2022年新高考數(shù)學基礎(chǔ)訓練專題31 直線與方程(解析版)

專題31直線與方程

一、單選題

1.已知直線+++貝lj“a=3”是f14”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

結(jié)合兩直線的位置關(guān)系以及充要條件的概念即可判斷.

【詳解】

4_L《Q(aT)。-2〃=0=。=0或”=3,由于所以a=3,

由充要條件的概念可知選C.

故選：C.

2.已知直線y=x+〃2與圓(x-2)2+(y-3)2=2相切，則機的值為()

A.3或-1B.1或-3

C.0或4D.T或0

【答案】A

【分析】

利用圓的切線性質(zhì)結(jié)合點到直線的距離公式列式計算即得.

【詳解】

圓(1-2)、(尸3)2=2的圓心為(2,3),半徑為近,因直線丁=工+〃嗚圓(x-2『+(y-3)2=2相切，

則點(2,3)到直線工—)，+機=0的距離為1=生浮1=&,整理得|加-1|=2,解得加=3或6=-1,

所以用的值為3或-1.

故選：A

x+y>\,

3.若％,5滿足約束條件卜一”-1,,則目標函數(shù)z=|x-2y+l|的取值范圍是()

2x-y<2,

A.[2,4]B.[1,4]C.[0,4]D.[0,2]

【答案】c

【分析】

先畫出可行域，再根據(jù)z=k-2y+l|的兒何意義結(jié)合圖形求解.

【詳解】

x+y之1

z=k-2y+l|=石?團曾』，其幾何意義為可行域內(nèi)

作出約束條件之-1,表示的可行域如圖所示,

2x-y<2

X-y=-]

的點到直線“-2），+1=0的距離的6倍.由>解得A（3,4）.由圖可知，z的最大值為點4（3,4）到直

線x-2y+l=0的距離的6倍，即為4；因為直線x-2y+l=0與可行域有公共點，所以z的最小值為0.

故選：C

4.若點P（-2,-1）為圓/+尸=9的弦48的中點，則弦AB所在直線的方程為（）

A.2.v+y+5=0B.2x+y-5=0C.2x-y+5=0D.2x-y-5=0

【答案】A

【分析】

圓f+y2=9的圓心。（0,0）,由給定條件結(jié)合圓的性質(zhì)可得OP_LA8,求出直線。尸斜率即可計算作答.

【詳解】

依題意，圓f+爐=9的圓心0（0,0）,因點尸（一2,-1）為圓f+y2=9的弦AB的中點，

則有0PJ_A8,而直線OP斜率為于是得直線4B斜率砥B=-2,又直線過P,因此有

y+1=-2（x+2）,即2x+y+5=0,

所以弦48所在直線的方程為2x+y+5=0.

故選：A

5.在平面直角坐標系xQy中，圓C：（x-iy+y2=4,若直線/：x+y+w=O（；n>0）上有且僅有一點A

滿足：過點A作圓。的兩條切線AP,AQ,切點分別為尸，Q,且使得四邊形4PC。為正方形，則機的值

為（）

A.|B.272C.3D.7

【答案】C

【分析】

設A（4，%）結(jié)合題設易知C0,O）、\AC\=2y/2,要使條件滿足有直線/與圓"-1）2+產(chǎn)=8相切，應用點線

距離公式求用的值即可.

【詳解】

圓C：（x—iy+y2=4的圓心。0,0）,半徑廠=2,

設則與+為+山=0,又四邊形APC。為正方形，易知|AC|=2&,

???（"）2+N：=8，

由題意得：直線/與圓（X-1）2+V=8相切，則圓心（1,0）到直線”+），+加=0的距離為2近，

沖以,

解得機=3或m=-5（舍去）.

故選：C.

6.己知拋物線丁=8工的準線為/,點尸是拋物線上的動點，直線4的方程為2x-y+3=0,過點P分別作

PM11,垂足為M,PNJJ、,垂足為N,則1PM+歸川的最小值為（

A.西B.辿

55

c.6D.2+在

5

【答案】B

【分析】

令拋物線焦點為凡利用拋物線定義可得IPM+IPMUPC+IPNI,再求點尸到直線人的距離即可.

【詳解】

令拋物線y2=8x的焦點為凡則尸（2,0）,連接PF,如圖,

因/是拋物線V=8x的準線，點尸是拋物線上的動點，且于是得IPMHP用,

|2X2-04-3|7石

點尸(2,0)到直線八2x—y+3=0的距離d=

6+㈠產(chǎn)

又PN14于N,顯然點P在點產(chǎn)與N之間，于是有|「根+〔叫=尸用+1尸%|之〃，當且僅當憶P,N三點

共線時取“=”，

所以+|/W|的最小值為d=辿.

