【八年級下冊數(shù)學湘教版】第二章 四邊形（10類題型突破）

第二章四邊形（10類題型突破）題型一多邊形【例1】（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形的內(nèi)角和是，這個多邊形是（

）A．四邊形 B．六邊形 C．八邊形 D．十邊形【例2】（2023上·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形對角線的總條數(shù)為________．【例3】（2021·全國·八年級專題練習）（1）如圖1所示，_________；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為_________．【例4】（2023上·甘肅蘭州·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，作、的平分線交于點稱為第1次操作，作、的平分線交于點稱為第2次操作，作、的平分線交于點稱為第3次操作，……，則第4次操作后的度數(shù)是______．鞏固訓練：1．（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，則它的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（2024上·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學校?？计谀┮粋€正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰外角的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2024上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谀┮粋€正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每個內(nèi)角為________度．4．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_______．5．（2023上·廣西南寧·八年級校考期中）如圖，六角螺母的橫截面是正六邊形，則的度數(shù)為________．6．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）一個正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它是正________邊形．7．（2023上·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）一個正多邊形的每個外角為，那么這個正多邊形的內(nèi)角和是____________．8．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，則______________．9．（2020上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．10．（2017下·山東東營·七年級校考期中）如圖所示，________．11．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級?？茧A段練習）如圖，求________．

12．（2023上·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期中）在中，，點，分別是邊，上的點（不與，，重合），點是平面內(nèi)一動點（與，不在同一直線上）．令，，．(1)若點在邊上，如圖①所示，且，則______；(2)若點在的外部，如圖②所示，則，，之間有何關系？說明理由；(3)若點在的邊的延長線上，直接寫出，，之間的數(shù)量關系．題型二平行四邊形【例1】（2023上·山東淄博·八年級校考階段練習）如圖，過平行四邊形對角線的交點O，交于E，交于F，若平行四邊形的周長為36，，則四邊形的周長為（

）A．24 B．26 C．28 D．20【例2】（2023上·海南海口·八年級?？计谥校┤羝叫兴倪呅沃袃蓚€內(nèi)角的度數(shù)比為1∶3，則其中較大的內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需要補充下列條件中的（

）A． B． C． D．【例4】（2023下·浙江·八年級專題練習）如圖，的對角線、交于點O，平分交于點E，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓練1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則OB的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）有下列說法：①平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等；②平行四邊形的對角線互相平分；③平行四邊形的對角相等、鄰角互補；④平行四邊形的對角線相等．其中正確的說法有（

）A．4個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2023上·山東威?！ぐ四昙壭Ｂ?lián)考階段練習）如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（

）A．16 B．19 C．22 D．324．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十六中學?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．5．（2023下·四川德陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，E為邊延長線上一點，連結(jié)．若的面積為6，則的面積為（

）A．5 B．4 C．3 D．26．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第一一三中學校?？计谥校┎荒芘卸ㄒ粋€四邊形是平行四邊形的條件是（

）A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等7．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，四邊形是平行四邊形，為的中點，連接，將沿著所在的直線折疊，點剛好落在上的處，若，則的長為______．8．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于E，則的度數(shù)為_______．9．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，AB，CD是兩條相交的線段，O分別是它們的中點，當線段DC繞點O旋轉(zhuǎn)時（DC，AB不重合），連接AC，CB，BD，DA所得到的四邊形ACBD始終是________．理由是_________．10．（2024上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為______.11．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中校考期末）如圖，四邊形中，，為上一點，與交于點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．12．（2023上·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，在中，點E，F(xiàn)分別在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，，求的大小．13．（2023上·湖南岳陽·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在四邊形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長、，分別交于點H，交于點G，若，．求證：四邊形為平行四邊形；14．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點，作交射線于點，交于點．若，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關系．15．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．16．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，，，，點從出發(fā)以的速度向運動，點從點出發(fā)，以的速度向點運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t．若是上一點，且，t取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？17．（2023上·山東淄博·八年級周村二中?？茧A段練習）如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的面積．題型三中心對稱和中心對稱圖形【例1】（2023上·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期中）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024上·廣東深圳·八年級深圳外國語學校?？计谀┌四昙壞硵?shù)學興趣小組在一次綜合實踐活動中，為研究中心對稱圖形的性質(zhì)，對于已知以及外的一點，分別作，，關于的對稱點，，，得到．如圖，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A．點與點是對稱點 B．C． D．【例3】（2023上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將置于平面直角坐標系中，三角形所有頂點都在格點上，畫出以原點O為對稱中心，與成中心對稱的，并寫出點，，的坐標．

鞏固訓練1．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┘艏埼幕侵袊罟爬系拿耖g藝術之一，下列剪紙圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2023上·上海浦東新·七年級校聯(lián)考期末）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2024上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2024上·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，與關于點C成中心對稱，則的長是____5．（2024上·廣東珠?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，三個頂點都在格點上，，，．(1)請在圖中畫出，使它和關于原點O對稱，點A，B，C的對應點分別為，，；(2)的坐標為______．6．（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，正三角形網(wǎng)格中，已知兩個小正三角形被涂黑．(1)再將圖①中其余小三角形涂黑一個，使整個被涂黑的圖案構成一個軸對稱圖形(畫出兩種不同的涂法)；(2)再將圖②中其余小三角形涂黑兩個，使整個被涂黑的圖案構成一個中心對稱圖形．題型四三角形的中位線【例1】（2023上·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的中，點D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長為（

）A．10 B．12 C．18 D．20【例2】（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，點，分別是邊，的中點若的面積等于，則三角形的面積等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【例3】（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，D，E分別是的中點，，F(xiàn)是線段上一點，連接，．若，則的長度是__________．【例4】（2021上·北京順義·九年級北京市順義區(qū)第一中學校考階段練習）如圖，是邊長為1的等邊三角形，取邊的中點E，作交于點D，交于點F，得到四邊形，它的面積記作；取邊的中點E1，作交于，交于點得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則的值為_____________．

鞏固訓練1．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，分別為邊的中點，則四邊形的周長為（

）A．8 B．9 C．12 D．132．（重慶市萬州區(qū)2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，是的中位線，的角平分線交于點，若，，則的長為______．3．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點．若△ABC的周長為10，則△DEF的周長為________．4．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級?？奸_學考試）如圖，點D、E、F分別是的、、的中點，若的周長為14，則的周長為______．

