2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2章-第6節(jié) 冪函數(shù)與二次函數(shù)【課件】

第二章函數(shù)第6節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點(diǎn)聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)__________叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù).(2)常見的五種冪函數(shù)的圖象y＝xα(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.2.二次函數(shù)解析式的三種形式(1)一般式：f(x)＝_________________.(2)頂點(diǎn)式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_________.(3)零點(diǎn)式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點(diǎn).ax2＋bx＋c(a≠0)(m，n)3.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)R減增增減常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)×√××解析(1)由于冪函數(shù)的解析式為f(x)＝xα，(3)二次函數(shù)y＝x2－x與y＝2x2－2x零點(diǎn)相同，但解析式不同，故(3)錯誤.2.若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，則冪函數(shù)y＝f(x)的大致圖象是(

)C解析設(shè)冪函數(shù)的解析式為y＝xα，因為冪函數(shù)y＝f(x)的圖象過點(diǎn)(4，2)，當(dāng)0＜x＜1時，其圖象在直線y＝x的上方，對照選項知C正確.3.已知y＝f(x)為二次函數(shù)，若y＝f(x)在x＝2處取得最小值－4，且y＝f(x)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，則函數(shù)解析式為________________.f(x)＝x2－4x解析由題意，可設(shè)f(x)＝a(x－2)2－4(a＞0)，又圖象過原點(diǎn)，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.

4.若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍為_____________________.(－∞，40]∪[160，＋∞)解得k≥160或k≤40.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1(1)冪函數(shù)y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在第一象限的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關(guān)系是(

)DA.a>b>c>d

B.d>b>c>aC.d>c>b>a

D.b>c>d>a解析觀察函數(shù)圖象可知在(1，＋∞)上，函數(shù)圖象與x軸的距離由遠(yuǎn)及近為y＝xb，y＝xc，y＝xd，y＝xa，∴其函數(shù)的指數(shù)的大小為b>c>d>a.B感悟提升1.對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條直線分第一象限為六個區(qū)域，即x＝1，y＝1，y＝x所分區(qū)域.根據(jù)α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.2.在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較.DA.p為奇數(shù)，且p>0 B.p為奇數(shù)，且p<0C.p為偶數(shù)，且p>0 D.p為偶數(shù)，且p<0A解析由題意，得m2＋m－5＝1，即m2＋m－6＝0，解得m＝2或m＝－3，當(dāng)m＝2時，可得函數(shù)f(x)＝x3,此時函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)m＝－3時，可得f(x)＝x－2，此時f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意，即冪函數(shù)f(x)＝x3，則f(3)＝27.考點(diǎn)二二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，則f(x)＝__________________.－4x2＋4x＋7解析法一(利用“一般式”)設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二(利用“頂點(diǎn)式”)設(shè)f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因為f(2)＝f(－1)，又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，所以n＝8，法三(利用“零點(diǎn)式”)由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，故可設(shè)f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函數(shù)有最大值8，解得a＝－4或a＝0(舍).故所求函數(shù)的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.感悟提升求二次函數(shù)解析式的方法訓(xùn)練2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，且頂點(diǎn)到x軸的距離等于2，則二次函數(shù)的解析式為____________________________________.解析

因為二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(－3，0)，(1，0)，所以可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x＋3)(x－1)(a≠0)，展開得，y＝ax2＋2ax－3a，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離為2，考點(diǎn)三二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)角度1二次函數(shù)的圖象例3(1)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c，且a＋b＋c＝0，且函數(shù)f(x)的圖象可能是(

)D解析

由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c<0，所以函數(shù)圖象開口向上，排除A，C；又f(0)＝c<0，排除B.故選D.(2)(多選)如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的一部分，圖象過點(diǎn)A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論正確的為(

)AD解析因為圖象與x軸交于兩點(diǎn)，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正確.對稱軸為x＝－1，A.b2＞4ac

