2023-2024學年北京四中學中考數學模擬試卷含解析

2023-2024學年北京四中學中考數學模擬精編試卷

注意事項:

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.如圖是某蓄水池的橫斷面示意圖，分為深水池和淺水池，如果向這個蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水

的最大深度h與時間，之間的關系的圖象是（）

2.將拋物線二=-二二.+：向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度所得的拋物線解析式為（）

A.二二一交口一廳B.二=-2（二+

C.二二7（二一加七D.1=一式二一.一.

3.甲、乙兩地相距300千米，一輛貨車和一輛轎車分別從甲地開往乙地（轎車的平均速度大于貨車的平均速度），如

圖線段04和折線BCD分別表示兩車離甲地的距離），（單位：千米）與時間x（單位：小時）之間的函數關系.則下

列說法正確的是（）

B.轎車在行駛過程中進行了提速

C.貨車出發(fā)3小時后，轎車追上貨車

D.兩車在前80千米的速度相等

4.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形ABC的頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，ZABC=90°,CA±x

軸，點C在函數y上（x>0）的圖象上，若AB=2,則k的值為（）

A.4B.2&C.2D.V2

5.函數y=kx+l與y=-K在同一坐標系中的大致圖象是（）

x

6.已知二次函數y=ax?+bx+c（arl）的圖象如圖所示，則下列結論:

①a、b同號；

②當x=l和x=3時，函數值相等；

③4a+b=l；

④當y=-2時，x的值只能取1；

⑤當?1VXV5時，yVl.

其中，正確的有（）

A,2個3個C?4個D.5個

7.“趕陀螺”是一項深受人們喜愛的運動.如圖所示是一個陀螺的立體結構圖.已知底面圓的直徑AB=8cm,圓柱的

局BC=6cm,圓錐的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積是（）

B.74ncm2C.84?rcm2D.IOOTTcm?

8.下列關于x的方程中，屬于一元二次方程的是（）

A.x-1=0D.ax2+bx+c=0

9.如圖，在RtAABC中，/ACB=90°,AC=2百，以點C為圓心，CB的」長為半徑畫弧，與AB邊交于點D,將60

繞點D旋轉180。后點B與點A恰好重合,則圖中陰影部分的面積為（

B.2百.用D.

3

10.一個多邊形的每個內角均為120°,則這個多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形

一、填空題（本大題共6個小題，母小題3分，共JL8分）

11.已知短形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在矩形ABCD的其他邊上,

則可以面出的不同的等腰三角形的個數為.

12.如圖，。。的半徑為1cm,正六邊形ABCDEF內接于。O,則圖中陰影部分面積為cm'.（結果保留

13.若二次函數了=一/-4丫+〃的最大值是9,則1<=

14.如果某數的一個平方根是-5,那么這個數是.

15.拋物線y=（x+1）2.2的頂點坐標是.

16.在直角坐標系中，坐標軸上到點P（?3,-4）的距離等于5的點的坐標是.

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）八年級一班開展了“讀一本好書”的活動，班委會對學生閱讀書籍的情況進行了問卷調查，問卷設置了“小

說”“戲劇”“散文”“其他”四個類型，每位同學僅選一項，根據調查結果繪制了不完整的頻數分布表和扇形統(tǒng)計圖.

類別頻數（人數）頻率

小說0.5

戲劇4

散文100.25

其他6

合計1

根據圖表提供的信息，解答下列問題：八年級一班有多少名學生？請補全頻數分布表，并求出扇形統(tǒng)計圖中“其他”類

所占的百分比；在調查問卷中，甲、乙、丙、丁四位同學選擇了“戲劇”類，現從以上四位同學中任意選出2名同學參

加學校的戲劇興趣小組，請用畫樹狀圖或列表法的方法，求選取的2人恰好是乙和丙的概率.