5．（2023下·浙江·八年級校聯(lián)考期中）如圖，是的中線，，分別是，的中點，連結(jié)．若，則的長為______．6．（2023上·山東煙臺·八年級?？计谀┤鐖D，中，平分，交于點E，平分，交于點F，交于點O，點G，H分別是和的中點，則的長為_____．7．（2019下·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，對角線相交于點O，，點E，F(xiàn)分別是的中點，連接于點交于點N，若，則線段的長為_______________．8．（2023上·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到，的中點D，E，并且測出的長為，則A，B間的距離為______．9．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在等邊三角形中，分別是邊的中點，過點作，交的延長線于點，則______．10．（2023上·四川達州·九年級四川省渠縣中學?？计谀┤鐖D，中，，，取BC邊中點E，作，，得到四邊形，它的面積記作；取BE中點，作，，得到四邊形，它的面積記作，照此規(guī)律作下去，則______．11．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，邊上的高，E、F分別、的中點．(1)求四邊形的面積；(2)若，求四邊形的周長．題型五矩形【例1】（2023上·山東菏澤·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖，將矩形紙片沿折疊，得到，與交于點．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，在長方形中，，對角線，平分交于點，是線段上的點，連接，過點作交的延長線于點，當為等腰三角形時，（）A．4 B．5 C．6 D．7【例3】（2023上·全國·九年級期末）如圖，在矩形中，，，點在上，于，于，則等于（）A． B． C． D．【例4】（2023上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是平行四邊形，點在邊的延長線上，且，，，相交于點O，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．鞏固訓練：1．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，對角線交于點O，過點O作交于點E，交于點F．已知，的面積為5，則的長為（）A．2 B． C． D．32．（2023上·陜西西安·八年級校考期中）長方形ABCD中，，，將其沿折疊，點A，B分別落到點與點處，恰好點C在上，且，則線段的長度為（

）A．5 B． C． D．3．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）判斷一個門框是否是矩形，可用的方法是（

）A．測量兩組對邊是否相等 B．檢查門框的三個角是否是直角C．測量兩條對角線是否互相平分 D．測量兩條對角線是否互相垂直平分4．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，要使成為矩形，需添加的條件是（

）A． B． C． D．5．（2023上·遼寧沈陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，對角線相交于點于點E．若，則的長為（

）A．1 B． C． D．46．（2024上·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點、，直線分別交、于點、.若，，則四邊形面積是（

）A．20 B．16 C．12 D．247．（2023上·四川達州·九年級開江縣任市中學?？计谀┤鐖D，已知矩形邊上有一點，且，是線段上的一點（不與點、重合），是線段延長線上的一點，且，連結(jié)交于點，過點作于點，若，，則線段的長是________．8．（2017下·江蘇無錫·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，對角線，相交于點O，垂直平分于點，則的長為___________．9．（2024上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中校考期末）如圖，在矩形中，，，對角線的中垂線交于點，交于點，則的長為________．

10．（2023下·重慶·八年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形紙片的對角線，相交于點，，將矩形紙片翻折，使點恰好落在點處，折痕為，點在邊上，則的長為_____．

11．（2023上·山東臨沂·九年級?？茧A段練習）如圖，點E在矩形的邊上，將沿翻折，點A恰好落在邊上的點F處，若，，則的長為_________．

12．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，木工師傅要做一個矩形木框，做好以后測量得長，寬．若對角線的長為，則這個木框______（填“合格”或“不合格”），判定的依據(jù)是________________________．13．（2024上·山東淄博·九年級校聯(lián)考期末）已知矩形（如圖1）的一邊和對角線分別與矩形的對角線及邊重合，連接，取的中點，連接，試探索解決下列問題：

(1)求證：；(2)如圖2，若將（1）中的矩形繞點旋轉(zhuǎn)一定的角度，其它條件不變，你認為（1）中的結(jié)論是否成立？若成立請證明；若不成立，請說明理由．14．（2024上·湖南邵陽·九年級統(tǒng)考期末）【動手操作】將一張矩形紙片按下圖操作：步驟一：如圖①，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕．步驟二：如圖②，是上一動點，沿折疊紙片，使點落在上點處，的對應點為，連接，．請完成：（1）試猜想的形狀，并予以證明；【類比操作】步驟三：如圖③，將矩形紙片對折，使與重合，展平紙片，得到折痕，沿折疊紙片，使點落在上點處，的對應點為，連接，，并延長交于點．（2）請說明：．15．（2023上·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖，的對角線相交于點，且．(1)求證：四邊形是矩形；(2)點在上，連接，若，求的面積．16．（2023下·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，在平行四邊形中，對角線，相交于點O，，點E是的中點，過點E作，交于點F．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求四邊形的面積．17．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，，是的平分線，是外角的平分線，，垂足為點E．(1)求證：四邊形為矩形；(2)若，求的長．18．（2023上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點是邊的中點，過點作直線，的平分線和外角的平分線分別交于點，．(1)求證：四邊形是矩形：(2)若，，求四邊形的面積．題型六菱形【例1】（2023上·廣東佛山·九年級統(tǒng)考期末）已知菱形的邊長為，它的一條對角線長為，則該菱形的面積為（

）A． B． C． D．【例2】（2023上·寧夏銀川·九年級銀川唐徠回民中學校考期中）如圖，在菱形中，，，，分別是，的中點，，相交于點，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例3】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）如圖，中，點為對角線的中點，過點且分別交，于點，．連接，．

(1)求證：；(2)求證：若平分，四邊形為菱形．鞏固訓練1．（2024·重慶大渡口·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線交于點，若菱形的面積是，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024上·遼寧丹東·九年級統(tǒng)考期末）菱形的對角線長分別為，則此菱形的周長為（