故選：B

7.已知圓C:(x-2)2+(y-3尸=2,直線/過點43,4)且與圓。相切，若直線/與兩坐標軸交點分別為M,N,

則刖卜()

A.5及B.6C.JyfiD.8

【答案】C

【分析】

由點43,4)在圓上，所以點A為切點，利用圓的切線和圓心于切點的連線垂直，可求得斜率，利用點斜式即

可求得切線方程，再求點M,N的坐標，利用兩點間距離公式即可得解.

【詳解】

易知43,4)為切點，所以AAC=1，

所以直線，的斜率為-1,

所以-x+7,

令M(0,7),N(7,0),則|MN|=7近,

故選：C.

8.若直線工一5+。=0與圓/+產(chǎn)=2相交于A,B兩點，且ZAO8=12(r(O為原點)，則1。1的值為()

A.IB.應

C.2D."

2

【答案】A

【分析】

由題意可知，圓心角NAOB=120°,過圓心作直線x-y+a=O的垂線，交點為C,那么△AOC是直角三角

形，即可求出答案.

【詳解】

過圓心作直線X-y+a=O的垂線，交點為C,那么△AOC是直角三角形，其中乙40c=60、

..ZOAC=30\/.0C=—?

2

又圓心（0,0）到直線的距離為d=［招J=李，

解得同=1.

故選:A.

9.自點4（-2,1）發(fā)出的光線/經(jīng)過x軸反射，其反射光線所在直線正好與圓M丁+/一4工-6,，+9=0相切，則

反射光線所在直線的所有斜率之和為（）

48

A.-B.2C.-D.4

33

【答案】C

【分析】

求出圓心與半徑，點A關(guān)于x軸的對稱點的坐標，設出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可

求得結(jié)論.

【詳解】

|員|”:一+)尸一41—6>+9=0可化為*-2)2+(丁-3)2=4,

圓心為M(2,3),半徑為r=2.

點A(-2,l)關(guān)于x軸對稱的點為4(-2,-1),

所以設反射光線所在直線的方程為y+1=%*+2),即丘-y+2%-1=0.

由反射光線正好與圓“相切，得|2.一：：2:1|二2,

迎一+1

即3公-84+3=0,解得&=--,k2=4+",

'3^3

T-B>,>4->/74+>/78

十是4+k=--—+---=-?

333

故選：C.

10.已知宜線4：(3+2/l)x+(4+2)y+(-2+22)=0(2GR),/2：x+y—2=0,若“4，則4與4間的距

離為1)

A.也B.72C.2D.2yli

【答案】B

【分析】

由直線平行的結(jié)論列方程求>1,再由平行直線的距離公式求兩直線的距離.

【詳解】

.....3+224+4—2+24&力3人

由〃〃2得/Fq「一二1—/——＞解得義=1，

II—2

所以直線6：5x+5y=0,即x+y=0,

所以4與4間的距離為"=m=0，

故選B.

11.已知aeR,設函數(shù)=lnx+1的圖象在點(1J(I))處的切線為/,則，過定點()

A.(0,2)B.(1,0)C.(IM+1)D.3D

【答案】A

【分析】

根據(jù)導數(shù)幾何意義求出切線方程，化成斜截式，即可求解

【詳解】

由，(/)=如一1門+1=/")=〃一5=故過(1J(D)處的切線方程為：

y=(a-l)(x-l)+a+l=(a-l)x+2,故/過定點(0,2)

故選：A

【點睛】

本題考查由導數(shù)的幾何意義求解切線方程，直線過定點問題，屬于簡單題

12.設曲線y=已在點(3,3)處的切線與直線融+嚴1=0平行，則。等于()

x—2

A.*B.2C.—D.—2

【答案】B

【分析】

利用導數(shù)求出曲線y=7^在點(3,3)處的切線的斜率，利用兩直線平行可得出實數(shù)。的值.

【詳解】

V,x-2-x2

對函數(shù)二三求導得)

由已知條件可得F=y'|m3=—2,所以，,7=2.

故選：B.

13.已知M為圓a-1尸+)，2=2上一動點，則點M到直線x-y+3=0的距離的最大值是()

A.0B.2&C,3&D.4a

【答案】C

【分析】

求出圓心與半徑，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d,由d+r即可求解.

