，從而可得答案．【詳解】（1）解：①過D作于點N，于點M，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴；②如圖5，連接，過作交的延長線于，∴，∵，，由“雙外弦三角形”的含義同理可得：，∴，，

∵，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，而，∴；（2）如圖6，過作交的延長線于，過作于，過作于，過作于，則∵，∴由平行線間的距離處處相等可得：，∵，∴，∵和是等腰直角三角形，，由（1）同理可得：，，∴，，∴△ADE和的面積和為：．34．（2024上·遼寧本溪·八年級期末）如圖，分別以的兩邊為腰向外作等腰直角和等腰直角，其中．(1)如圖1，連接．若∠ACB=45°，AC=2，，求的長；(2)如圖2，M為的中點，連接，過點M作與的反向延長線交于點N，連接，試猜想之間有何等量關系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）由已知易得，則；在中由勾股定理即可求得，從而求得結(jié)果；（2）延長到G，使，分別連接；易證，則有∠BNM=∠CGM，可得；由（1）知，∠BEA=∠DCA，設交于點F，則可得，由平行可得，則由勾股定理及線段垂直平分線的性質(zhì)可得之間等量關系．【詳解】（1）解：∵和均是等腰直角三角形，，∴，∵，∴；在與中，，∴，∴；∵∠CAE=90°，∴，；∵，∴，在中，由勾股定理得；∴；（2）解：；證明如下：如圖，延長到G，使，分別連接；∵M為的中點，∴；∵∠BNM=∠CMG，，∴，∴∠BNM=∠CGM，∴；由（1）知，∴∠BEA=∠DCA；設交于點F，∵=∠BEA+∠AEC+∠FCE=∠DCA+∠AEC