）A． B． C． D．3．（2024上·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，P為菱形的對角線上的一定點，Q為邊上的一個動點，的垂直平分線分別交，于點E，G，，若的最小值為2，則的長為________．4．（2023上·甘肅白銀·九年級統(tǒng)考階段練習）已知一個菱形的邊長為2，一條對角線長為，則這個菱形的面積是_______．5．（2024上·廣東江門·九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是菱形，O是兩條對角線的交點，過點O的三條直線將菱形分成陰影部分和空白部分，若菱形的兩條對角線長分別為和，求陰影部分的面積為______．6．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在菱形中，是對角線上的兩點，且．(1)求證：；(2)證明四邊形是菱形．7．（2024上·陜西榆林·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，分別是邊、上的點，，連接，交于點．求證：．8．（2023上·福建三明·九年級統(tǒng)考期末）如圖，中，分別為的中點，連接．(1)尺規(guī)作圖：在的延長線上確定點，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若，求證：四邊形為菱形．9．（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形中，點在直線上，過作的平行線交直線于點，交直線于點．(1)【舉例感知】如圖1，當點在線段上時，求證：；(2)【類比探究】①當點在延長線上時，直接寫出三條線段之間的數(shù)量關系．②當點在延長線上時，直接寫出三條線段之間的數(shù)量關系．10．（2024上·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，兩條對角線交于點O，且平分．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求四邊形的周長．11．（2023上·四川達州·九年級?？计谀┤鐖D，在中，D、E分別是、的中點，，延長DE到點F，使得，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．題型七正方形【例1】（2023上·江蘇蘇州·八年級校考期中）將三個大小不同的正方形如圖放置，頂點處兩兩相接，若正方形A的邊長為5，正方形的邊長為3，則正方形的面積為（

）A．16 B．25 C．30 D．34【例2】（2024上·四川南充·九年級統(tǒng)考期末）如圖，把正方形的邊繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段．射線與邊交于，則大小為（

）A． B． C． D．【例3】（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第一一三中學校校考期中）如圖，邊長為的正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，則兩個正方形重疊部分的面積是（

）A．8 B．4 C．6 D．2【例4】（2023上·河北張家口·九年級統(tǒng)考期末）【方法前置】作圖形旋轉(zhuǎn)是解決幾何問題的重要方法，如圖①，正方形中，、分別在邊、上，且，連接，求證：．可將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置（容易得出點在的延長線上），進一步證明與全等．親愛的同學們，你想好了嗎？試著看下面的問題情境吧．【問題情景】如圖②，正方形是綠地公園的一塊空地，其邊長為60米．公園設計部門為了給兒童提供更舒適更安全的活動場地，準備將空地中的四邊形（在上，在上）部分作為兒童活動區(qū)，并用圍欄圍擋起來，只留三個出人口，即點、點、點，而且根據(jù)實際需要，要使得，并將兒童活動區(qū)（即四邊形）劃分為和兩種不同的游戲場地，兒童活動區(qū)之外的部分種植花草．（1）【模型感知】請參考【方法前置】的思路在圖②中證明．（2）【模型應用】如圖②，若，請你計算兒童活動區(qū)的面積；（3）【模型拓展】如圖③，連接，若，與線段分別交于點、點，，請直接寫出、和之間的數(shù)量關系．鞏固訓練1．（2016上·江蘇揚州·八年級階段練習）如圖，已知1號、4號兩個正方形的面積和為7，2號、3號兩個正方形的面積和為4，則a，c這2個方形的面積和為（）

A．10 B．15 C．22 D．122．（2023上·河南鄭州·九年級?？计谥校┤鐖D，正方形的對角線相交于點，以為頂點的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長，則的大小為_____．3．（2023上·山東淄博·八年級周村二中?？茧A段練習）如圖，在正方形的外側(cè)作等邊，則______度．4．（2023上·山東·九年級專題練習）如圖，正方形的頂點O與正方形的對角線交點O重合，正方形和正方形的邊長都是，則圖中重疊部分的面積是____．5．（2023上·山西呂梁·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐【問題情境】如圖1，正方形中，點E為其內(nèi)一點，以點E為直角頂點，以為斜邊構造直角三角形，使得，將繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△（點A的對應點為C），延長交于點F，連接．【解決問題】請根據(jù)圖1完成下列問題：（1）若，則∠=_度；（2）試判斷四邊形的形狀，并給予證明；【拓展探究】（3）如圖2，若，請寫出線段與的數(shù)量關系，并說明理由．6．（2024上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，正方形的對角線與相交于點，點為邊的中點，連接，若，則正方形的邊長為_______；【問題探究】（2）如圖②，在正方形中，點是邊上一點，且點不與、重合，過點作的垂線交延長線于點，連接，試判斷的形狀，并說明理由；【問題解決】（3）如圖③，四邊形是某果園的平面示意圖，該果園共有、、、、五個出口，其中出口在邊上，已知．米，米，米，，、為果園內(nèi)兩條小路，現(xiàn)在的中點處修建一個臨時庫房，沿修一條運輸通道．試求該運輸通道的長度．7．（2024上·湖南衡陽·七年級?？计谀┧倪呅问钦叫?，旋轉(zhuǎn)一定角度后得到，如圖所示，如果，，．求：

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；(2)求的長度和的度數(shù)．8．（2023上·遼寧葫蘆島·九年級統(tǒng)考期中）已知正方形和（點C，D，E在直線同側(cè)），把繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知，延長交于點G．(1)如圖1，若點E在正方形邊上（），則與的位置關系是________．(2)如圖2，若點E在正方形內(nèi)部（，）．①（1）的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由．②若，，請直接寫出線段的長．9．（2023上·山東濟寧·九年級統(tǒng)考期中）閱讀與理解圖1是邊長分別為m和的兩個正方形紙片和疊放在一起的圖形（點F，G分別在，上）．(1)操作與證明①將圖1中的正方形固定，將正方形繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接，，如圖2所示．猜想：線段與之間的大小關系，并證明你的猜想；②若將圖1中的正方形繞點C按順時針方向任意旋轉(zhuǎn)一個角度，連接，，如圖3所示．那么（1）中的結(jié)論還是否成立嗎？請說明理由．(2)操作與發(fā)現(xiàn)根據(jù)上面的操作過程發(fā)現(xiàn)，當為________度時，線段的最大值是________；當為________度時，線段的最小值是________？10．（2023上·甘肅隴南·九年級?？茧A段練習）已知：如圖，正方形，連接，E是延長線上一點，，連接交于點F．(1)求的度數(shù)；(2)若，求點F到的距離．11．（2023上·全國·九年級期末）如圖，操作：把正方形的對角線放在正方形的邊的延長線上（），取線段的中點．探究：線段、的關系，并加以證明．

(1)說明：如果你經(jīng)歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；(2)在你經(jīng)歷說明（1）的過程后，可以從下列①、②、③中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分；選?、弁瓿勺C明得5分．①的延長線交于點，且；②將正方形繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（如圖），其他條件不變；③在②的條件下，且．附加題：將正方形繞點旋轉(zhuǎn)任意角度后（如圖），其他條件不變．探究：線段、的關系，并加以證明．題型八中點四邊形【例1】（2023下·上海浦東新·八年級?？计谀┫铝忻}中，真命題是（