18.（8分）某縣教育局為了豐富初中學生的大課間活動，要求各學校開展形式多樣的陽光體育活動.某中學就“學生

體育活動興趣愛好”的問題，隨機調查了本校某班的學生，并根據調查結果繪制成如下的不完整的扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)

（1）在這次調查中，喜歡籃球項目的同學有______人，在扇形統(tǒng)計圖中，“乒乓球”的百分比為%,如果學校有800

名學生，估計全校學生中有人喜歡籃球項目.

⑵請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

⑶在被調查的學生中，喜歡籃球的有2名女同學，其余為男同學.現要從中隨機抽取2名同學代表班級參加校籃球隊,

請直接寫出所抽取的2名同學恰好是1名女同學和1名男同學的概率.

19.（8分）如圖，△ABC內接于。O,ZB=60°,CD是。。的直徑，點P是CD延長線上的一點，且AP=AC.

（1）求證：PA是。O的切線；

（2）若PD=￡,求。O的直徑.

20.（8分）為了解某校初二學生每周上網的時間，兩位學生進行了抽樣調查.小麗調查了初二電腦愛好者中40名學

生每周上網的時間；小杰從全校400名初二學生中隨機抽取了40名學生，調查了每周上網的時間.小麗與小杰整理各

自樣本數據，如下表所示.

時間段（小時/周）小麗抽樣（人數）小杰抽樣（人數）

0-1622

1~21010

2-3166

3-482

（1）你認為哪位學生抽取的樣本不合理?請說明理由.專家建議每周上網2小時以上（含2小時）的學生應適當減少

上網的時間，估計該校全體初二學生中有多少名學生應適當減少上網的時間.

21.（8分）某保健品廠每天生產A,B兩種品牌的保健品共60Q瓶，A,B兩種產品每瓶的成本和利潤如表，設每天

生產A產品x瓶，生產這兩種產品每天共獲利y元.

（1）請求出y關于x的函數關系式；

（2）如果該廠每天至少投入成本26400元，那么每天至少獲利多少元？

X

（3）該廠每天生產的A,B兩種產品被某經銷商全部訂購，廠家對A產品進行讓利，每瓶利潤降低而元，廠家如

何生產可使每天獲利最大？最大利潤是多少？

成本（兀/瓶）5035

利潤（元/瓶?）2015

2x<2+

22.（10分）解不等式組rcu一rG，請結合題意填空，完成本題的解答.

3x-2<5x+2②

（1）解不等式①，得

（2）解不等式②，得

（3）把不等式①和②的解集在數軸上表示出來:

:3~1~4~0123^

（4）原不等式的解集為

23.（12分）如圖1,正方形ABCD的邊長為4,把三角板的直角頂點放置BC中點E處，三角板繞點E旋轉，三角

板的兩邊分別交邊AB、CD于點G、F.

(1)求證：△GBE^AGEF.

（2）設AG=x,GF=y,求Y關于X的函數表達式，并寫出自變量取值范圍.

（3）如圖2,連接AC交GF于點Q,交EF于點P.當△AGQ與△CEP相似，求線段AG的長.

24.先化簡，再求值:

參考答案

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1、C

【解析】

首先看座可知，蓄水池的下部分比上部分的體積小，故h與t的關系變?yōu)橄瓤旌舐?

【詳解】

根據題意和圖形的形狀，可知水的最大深度h與時間t之間的關系分為兩段，先快后慢。

故選：C.

【點睛】

此題考查函數的圖象，解題關鍵在于觀察圖形

2、C

【解析】

試題分析：??,拋物線二二一.二二十.向右平移1個單位長度，，平移后解析式為：二三：二：；；?，工再向上平移

1個單位長度所得的拋物線解析式為：二二-二二-，；一二故選C.

考點：二次函數圖象與幾何變換.

3、B

【解析】

①根據函數的圖象即可直接得出結論;②求得直線OA和DC的解析式,求得交點坐標即可；③由圖象無法求得B的橫

坐標;④分別進行運算即可得出結論.

【詳解】

由題意和圖可得，

轎車先到達乙地，故選項A錯誤，

轎車在行駛過程中進行了提速，故選項B正確，

貨車的速度是：300+5=60千米/時，轎車在5C段對應的速度是：80+（2.5-1.2）=等千米/時，故選項D錯誤，

設貨車對應的函數解析式為y=Ax,

5A=300,得==60,

即貨車對應的函數解析式為y=60x,

設CD段轎車對應的函數解析式為），=g+兒

2.54+6=80f?=ll（）

,,得《?