【詳解】

???圓(匯-1)2+產(chǎn)=2,???圓心(1,0),半徑,=

???圓心到直線的距離d=%=2拒，

，圓(T-lF+y?=2上的點到直線x-y+3=0的距離最大值為2&+&=3應，

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查圓上的點到直線距離的最值問題.利用圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.若AB是雙曲線=1（〃>0力>0）上關(guān)于原點對稱的兩點，點P是雙曲線C的右支上位于第一

象限的動點，記PAP8的斜率分別為且始內(nèi)=4,則雙曲線C的離心率為（）

4

A.更B.3C.72D.6

22

【答案】A

【分析】

由點差法和直線的斜率公式，推得。力的關(guān)系，即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】

設P（s,f）,A（m,n）,則,

由題可知，:/=1，/4=1

兩式相減得：;嬰==匚，即

ab-s-m'a~

f-j],,t—nt+nt2—n2b21

又匕t飛t二7，即Hn4?&2=---------=--r=-=7

4s-ms+ms-m~a~4

所以雙曲線C的離心率為e=￡=Jl+B=^~

a\a22

故選:A

【點睛】

方法點睛：本題考查求雙曲線的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離

心率有以下幾種情況：①直接求出"J從而求出仁②構(gòu)造的齊次式，求出仁③采用離心率的定義以

及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

15.已知雙曲線《一《=1的左、右焦點分別為月，工，點則的平分線的方程為（）

45k2；

A.3x-2y-4=0B.3x-4y+4=0

C.4工-6y+3=0D.2x-6y+9=0

【答案】A

【分析】

先依題意判斷「入，耳耳，設/匕尸鳥的平分線交x軸于設NMP瑪=6,計算tan26=tanN片P瑪=3I?,

2

求得tan9=：,即得角平分線所在直線PM的斜率，再根據(jù)點斜式寫直線方程即可.

【詳解】

如圖，依題意知”（一3,0）,7^（3,0）,而點O在雙曲線L故〃"4G，

I尸周=|，忻用=6.

設/石尸鳥的平分線交x軸于M,設NMP月=夕，則/月尸6=2ee|。,1

6n

有l(wèi)an2e=tan/"P用=5=旨，即2tan。12八（八萬7T1

----5—=一，°，二，

l-tan26>5I4；

2

213

化簡解得tan。,故的平分線所在直線PM的斜率k=tanNPMF?=--=^

3tan。2

所以N^P6的平分線的方程為y-|S=五2.一3）,即3x-2），-4=0.

故選：A.

16.已知拋物線V=2p.y（p>0）的焦點為上直線/為準線，點E在拋物線上.若點E在直線/上的射影為。,

且。在第四象限，l"Q=2p,則直線莊:的斜率為（）

A.理B.3C.eD.1

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意先確定出E點所在象限，然后作出圖示，根據(jù)歸。|的長度以及拋物線的定義確定出E點坐標，由

此可求直線斯的斜率.

【詳解】

因為E在/上的射影點。在第四象限，所以E在第一象限，設/與V軸的交點為“點，如下圖所示：

因為=|叫=2〃，所以COSNMR2=嚅1=3,所以/MFQ=60。，

又因為EQ〃y軸，所以乙0/。=/62七=60。,

又因為I樣歸國,所以△￡產(chǎn)、為等邊三角形，所以

3r

所以％=/一5，=G,所以直線E尸的斜率為乂之,

"島-033

17.“直線以+2y+4=0與直線x+(a—l)y+2=U平行”是“a=-l”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】

根據(jù)兩直線平行得到。=2或。=-1,再利用充分必要條件的定義判斷即可.

【詳解】

當直線奴+2)，+4=0與直線x+(a_l)y+2=0平行,

lx2-(a-l)a=0,

解得〃=2或a=-l,

當。=2,直線2x+2y+4=0和直線x+y+l=O重合，舍去，所以。=T.

根據(jù)充分條件、必要條件的定義可得，

“直線at+2y+4=0與直線x+(a-l)y+2=0平行”是的充分必要條件

故選：C

18.已知集合人={(乂)，)卜+少一々=0},B={(x,y)|ax+(2a+3)y_l=O卜若力0§=0，則實數(shù)。=()

A.3B.-1C.3或一1D.一3或1

【答案】A

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為“直線k十。-〃-0與直線6+（2。十3）y-1-0互相平行，由此求解出。的取值.

【詳解】

因為403=0,所以直線“+4-〃=0與直線方+（加+3）y-l=0沒有交點，

所以直線x+a）-”0與直線以+（方+3））」1=0互相平行，

所以1x（勿+3）-axa=0,解得。=一1或a=3,

當。二一1時，兩直線為：x-y+l=0,-A+y-l=0,此時兩直線重合，不滿足，

當。=3時，兩直線為：x+3y-3=0,3x+9y-l=0,此時兩直線平行，滿足，

所以。的值為3,

故選：A.