）A．順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形B．順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形D．順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形【例2】（2023上·江西九江·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在四邊形中，對角線，垂足為O，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點，若，，則四邊形的面積為______．

【例3】（2023下·四川南充·八年級?？计谥校┤鐖D，已知矩形的面積為1．分別為的中點，若四邊形的面積為，分別為的中點，四邊形的面積記為，…，依此類推，第n個四邊形的面積記為，則___________．

鞏固訓練1．（2023上·寧夏中衛(wèi)·九年級?？计谥校┤羲倪呅蝺蓷l對角線互相垂直，則順次連接其各邊中點得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．平行四邊形2．（2023上·甘肅酒泉·九年級校聯(lián)考階段練習）若順次連接平行四邊形四邊的中點，得到的圖形是一個矩形，則平行四邊形一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形3．（2023上·山東棗莊·九年級校聯(lián)考階段練習）順次連結(jié)某四邊形的中點所得的圖形是菱形，則這個某四邊形一定是（

）A．正方形 B．矩形C．對角線相等的四邊形 D．平行四邊形4．（2023下·湖北襄陽·八年級?？计谥校╉槾芜B接矩形的中點所得的四邊形是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形5．（2023上·四川遂寧·九年級射洪中學?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，點、F、G、H分別為各邊的中點，點A到C的距離、點B到的距離都等于，則四邊形的周長是________．6．（2023上·河南鄭州·九年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，點、分別是線段、的中點，、分別是線段、的中點，當四邊形的邊滿足__________時，四邊形是菱形．7．（2023上·廣東揭陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點、、、分別是四邊形邊、、、的中點，若四邊形是菱形，則四邊形的對角線和需要滿足的條件是______．8．（2023下·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，E、F分別是、的中點，G、H分別是、的中點．

(1)請判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)四邊形滿足什么條件時，四邊形是菱形，請說明理由．(3)四邊形滿足什么條件時，四邊形是矩形，請說明理由．9．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第四十七中學校考開學考試）閱讀與思考下面是一位同學的數(shù)學學習筆記，請仔細閱讀并完成相應任務，瓦里尼翁平行四邊形我們知道，如圖1，在四邊形中，點、、，分別是邊、，，的中點，順次連接，、、，得到的四邊形是平行四邊形．我查閱了許多資料，得知這個平行四邊形被稱為瓦里尼翁平行四邊形．瓦里尼翁（Varingnon，Pierte1654-1722）是法國數(shù)學家、力學家．瓦里尼翁平行四邊形與原四邊形關系密切．①當原四邊形的對角線滿足一定關系時，瓦里尼翁平行四邊形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四邊形的周長與原四邊形對角線的長度也有一定關系．③瓦里尼翁平行四邊形的面積等于原四邊形面積的一半．此結(jié)論可借助圖1證明如下：證明：如圖2，連接，分別交，于點、，過點作于點，交于點∵、分別為，的中點，∴，．（依據(jù)1）∴，∵，∴．∵四邊形是瓦里尼翁平行四邊形，∴，即．∵，即，∴四邊形是平行四邊形，（依據(jù)2）．∴，∵，∴．同理，…

任務：(1)填空：材料中的依據(jù)1是指：________．依據(jù)2是指：________．(2)如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1，畫一個四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形，滿足下列要求：①四邊形及它的瓦里尼翁平行四邊形的頂點都在小正方形網(wǎng)格的格點的上；

②四邊形是矩形，不是正方形．(3)在圖1中，分別連接，得到圖3，請猜想瓦里尼翁平行四邊形的周長與對角線、長度的關系，并證明你的結(jié)論．

10．（2023下·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，對角線，，且，垂足為O，順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形；再順次連接四邊形各邊的中點，得到四邊形，…如此下去得到四邊形．(1)判斷四邊形的形狀，并說明理由．(2)求四邊形的面積．(3)直接寫出四邊形的面積（用含n的式子表示）．題型九動點問題【例1】（2023上·全國·九年級專題練習）如圖，在長方形中，已知，，點P以的速度由點B向點C運動，同時點Q以的速度由點C向點D運動，若某時刻以A、B、P為頂點的三角形和以P、C、Q為頂點的三角形全等，則a的值為（

）A．2 B．3 C．2或 D．2或【例2】（2022下·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，對角線相交于點，點在上，，，，點是的中點，若點以的速度從點出發(fā)，沿向點運動，點同時以的速度從點出發(fā)，沿向點運動，點運動到點時停止運動，點也同時停止運動，當點運動___________時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形．【例3】（2022下·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是直角梯形，，，，點P從B點開始，沿邊向點A以的速度移動，點Q從D點開始，沿DC邊向點C以的速度移動，如果P、Q分別從B、D同時出發(fā)，P、Q有一點到達終點時運動停止，設移動時間為t．(1)t為__________時四邊形是平行四邊形；(2)t為何值時四邊形是矩形？(3)t為__________時四邊形是等腰梯形．鞏固訓練1．（2023上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，為中點，，，．動點從點出發(fā)，沿以每秒1個單位的速度向終點運動．連結(jié)，過點作，且，連結(jié)，點和點始終在直線的同側(cè)．設運動的時間為秒．(1)當點沿運動時，求的長（用含的代數(shù)式表示）．(2)當點落在邊上時，求的值．(3)連結(jié)，當與平行四邊形的邊平行時，直接寫出的值．2．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，邊上的高為8．點從點出發(fā)，沿以每秒5個單位長度的速度運動．點從點出發(fā)沿以每秒8個單位長度的速度運動．、兩點同時出發(fā)，當其中一點到達終點時，、兩點同時停止運動．設點運動的時間為（秒），連結(jié)．(1)直接寫出點與點重合時的值．(2)當點沿運動時，求的長（用含的代數(shù)式表示）．(3)當時，求的值．(4)當時，直接寫出的值．3．（2022上·山西運城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，點從點出發(fā)沿方向以秒的速度向點勻速運動，同時點從點出發(fā)沿方向以秒的速度向點勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設點，運動的時間是秒．過點作于點，連接，．(1)四邊形能構成菱形嗎？如果能，求出相應的t值；如果不能；(2)當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．4．（2023上·山西運城·九年級統(tǒng)考期中）綜合與探究如圖，在矩形中，，點分別從點出發(fā)，沿，方向在矩形的邊上同時運動，當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，所有點停止運動．在相同時間內(nèi)，若，則．