[4.5a+b=300[Z?=-195

即C&段轎車對應的函數解析式為），=H0x-195,

令60x=110x-195,得x=3.9,

即貨車出發(fā)3.9小時后，轎車追上貨車，故選項C錯誤，

故選：B.

【點睛】

此題考查一次函數的應用，解題的關鍵在于利用題中信息列出函數解析式

4、A

【解析】

【分析】作BD_LAC于D,如圖，先利用等腰直角三角形的性質得到AC=0AB=2五，BD=AD=CD=V2，再利用

ACJ_x軸得到C（、歷，20），然后根據反比例函數圖象上點的坐標特征計算k的值.

【詳解】作BD_LAC于D,如圖，

:△ABC為等腰直角三角形，

，AC=V^AB=20,

ABD=AD=CD=V2，

■ACJLx軸,

：.C（0,272），

k

把C（夜，2&）代入y=一得k=&x2血=4,

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質以及反比例函數圖象上點的坐標特征，熟知反比例函數y=&（k為常數,

x

k#0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x,y）的橫縱坐標的積是定值k,即'尸卜是解題的關鍵.

5、D.

【解析】

試題分析：根據一次函數和反比例函數的性質，分k>0和kVO兩種情況討論：

當kVO時，一次函數圖象過二、四、三象限，反比例函數中，-k>0,圖象分布在一、三象限；

當k>0時，一次函數過一、三、四象限，反比例函數中，一kVO,圖象分布在二、四象限.

故選I）.

考點：一次函數和反比例函數的圖象.

6、A

【解析】

根據二次函數的性質和圖象可以判斷題目中各個小題是否成立.

【詳解】

由函數圖象可得，

a>Lb<L即a、b異號，故①錯誤，

x=?l和x=5時，函數值相等，故②錯誤，

,:-：5=2,得4a+b=L故③正確，

由圖象可得，當y=-2時，x=l或x=4,故④錯誤，

由圖象可得，當“VxV5時，y<l,故⑤正確，

故選A.

【點睛】

考查二次函數圖象與系數的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答.

7、C

【解析】

試題分析：:底面圓的直徑為8cm,高為3cm,??.母線長為5cm,?,?其表面積=71x4x5+42元+866=84忒1?2,故選C.

考點：圓錐的計算；幾何體的表面積.

8、B

【解析】

根據一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；

②只含有一個未知數；

③未知數的最高次數是2進行分析即可.

【詳解】

A.未知數的最高次數不是2,不是一元二次方程，故此選項錯誤；

B.是一元二次方程，故此選項正確；

C.未知數的最高次數是3,不是一元二次方程，故此選項錯誤；

D.a=O時，不是一元二次方程，故此選項錯誤；

故選B.

【點睛】

本題考查一元二次方程的定義，解題的關鍵是明白：

一元二次方程必須同時滿足三個條件：

①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；

②只含有一個未知數；

③未知數的最高次數是2.

9、B

【解析】

陰影部分的面積二三角形的面積一扇形的面積，根據面積公式計算即可.

【詳解】

解：由旋轉可知AD=BD,

VZACB=90",AC=2V3,

.*.CD=BD,

VCB=CD,

/.△BCD是等邊三角形，

AZBCD=ZCBD=60°,

ABC=—AC=2,

3

???陰影部分的面積=2&x2+2-虹￡=26-V.

3603

故選：B.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質與扇形面積的計算，解題的關鍵是熟練的掌握旋轉的性質與扇形面積的計算.

10、C

【解析】

由題意得，180。5?2）二120的,

解得〃=6.故選C.

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）

11、8

【解析】

根據題意作出圖形即可得出答案，

【詳解】

如圖，AD>AB,△CDEi,△ABE2,AABEj,△BCE4,△CDE5,AABE6,△ADE7,ACDE8,為等腰三角形，故

有8個滿足題意得點.