19.已知6,尸2是雙曲線■-與■目叱。，“。）的左，右焦點，過點6作斜率為正的直線/與雙曲線的左，

a'b"2

右兩支分別交于“，N兩點，以尸2為圓心的圓過M，N,則雙曲線C的離心率為（）

A.0B.百C.2D.75

【答案】B

【分析】

取MN中點A,連令由雙曲線定義及所給條件可得|Ag|=j4c2-加=血1/,

再借助直線斜率為立即可作答.

2

【詳解】

取MN中點A,連A&,由已知令I(lǐng)"居l=|N^|=機，則如圖：

因點M,N為雙曲線左右兩支上的點，由雙曲線定義得|=|"吊|-2a=m-2a,|.|二|紇|+24=〃?+2a,

則|MN|=|岫|-1M《|=4a,|MA\=2a,令雙曲線半焦距為c,

RtZXAKE中，|二町|丹瑪|=J4c2—62,RsAM八中，|傷|=金—政,

則有媾-4/=J4c2一府，即〃=2a2+2/，

因直線/的斜率為tanZ.AFF^=,而tan4月5J《：|，即|々|=，

2X2加1||A用2

窗;=：,于是有，「；"，=；，c=6a，e=-=y/3,

|44「22c~+2a~2a

所以雙曲線C的離心率為上.

故選：B

20.平行直線h&x-），-1=0和自立工->2=0與圓及產(chǎn)少-4），=0分別相交于4、B和C、。四

點，則四邊形A8OC的對角線4。的長度為（）

A.3B.2石C.36D.3yli

【答案】B

【分析】

先求出圓心到直線乙的距離和兩直線之間的距離相等且為有，AB弦長為2,然后利用勾股定理來求對角線

AD的長度.

【詳解】

由V+y2_4y=o,得/+（）,_2）2=4,所以圓心坐標為（0,2）,半徑r=2,

_|0-2-1|_廠

圓心E到直線4的距離d=J（可+-=、3,

所以（弊］+（6『=/，所以|蜴=2,

\/

過點A作4/_LCO于點尸，則|。耳=3,又4過圓心E，所以=d=G

所以|AO『=（6y+32=12,即|AD|=2點.

故選：B.

21.對圓V+y2=］上任意一點p（x,y）,若國_4,，+4_段-4〉-9|的值都與1,>無關(guān)，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.a<-5B.-5<a<5

C.aW-5或a25D.a>5

【答案】A

【分析】

將|3工-4），+4-|3工一4），一9|轉(zhuǎn)化為5|3x-；y+q」3x；y9|［然后根據(jù)幾何意義進行解題即可.

【詳解】

|3x_4y+4_|3x_4y_9|=5，，：）+4_跳：）9|等價于圓=］上任意一點P（x,y）到直線

3x-4y+a=0和直線3A4y9=0的距離的差的5倍，而距離之差與萬，丁無關(guān)，則直線3x-4），+a=0與

圓相切或相離，且與直線力-4-9=0位于圓的同側(cè)，所以4L1,即或心-5,由于直線3x-4y+a=0

與直線3x-4），-9=0位于園/+）,2=i的同側(cè)，所以。《_5

故選:A.

22.已知兩點”（1,3）、N（-2,-3）,在曲線上存在點P滿足1MH=W”的曲線方程是（）

A.2.r+4y-l=0B.x2+y2=

C.工+f=iD.￡-丁=1

22

【答案】C

【分析】

本題首先可根據(jù)|網(wǎng)=|必得出點P在線段MN的中垂線上，然后求出線段MN的中垂線方程為

2x+4y+l=0,最后依次判斷四個選項對應的曲線是否與2%+4y+l=0有交點即可得出結(jié)果.

【詳解】

因為點P滿足|網(wǎng)=|八叼，所以點尸在線段MN的中垂線上，

線段MN中點坐標為J［。］,KMY=3W=2,中垂線的斜率&=-），

\2

故線段MN的中垂線方程為1y二-3至+3,UP2x+4y+l=0,

因為由線上存在點P滿足|M"二|NH,所以曲線與2x+4,，+l=0有交點，

A項：2x+4y-1=0與2%+4），+1=0平行，A錯誤；

B項：f+y2=］,圓心為（0,0）,半徑為:，

I員I心(。,o)至IJ2x+4y+1=0的距離d=-1J=-

yli2+42105

故圓f+y2=《與2x+4｝，+l=0相離，B錯誤；

—+f=i

C項：聯(lián)立|2,整理得18y2+8y-3=0,

2x+4y+l=0

D=8?-4創(chuàng)8(-3)=280>0,有解，C正確：

J』

D項：聯(lián)立J2,整理得14y2+8y+5=0,

2x+4y+l=0

D=82.4倉445=-216<0*無解，D錯誤，

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查點的軌跡方程，能否根據(jù)|網(wǎng)=|叫得出點p在線段MN的中垂線上是解決本題的關(guān)

鍵，考查直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系，考查判別式的應用，考查計算能力，體現(xiàn)了綜合性，是中檔

題.