(1)當運動停止時，的值為______．(2)當為何值時，點重合？(3)當為何值時，以為頂點的四邊形是平行四邊形？5．（2023上·廣東河源·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形中，，點P從點A出發(fā)沿向點B移動（不與點A、B重合），一直到達點B為止；同時，點Q從點C出發(fā)沿向點D移動（不與點C、D重合）．運動時間設為t秒．

(1)若點P、Q均以的速度移動，則：_；_．（用含t的代數(shù)式表示）(2)若點P為的速度移動，點Q以的速度移動，經(jīng)過多長時間，使為等腰三角形？(3)若點P、Q均以的速度移動，經(jīng)過多長時間，四邊形為菱形．6．（2023上·陜西渭南·九年級?？茧A段練習）如圖，在直角梯形中，，，，，．動點P從點D出發(fā)，沿射線的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動．設運動的時間為t（秒）．

(1)當時，求的面積；(2)當t為何值時，以A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？(3)（2）中的平行四邊形會不會是菱形？若能，請說明理由，若不能，當Q速度不變，求出P點速度？7．（2023下·吉林·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，，動點P從點A出發(fā)沿以速度向終點D運動，同時點Q從點C出發(fā)，以速度沿射線運動，當點P到達終點時，點Q也隨之停止運動，設點P運動的時間為t秒（）．

(1)的長為______；(2)用含的代數(shù)式表示線段的長；(3)連接，①是否存在t的值，使得與互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；②是否存在的值，使得與互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(4)若點P關于直線對稱的點恰好落在直線上，請直接寫出的值．8．（2017上·江蘇鹽城·九年級階段練習）如圖，在矩形中，，，動點P、Q分別以，的速度從點A，C同時出發(fā)，沿規(guī)定路線移動．

(1)若點P從點A移動到點B停止，點Q隨點P的停止而停止移動，問經(jīng)過多長時間P，Q兩點之間的距離是？(2)若點P沿著移動，點Q從點C移動到點D停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，試探求經(jīng)過多長時間的面積為？9．（2023上·福建南平·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，，，動點P從點B出發(fā)，沿射線的方向以每秒的速度運動，動點Q從點A出發(fā)，在線段上以每秒的速度向點D運動，點P，Q分別從點B，A同時出發(fā)，當點Q運動到點D時，點P隨之停止運動，設運動的時間t（秒）．(1)則___________，___________（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當t為何值時，以C，D，Q，P為頂點的四邊形面積等于？10．（2023上·廣東佛山·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在四邊形中，，，，，．點P從點A出發(fā)，以的速度向點B運動；點Q從點C出發(fā)，以的速度向點D運動．規(guī)定其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設點Q的運動時間為．P，Q兩點同時出發(fā)．

(1)若存在某一時刻，四邊形為正方形，求x的值；(2)當時，若，求t的值．11．（2023上·山東青島·九年級校考階段練習）如圖，在菱形中，，，點．同時從、兩點出發(fā)，分別沿、方向向點勻速移動（到點停止），點的速度為，點的速度為．(1)經(jīng)過多少秒為等邊三角形？(2)經(jīng)過多少秒四邊形的面積為．12．（2022下·福建龍巖·八年級?？计谥校┤鐖D所示，在，在中，，，，點D從點C出發(fā)沿方向以每秒2個單位的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿方向以每秒1個單位的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設點運動的時間t秒，過點D作于點F，連接、．

(1)求證：．(2)四邊形能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應的值，如果不能，請說明理由．題型十最值問題【例1】（2023下·湖南湘西·八年級校聯(lián)考期中）如上圖所示，矩形，，，點是邊上的一個動點，點是對角線上一個動點，連接，，則的最小值是（

）

A．6 B． C．12 D．【例2】（2023上·河南平頂山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在菱形中，，，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連接，在移動的過程中，的最小值為______．

【例3】（2022上·陜西咸陽·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長是12，分別是上的點，已知，，求周長的最小值___________．

【例4】（2023下·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖1，已知為等腰直角三角形，，點D是的中點，作正方形，使點，分別在邊和上，連接，．

(1)探索線段與的數(shù)量關系，直接寫出你的結(jié)論______；(2)將正方形繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度（旋轉(zhuǎn)角大于，小于或等于）時（如圖2），（1）的結(jié)論是否仍然成立？說明理由；(3)已知，，在（2）的旋轉(zhuǎn)過程中，當為最大值時，求的值．鞏固訓練1．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考三模）如圖所示，正方形的邊長為2，點為邊的中點，點在對角線上移動，則周長的最小值是（

）

A． B． C． D．2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F(xiàn)是AD邊上的動點，且EF=2，則四邊形BEFC周長的最小值為__________．3．（2022上·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考階段練習）正方形中，點在上，，，點在上，的最小值_____．

4．（2021上·陜西榆林·九年級?？茧A段練習）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C，，，以為對角線作正方形，連接，則的最大值是___________．

5．（2021上·廣東韶關·九年級?？计谥校┤鐖D，在邊長為6的正方形中，若，分別是，邊上的動點，，與交于點，連接．則的最小值為___________．

6．（2023下·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，正方形的邊長為5，E為與點D不重合的動點，以為一邊作正方形，連接、，當?shù)闹底钚r________．7．（2023下·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，，，點E在上且．點G為的中點，點P為邊上的一個動點，F(xiàn)為的中點，則的最小值為________．8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）平行四邊形中，點E在邊上，連，點F在線段上，連，連．(1)如圖1，已知，點E為中點，．若，求的長度；(2)如圖2，已知，將射線沿翻折交于H，過點C作交于點G．若，求證：；(3)如圖3，已知，若，直接寫出的最小值．9．（2023下·廣東廣州·八年級廣州市第二中學?？计谥校┤鐖D，正方形中，點P是線段上的動點．(1)當交于E時，①如圖1，求證：．②如圖2，連接交于點O，交于點F，試探究線段、、之間用等號連接的數(shù)量關系，并說明理由；(2)如圖3，已知M為的中點，為對角線上一條定長線段，若正方形邊長為4，隨著P的運動，的最小值為，求線段的長．

第二章四邊形（10類題型突破）答案全解全析題型一多邊形【例1】（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形的內(nèi)角和是，這個多邊形是（