【點睛】

此題主要考查矩形的對稱性，解題的關鍵是根據題意作出圖形.

192

6

【解析】

試題分析：根據圖形分析可得求圖中陰影部分面積實為求扇形部分面積，將原圖陰影部分面積轉化為扇形面積求解即

可.

試題解析：如圖所示：連接BO,CO,

???正六邊形ABCDEF內接于OO,

AAB=BC=CO=1,ZABC=110°,△OBC是等邊三角形,

/.CO/7AB,

在ACOW和4ABW中

ZBWA=ZOWC

{ABAW=ZOCWf

AB=CO

/.△COW^AABW(AAS),

???圖中陰影部分面積為：S原形OBC=6°〃X[=￡.

3606

考點：正多邊形和圓.

13、5

【解析］y=_(x-2)2+4+k,

;二次函數y=-x2-4x+k的最大值是9,

/.4+k=9,解得：k=5,

故答案為：5.

14、25

【解析】

利用平方根定義即可求出這個數.

【詳解】

設這個數是x(x>0),所以x=(-5)2=25.

【點睛】

本題解題的關鍵是掌握平方根的定義.

15、(-1.-2)

【解析】

試題分析：因為y=(x+1)2?2是拋物線的頂點式，

根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(?1,-2),

故答案為(-1,-2).

考點：二次函數的性質.

16、(0,0)或(0,-8)或(-6,0)

【解析】

由P(-3,?4)可知，P到原點距離為5,而以P點為圓心，5為半徑畫圓，圓經過原點分別與x軸、y軸交于另外

一點，共有三個.

【詳解】

解：???P(?3,?4)到原點距離為5,

而以P點為圓心，5為半徑畫圓，圓經過原點且分別交x軸、y軸于另外兩點(如圖所示)，

，故坐標軸上到P點距離等于5的點有三個：(0,0)或(0,-8)或(-6,0).

故答案是：(0,0)或(0,-8)或(0).

三、解答題（共8題，共72分）

17、（1）41（2）15%（3）-

6

【解析】

（1）用散文的頻數除以其頻率即可求得樣本總數：

（2）根據其他類的頻數和總人數求得其百分比即可；

（3）畫樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出恰好是丙與乙的情況，即可確定出所求概率.

【詳解】

（1）,??喜歡散文的有U人，頻率為L25,

Am=ll-71.25=41；

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“其他”類所占的百分比為xlll%=15%,

故答案為15%；

（3）畫樹狀圖，如圖所示：

/1\/N/1\/4\

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

所有等可能的情況有12種，其中恰好是丙與乙的情況有2種，

21

???P（丙和乙）

126

3

18、（1）5,20,80；（2）圖見解析；（3）

5

【解析】

【分析】（1）根據喜歡跳繩的人數以及所占的比例求得總人數，然后用總人數減去喜歡跳繩、乒乓球、其它的人數即

可得；

（2）用乒乓球的人數除以總人數即可得；

（3）用800乘以喜歡籃球人數所占的比例即可得；

（4）根據（1）中求得的喜歡籃球的人數即可補全條形圖;

（5）畫樹狀圖可得所有可能的情況，根據樹狀圖求得2名同學恰好是1名女同學和1名男同學的結果，根據概率公式

進行計算即可.

【詳解】（D調查的總人數為20?40%=50（人）,

喜歡籃球項目的同學的人數=5（）-20-10-15=5（人）；

（2）“乒乓球”的百分比=Wx100%=20%；

50

5

（3）800x一=80,

50

所以估計全校學生中有80人喜歡籃球項目；

（4）如圖所示,

（5）畫樹狀圖為:

男男男女女

共有20種等可能的結果數，其中所抽取的2名同學恰好是1名女同學和1名男同學的結果數為12,所以所抽取的2

名同學恰好是1名女同學和1名男同學的概率=畀=3.

205

19、（1）見解析（2）2后

【解析】

解：（D證明：連接OA,

VZB=60°,AZAOC=2ZB=1.