B.2a－b＝1C.a－b＋c＝0

D.5a＜b結(jié)合圖象，當(dāng)x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，C錯誤.由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.根據(jù)拋物線開口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正確.感悟提升研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個點(diǎn)是頂點(diǎn)，另兩個點(diǎn)是圖象上關(guān)于對稱軸對稱的兩個點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對稱軸這條直線；“一開口”是指拋物線的開口方向.角度2二次函數(shù)的單調(diào)性與最值例4已知函數(shù)f(x)＝x2－tx－1.(1)若f(x)在區(qū)間(－1，2)上不單調(diào)，求實數(shù)t的取值范圍；解得－2＜t＜4，所以實數(shù)t的取值范圍是(－2，4).(2)若x∈[－1，2]，求f(x)的最小值g(t).所以f(x)min＝f(2)＝3－2t.所以f(x)min＝f(－1)＝t.感悟提升閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解.訓(xùn)練3(1)(多選)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(

)ACD解析由二次函數(shù)圖象開口向下知a<0，A.2a＋b＝0 B.4a＋2b＋c<0C.9a＋3b＋c<0 D.abc<0又因為f(0)＝c>0，所以abc<0.f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0.(2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.①當(dāng)a＝2，x∈[－2，3]時，求函數(shù)f(x)的值域；解當(dāng)a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，②若函數(shù)f(x)在[－1，3]上的最大值為1，求實數(shù)a的值.∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIAN1.若冪函數(shù)f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則m的值為(

) A.1或3 B.1 C.3 D.2B解析由題意得m2－4m＋4＝1，且m2－6m＋8>0，解得m＝1.2.已知函數(shù)f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，則a，b，c的大小關(guān)系是(

) A.a<c<b

B.b<a<c C.b<c<a

D.c<a<bB解析∵0.40.6<0.60.6<0.60.4，又y＝f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴b<a<c.3.若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，則g(x)的解析式為(

) A.g(x)＝2x2－3x B.g(x)＝3x2－2x C.g(x)＝3x2＋2x D.g(x)＝－3x2－2xB解析

二次函數(shù)g(x)滿足g(1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù)為g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，所求的二次函數(shù)為g(x)＝3x2－2x.4.(2023·廈門模擬)函數(shù)y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是(

)C解析若a>0，則一次函數(shù)y＝ax＋b為增函數(shù)，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向上，故可排除A，D；5.已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)>f(1)，則(

)A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0A所以4a＋b＝0，又f(0)＝f(4)>f(1)，所以f(x)的圖象開口向上，a>0.故選A.6.已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1的定義域為[1，t]，在該定義域內(nèi)函數(shù)的最大值與最小值之和為－5，則實數(shù)t的取值范圍是(

) A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.(2，3)B解析易知f(x)＝x2－4x＋1的圖象是一條開口向上，對稱軸為直線x＝2的拋物線，當(dāng)x＝1時，y＝－2，當(dāng)x＝2時，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因為f(x)在定義域內(nèi)的最大值與最小值之和為－5，所以2≤t≤3.故選B.7.(多選)若冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(9，3)，則下列結(jié)論中正確的是(

)BCD9.已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，3)，且圖象被x軸截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________________.f(x)＝x2－4x＋3解析∵f(2－x)＝f(2＋x)對任意x∈R恒成立，∴f(x)圖象的對稱軸為直線x＝2.又∵f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，∴f(x)＝0的兩根為1和3，設(shè)f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的圖象過點(diǎn)(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函數(shù)的解析式為f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.10.若函數(shù)φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍是________.[－2，0]解析

當(dāng)0≤x≤1時，φ(x)＝x2－mx＋m，當(dāng)x＞1時，φ(x)＝x2＋mx－m，綜上，實數(shù)m的取值范圍是[－2，0].解

設(shè)f(x)＝xα，設(shè)g(x)＝xβ，解

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x)＝x2和g(x)＝x－1的圖象，可得函數(shù)h(x)的圖象如圖實線部分所示.根據(jù)函數(shù)h(x)的解析式及圖象，可知函數(shù)h(x)的最大值為1，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(1，＋∞).12.(2024·大慶質(zhì)檢)已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.解當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.∴f(x)min＝f(1)＝a－2.∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.13.已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若對于區(qū)間[－1，2]上任意兩個不相等的實數(shù)x1，x2，都有f(x1)≠f(x2