）A．四邊形 B．六邊形 C．八邊形 D．十邊形【答案】C【分析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算多邊形的邊數(shù)，解答的關鍵是要會根據(jù)公式進行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理，利用多邊形的內(nèi)角和公式，列出方程求解即可．【詳解】解：設所求多邊形的邊數(shù)為，∴，解得：，故選：C．【例2】（2023上·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）一個多邊形的每一個外角都等于，則這個多邊形對角線的總條數(shù)為________．【答案】【分析】本題考查多邊形的外角和以及對角線的條數(shù)．熟練掌握多邊形的外角和和對角線條數(shù)的計算方法是解題的關鍵．根據(jù)多邊形的外角和為，求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)一個多邊形有條對角線，進行計算即可．【詳解】解：設該多邊形有條邊，多邊形的外角和為，多邊形的每一個外角都等于，，該多邊形的對角線的數(shù)量為：（條），故答案為：．【例3】（2021·全國·八年級專題練習）（1）如圖1所示，_________；（2）如果把圖1稱為二環(huán)三角形，它的內(nèi)角和為；圖2稱為二環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和為，則二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為__________；二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為_________．【答案】360°720°1080°【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)對頂角和三角形內(nèi)角和的知識，得，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）連接，交于點M，根據(jù)三角形內(nèi)角和和對頂角的知識，得；結(jié)合五邊形內(nèi)角和性質(zhì)，得；結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，連接AD，交于點M∵，，∴；故答案為：360°（2）如圖，連接，交于點M∴，∵∴∴∵∴∴∴二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∵二環(huán)三角形的內(nèi)角和為：二環(huán)四邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)五邊形的內(nèi)角和為：∴二環(huán)n邊形的內(nèi)角和為：故答案為：，，．【例4】（2023上·甘肅蘭州·八年級?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，作、的平分線交于點稱為第1次操作，作、的平分線交于點稱為第2次操作，作、的平分線交于點稱為第3次操作，……，則第4次操作后的度數(shù)是______．

【答案】【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角與外角以及角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是找出操作的變化規(guī)律，得到與之間的關系．先根據(jù)、的平分線交于點，得出，再根據(jù)、的平分線交于點，得出，以此類推，得出再進行計算即可，再進行計算即可．【詳解】解：∵在四邊形中，，∴，∵、的平分線交于，∴，，∴，∵、的平分線交于點，∴，，∴，同理，∴∴，故答案為：．鞏固訓練：1．（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）正多邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為，則它的邊數(shù)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，根據(jù)相鄰的內(nèi)角與外角互為鄰補角求出每一個外角的度數(shù)為，再用外角和除以，計算即可得解．【詳解】解：正多邊形的每個內(nèi)角等于，每一個外角的度數(shù)為，邊數(shù)，故選：C．2．（2024上·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學校?？计谀┮粋€正多邊形，它的每個內(nèi)角是與其相鄰外角的倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角的關系，先根據(jù)一個正多邊形的內(nèi)角和外角互補關系列方程求出正多邊形的外角，再根據(jù)多邊形的外角和等于即可求出正多邊形的邊數(shù)，掌握多邊形的外角和等于是解題的關鍵．【詳解】解：設正多邊形的每個外角為，則每個內(nèi)角為，依題意得，，解得，∴正多邊形的每個外角為，∴這個多邊形的邊數(shù)為，故選：．3．（2024上·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谀┮粋€正多邊形的內(nèi)角和為，則這個正多邊形的每個內(nèi)角為________度．【答案】120【分析】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和正多邊形，首先設此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：，即可求得，再由多邊形的內(nèi)角和除以9，即可求得答案．【詳解】解：設此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：，解得：，∴這個正多邊形的每一個內(nèi)角等于：．故答案為：120．4．（2021·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為_______．【答案】/1800度【分析】本題考查了多邊形的外角和的求法．根據(jù)多邊形的公式解答即可．【詳解】解：十二邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為：故答案為：．5．（2023上·廣西南寧·八年級校考期中）如圖，六角螺母的橫截面是正六邊形，則的度數(shù)為________．【答案】/60度【分析】根據(jù)正多邊形的外角相等，結(jié)合外角和為，求解即可．掌握正多邊形的每個外角都相等，是解題的關鍵．【詳解】解：∵正六邊形的每個外角都相等，∴；故答案為：．6．（2023上·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）一個正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它是正________邊形．【答案】十二【分析】本題考查了正多邊形的定義，多邊形的外角定理等知識．先求出正多邊形的每個外角為，進而得到正多邊形的邊數(shù)為12，問題得解．【詳解】解：∵正多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之比是，∴這個正多邊形的每個外角為，∴這個正多邊形的邊數(shù)為，即它是正十二邊形．故答案為：十二7．（2023上·湖北咸寧·八年級統(tǒng)考期末）一個正多邊形的每個外角為，那么這個正多邊形的內(nèi)角和是____________．【答案】/540度【分析】本題考查正多邊形的內(nèi)角和和外角和的綜合，先利用正多邊形的外角和為求得邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求解即可．【詳解】解：∵正多邊形的每個外角為，∴這個正多邊形的邊數(shù)為，∴這個正多邊形的內(nèi)角和為，故答案為：．8．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）將等邊三角形、正方形、正五邊形按如圖所示的位置擺放，則________________．【答案】9．（2020上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）如圖1六邊形的內(nèi)角和為度，如圖2六邊形的內(nèi)角和為度，則________．【答案】0【分析】將兩個六邊形分別進行拆分，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和計算即可得出答案.【詳解】如圖1所示，將原六邊形分成了兩個三角形和一個四邊形，∴=180°×2+360°=720°如圖2所示，將原六邊形分成了四個三角形∴=180°×4=720°∴m-n=0故答案為0.10．（2017下·山東東營·七年級?？计谥校┤鐖D所示，________．

【答案】360【分析】如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得、，進而得到，最后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和即可解答．將所求角的和轉(zhuǎn)化為四邊形的內(nèi)角和是解題的關鍵．【詳解】解：如圖：根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得、，則．故答案為360．

11．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級?？茧A段練習）如圖，求=________．

【答案】【分析】連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可證得，進而根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，設交于點