VOA=OC,AZOAC=ZOCA=2.

XVAP=AC,/.ZP=ZACP=2.

AZOAP=ZAOC-ZP=3.AOA1PA.

VOA是。。的半徑，???PA是。O的切線.

A

B

(2)在R3OAP中，VZP=2,

.,.PO=2OA=OD+PD.

XVOA=OD,APD=OA.

VPD=V3,；?2OA=2PD=2G.

???G)O的直徑為2G..

(1)連接OA,根據圓周角定理求出NAOC,再由OA=OC得出NACO=NOAC=2,再由AP=AC得出

ZP=2,兼而由NOAP=NAOC-NP,可得出OA_LPA,從而得出結論.

(2)利用含2的直角三角形的性質求出OP=2OA,可得出OP?PD=OD,再由PD=6,可得出OO的直徑.

20、(1)小麗；(2)80

【解析】

解：(1)小麗；因為她沒有從全校初二學生中隨機進行抽查，不具有隨機性與代表性.

Q

(2)400x—=80.

40

答：該校全體初二學生中有80名同學應適當減少上網的時間.

21、(1)j=5x+9000；(2)每天至少獲利10800元；(3)每天生產4產品250件，〃產品350件獲利最大，最大利潤

為9625元.

【解析】

試題分析：(1)A種品牌白酒x瓶，則B種品牌白酒(600?x)瓶；利潤二4種品牌白酒瓶數xA種品牌白酒一瓶的利潤

+B種品牌白酒瓶數xB種品牌白酒一瓶的利潤，列出函數關系式；

(2)A種品牌白酒x瓶，則B種品牌白酒(600.x)瓶；成本=4種品牌白酒瓶數xA種品牌白酒一瓶的成本+B種品牌

白酒瓶數xB種品牌白酒一瓶的成本，列出不等式，求x的值，再代入(1)求利潤.

(3)列出y與x的關系式，求y的最大值時，x的值.

試題解析：

(1)j=20x+15(600-x)=5x+9000,

??y關于x的函數關系式為j=5x+9000；

(2)根據題意，得50x+35(600-x)二26400,

解得x>360,

Vj=5x+9000,5>0,

???)，隨x的增大而增大，

:.當x=360時，y有最小值為10800,

，每天至少獲利10800元；

(3)y=(20一卷:+15(60()一九)=-*(X-2501+9625,

V一一—<0,?,?當x=250時，y有最大值9625,

100

，每天生產4產品250件，B產品350件獲利最大，最大利潤為9625元.

22、(1)x<l；(1)x>-1；(3)見解析；(4)-1<X<1.

【解析】

先求出不等式的解集，再求出不等式組的解集即可.

【詳解】

解：(1)解不等式①，得爛1,

(1)解不等式②，得史?1,

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來：

---------:------J---------------------------->;

-5-4-3-2-1012345

(4)原不等式組的解集為-13金，

故答案為爛Lx>-1,-1<X<1.

【點睛】

本題考查了解一元一次不等式組，能根據不等式的解集找出不等式組的解集是解此題的關鍵.

42廠

23、(D見解析；(2)y=4-x+-------(0<x<3)；(3)當△AGQ與ACEP相似，線段AG的長為2或4?一J3.

4-X3

【解析】

(1)先判斷出△BEF3ACEF,得出BF=CF,EF'=EF,進而得出/BGE;NEGF,即可得出結論；

4

(2)先判斷出△BEGs^CFE進而得出CF=-------

4-X

,即可得出結論；

(3)分兩種情況，①△AGQs/\CEP時，判斷出NBGE=60。，即可求出BG；

②△AGQsZiCPE時，判斷出EG〃AC,進而得出△BEGsaBCA即可得出BG,即可得出結論.

【詳解】

(1)如圖1,延長FE交AB的延長線于FT

???點E是BC的中點，

ABE=CE=2,

丁四邊形ABCD是正方形,

，AB〃CD,

???NF=NCFE,

在^BEF^flACEF中，

=ZCFE

IZBEFZ=ZCEF，

IB