在和中，，，．12．（2023上·廣西賀州·八年級統(tǒng)考期中）在中，，點，分別是邊，上的點（不與，，重合），點是平面內(nèi)一動點（與，不在同一直線上）．令，，．(1)若點在邊上，如圖①所示，且，則______；(2)若點在的外部，如圖②所示，則，，之間有何關系？說明理由；(3)若點在的邊的延長線上，直接寫出，，之間的數(shù)量關系．【答案】(1)120(2)(3)或【分析】本題主要考查三角形外角定理、四邊形內(nèi)角和和對頂角相等，利用三角形外角定理和四邊形內(nèi)角和，即可求得答案；利用三角形外角定理和對頂角相等即可求得答案；分兩種情況，根據(jù)點P離點A的遠近可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，則；（3）如圖，當直線在直線下面時，∵，，，∴，∴,；如圖，當直線在直線上面時，∵，，，，∴，∴；故或．題型二平行四邊形【例1】（2023上·山東淄博·八年級?？茧A段練習）如圖，過平行四邊形對角線的交點O，交于E，交于F，若平行四邊形的周長為36，，則四邊形的周長為（

）A．24 B．26 C．28 D．20【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握這些知識點是解題的關鍵．先利用證明，從而得，，再求得平行四邊形周長的一半為多少，然后利用關系式，即可求得答案．【詳解】解：四邊形為平行四邊形，對角線的交點為，，，又，，，，平行四邊形的周長為36，，四邊形的周長為：．故選：A．【例2】（2023上·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤羝叫兴倪呅沃袃蓚€內(nèi)角的度數(shù)比為1∶3，則其中較大的內(nèi)角是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形性質(zhì)；根據(jù)平行四邊形對角相等，鄰角互補性質(zhì)，可設：這兩個角的度數(shù)分別為和，則，解方程可得答案．【詳解】由已知可設這兩個角的度數(shù)分別為和，依題意得：，解得．所以，較大的角是．故選：D．【例3】（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，還需要補充下列條件中的（

）A． B． C． D．【答案】C【例4】（2023下·浙江·八年級專題練習）如圖，的對角線、交于點O，平分交于點E，且，，連接．下列結(jié)論：①；②；③；④，成立的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．利用平行四邊形的性質(zhì)可得，，利用角平分線的性質(zhì)證明是等邊三角形，然后推出，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角、三線合一進行推理解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正確；∴，∴，∴，故②錯誤；∵，∴E為中點，∴，故③錯誤；∵，，∴，故④正確；故正確的個數(shù)為個，故選：B．鞏固訓練1．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA＝OC＝4，BD＝10，AB＝6．若要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則OB的長為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B2．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）有下列說法：①平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等；②平行四邊形的對角線互相平分；③平行四邊形的對角相等、鄰角互補；④平行四邊形的對角線相等．其中正確的說法有（

）A．4個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C3．（2023上·山東威海·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，中，過對角線的交點，，，，則四邊形的周長為（

）A．16 B．19 C．22 D．32【答案】C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定；證明，得出，，進而可得四邊形的周長為，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，，，，，．又，，，，四邊形的周長為：．故選C．4．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十六中學?？茧A段練習）如圖，在四邊形中，，若添加一個條件，能判斷四邊形為平行四邊形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的判定定理，根據(jù)平行四邊形的判定定理逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；B．由，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平形四邊形，故該選項正確，符合題意；C．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；D．根據(jù)，，不能判斷四邊形為平形四邊形，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．5．（2023下·四川德陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，E為邊延長線上一點，連結(jié)．若的面積為6，則的面積為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】此題主要考查利用平行四邊形的性質(zhì)．首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形和的高相等，即可求解．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，∴平行四邊形和的高相等，，故選：C．6．（2023下·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱市第一一三中學校?？计谥校┎荒芘卸ㄒ粋€四邊形是平行四邊形的條件是（

）A．一組對邊相等，另一組對邊平行 B．一組對邊平行且相等C．兩條對角線互相平分 D．兩組對邊分別相等【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】解：一組對邊相等，另一組對邊平行，不能判定一個四邊形是平行四邊形，故A選項正確；一組對邊平行且相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故B選項錯誤；兩條對角線互相平分，能判定一個四邊形是平行四邊形，故C選項錯誤；兩組對邊分別相等，能判定一個四邊形是平行四邊形，故D選項錯誤；故選A．7．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，四邊形是平行四邊形，為的中點，連接，將沿著所在的直線折疊，點剛好落在上的處，若，則的長為______．【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于點，連接，證明出，得到，再證明出，從而得到，即可求出的長．掌握相關圖形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：延長，交于點，連接，四邊形是平行四邊形，，，，，為的中點，，在和中，，，，由沿著所在的直線折疊得到，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．8．（2024上·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，于E，則的度數(shù)為_______．【答案】/22度【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形兩個銳角互余，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解答本題的關鍵．根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得到，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到，因為，在中，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，在中，，故答案為：．9．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖所示，AB，CD是兩條相交的線段，O分別是它們的中點，當線段DC繞點O旋轉(zhuǎn)時（DC，AB不重合），連接AC，CB，BD，DA所得到的四邊形ACBD始終是________．理由是_________．【答案】平行四邊形對角線互相平分的四邊形是平行四邊形10．（2024上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，在中，平分，交于點F，平分，交于點E，，，則長為______.【答案】3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等角對等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出是解題的關鍵．根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得，，；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得；根據(jù)從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線可得；推得，根據(jù)等角對等邊可得，，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∵，∴，∵平分，∴，則，∴，同理可證：，∵，即，解得：；故答案為：3．11．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┤鐖D，四邊形中，，為上一點，與交于點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)的長為【分析】（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；（2）過點作于點，證是等腰直角三角形，得，再由含角的直角三角形的性質(zhì)得，然后由勾股定理得，求出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：在和中，又∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖，過點作于點，則，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，即的長為．12．（2023上·海南?？凇ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，在中，點E，F(xiàn)分別在上，且．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，，求的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)130°【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊對等角．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，即可得出結(jié)論；（2）等邊對等角，求出的度數(shù)，平角的定義求出的度數(shù)，根據(jù)平行四邊形的對角相等，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）由（1）可知四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，∴．13．（2023上·湖南岳陽·八年級?？计谀┮阎喝鐖D，在四邊形中，，，垂足分別為E，F(xiàn)，延長、，分別交于點H，交于點G，若，．求證：四邊形為平行四邊形；【答案】見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定，證明，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可解決問題；解題的關鍵是證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形．14．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，．(1)如圖①，求證：四邊形是平行四邊形；(2)如圖②，平分，交于點．若，，求的面積；(3)如圖③，平分，交于點，作交射線于點，交于點．若，請?zhí)骄烤€段，，之間的數(shù)量關系．【答案】(1)見解析(2)3(3)或【詳解】解：（1）證明：，．，，，四邊形是平行四邊形．（2）在中，，．平分，，，．如圖①，作交的延長線于點，．圖①，，，，．（3）如圖②、圖③，作交射線于點．當點在線段上時，如圖②．圖②，，，．四邊形是平行四邊形，，，．在和中，，．由（2）易知．，，．又，，即；當點在的延長線上時，如圖③．圖③同理可得，，，即．綜上所述，線段，，之間的數(shù)量關系為或15．（2023下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：∵AC∥DB，∴∠ACD＝∠BDC．∵∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．∵E，F(xiàn)分別是OC，OD的中點，∴，，∴OE＝OF．又∵AO＝BO，∴四邊形AEBF是平行四邊形．16．（2024·全國·八年級假期作業(yè)）在四邊形中，，，，，點從出發(fā)以的速度向運動，點從點出發(fā)，以的速度向點運動，當其中一點到達終點，而另一點也隨之停止，設運動時間為t．若是上一點，且，t取何值時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形？【答案】或【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應用．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，一元一次方程的應用是解題的關鍵．由題意知，分當點在線段上，當在線段上，兩種情況求解；①當點在線段上，時，即，計算求解即可；②當在線段上，時，即，計算求解即可．【詳解】解：∵，是上一點，即，∴，，①當點在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，解得；②當在線段上，時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，∴，解得；綜上所述，或時，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形．17．（2023上·山東淄博·八年級周村二中?？茧A段練習）如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，，求的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等：（1）由平行線的性質(zhì)得到，進而得到，再證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先利用勾股定理求出，進而得到，求出即可得到答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：，，，∴，∵，∴（同高三角形），∵，∴．題型三中心對稱和中心對稱圖形【例1】（2023上·遼寧鐵嶺·九年級統(tǒng)考期中）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，對各選項分析判斷即可得解．【詳解】解：A．該圖是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．該圖不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．該圖不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D．該圖是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．【例2】（2024上·廣東深圳·八年級深圳外國語學校校考期末）八年級某數(shù)學興趣小組在一次綜合實踐活動中，為研究中心對稱圖形的性質(zhì)，對于已知以及外的一點，分別作，，關于的對稱點，，，得到．如圖，則下列結(jié)論不成立的是（

）

A．點與點是對稱點 B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了中心對稱的性質(zhì)，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)判斷即可，掌握中心對稱的性質(zhì)是求解本題的關鍵．【詳解】解：∵和關于點成中心對稱，∴點與點是對稱點，，故成立；∵與是對頂角，∴，故成立；∵的對應角是，∴，故不成立；故選：．【例3】（2023上·廣東肇慶·九年級統(tǒng)考期末）如圖，將置于平面直角坐標系中，三角形所有頂點都在格點上，畫出以原點O為對稱中心，與成中心對稱的，并寫出點，，的坐標．

【答案】畫圖見解析，，，【分析】本題考查了中心對稱作圖，解題的關鍵是熟練掌握關于原點成中心對稱的點的特征．分別找到點，，，關于原點的中心對稱的對應點，，，順次連接即可；【詳解】解：如圖所示，∴點的坐標分別為：，，．鞏固訓練1．（2024上·重慶北碚·八年級西南大學附中?？计谀┘艏埼幕侵袊罟爬系拿耖g藝術之一，下列剪紙圖案中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，正確掌握相關概念是解題關鍵；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；軸對稱圖形的定義：如果一個圖形沿著條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)定義即可判斷；【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形故此選項符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；C、該圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形故此選項不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；故選：A．2．（2023上·上海浦東新·七年級校聯(lián)考期末）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的識別，把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；．是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故本選項符合題意；故選：D．3．（2024上·甘肅武威·九年級校聯(lián)考期末）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的判斷是解題的關鍵．【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故不符合題意；B、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故符合題意；C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；D、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：B．4．（2024上·廣東汕頭·九年級統(tǒng)考期末）如圖，與關于點C成中心對稱，則的長是____【答案】【分析】本題考查中心對稱，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．利用全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理即可解決問題．【詳解】解：與關于點成中心對稱，，，，，，，，故答案為：．5．（2024上·廣東珠?！ぞ拍昙壗y(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標系中，三個頂點都在格點上，，，．(1)請在圖中畫出，使它和關于原點O對稱，點A，B，C的對應點分別為，，；(2)的坐標為______．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)關于原點對稱的點的定義畫圖即可；（2）利用關于原點對稱的點的坐標特征寫出點的坐標．【詳解】（1）解：如下圖，根據(jù)關于原點O對稱的概念可知：，連結(jié)即可，就是所要求畫的三角形；（2）根據(jù)關于原點O對稱的概念可知：，的坐標為．6．（2023上·浙江寧波·九年級校聯(lián)考期中）如圖，正三角形網(wǎng)格中，已知兩個小正三角形被涂黑．(1)再將圖①中其余小三角形涂黑一個，使整個被涂黑的圖案構成一個軸對稱圖形(畫出兩種不同的涂法)；(2)再將圖②中其余小三角形涂黑兩個，使整個被涂黑的圖案構成一個中心對稱圖形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查軸對稱作圖和中心對象作圖，選擇合適的對稱軸或?qū)ΨQ中心是解題的關鍵．（1）先根據(jù)題意選擇合適的對稱軸作圖即可；（2）先根據(jù)題意選擇合適的對稱中心作圖即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，即為所求作的圖形，（2）如下圖所示，即為所求作的圖形，題型四三角形的中位線【例1】（2023上·重慶忠縣·八年級統(tǒng)考期末）在如圖所示的中，點D，E在邊AB上，的平分線于F，的平分線于H，若，，則的周長為（

）A．10 B．12 C．18 D．20【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理．證明，推出，，同理，，得到是的中位線，進一步計算即可求解．【詳解】解：∵平分，且，∴，，，∴，∴，，同理可證，，∴是的中位線，∴，∴的周長為，故選：D．【例2】（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知在中，點，分別是邊，的中點若的面積等于，則三角形的面積等于（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查了三角形的中線的性質(zhì)，利用三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：點是邊的中點，