19

23.已知直線依->'+2攵-1=0恒過定點A,點A也在直線如:+”+2=0上，其中小，〃均為正數(shù)，則一+-

tnn

的最小值為（）

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

【分析】

先將直線方程變形得到定點A的坐標，根據(jù)點A在直線mr+〃y+2=0上確定出血〃所滿足的關(guān)系，最后根

據(jù)“1”的妙用求解出上+4的最小值.

mn

【詳解】

已知直線+2攵一1=0整理得：y+l=k（x+2）,

直線恒過定點A,即A（—2,—1）.

點A也在直線小++2=0上，

所以2加+〃=2,整理得：m+]=l，

>

由于切，〃均為正數(shù)，Wijl+-=L+-Yl+-I=1+—+—+1>2+2./—?—=4,

mn\2J^rnn)2tnnV2mn

n-2m1

m=—

〃「即2,

w+-=li

2l〃=l

故選：B.I

【點睛】

方法點睛：已知m+yb=l（x,y,a,力>0）,求（見〃>0）的最小值的方法：

將失、變形為（M+利會》將其展開可得皿+/+”吧+加吟，然后利用基本不等式可求最小值'

abxa+)方=1

即xm+yn+xn?—+ym--xm+yn+2y]xymn,取等號時｛

b-axncT-ynib2

24.已知。>0.人>0.百線4：x+(a-4)y+l=0,4：2fer+y-2=0,日4_L4.則注+上的最小值為()

a+12b

49

A.2B.4C.-D.-

55

【答案】D

【分析】

根據(jù)得到處+。-4=0,再將史）+上化為積為定值的形式后，利用基本不等式可求得結(jié)果.

【詳解】

因為乙_L4，所以力+〃-4=0,即a+l+⑦=5,

因為〃>0,b>0,所以a+l>0,2b>0,

所以

1ArIc,\,2ba+

-L±+——x-(a+l+2Z))+l=-2+---++1

。+12ba+1+2ba+\"2b'J55va+\2b

當且僅當〃=3方=彳5時，等號成立.

故選：D.

【點睛】

易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件:

（1）“一正二定三相等一正''就是各項必須為正數(shù);

（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成

積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值：

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所

求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.

25.若點Q是曲線y=x2-lnx-1上任意一點，則點尸到直線y=工-3的最小距離為（）

A.1B.也C.y/2D.2

2

【答案】C

【分析】

由已知可知曲線y=/—lnx-l在點尸處的切線與直線y=x-3平行，利用導數(shù)求出點P的坐標，利用點到

直線的距離公式可求得結(jié)果.

【詳解】

因為點P是曲線y=x2-lnx-l任意一點，所以當點尸處的切線和直線y=x-3平行時，點尸到直線的

y=x-3的距離最小，

因為直線丁=工一3的斜率等于1,曲線y=V—inx_1的導數(shù)y，=2x-1，

x

令y'=l,可得工=1或k=-；（舍去），所以在曲線y=/-inx-1與直線y=x-3平行的切線經(jīng)過的切點坐

標為（1,0），

所以點p到直線丁=工-3的最小距離為1=早=&.

V2

故選：C.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查曲線上的點到直線距離的最小值的求解，解題的關(guān)鍵在于分析出曲線在點尸處的切線

與直線平行，進而利用導數(shù)求解.

26.已知直線《：2x+ay+b=0和/”3x+3y+b+l=0,則“a=2”是“4色”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】

根據(jù)〃=2和"〃2的互相推出情況確定出“0=2”是“"〃2”的何種條件，求解時注意分析兩直線重合的情況.

【詳解】

當4=2時，li：2x+2y+b=0,4：3%+3y+力+1=0,若方=2,此時44重合，所以充分性不滿足：

當時，2x3=3xa且2（6+1）工3b,所以。=2且力工2,所以必要性滿足，

所以％=2”是“"4”的必要不充分要條件，

故選：B.

【點睛】

結(jié)論點睛：已知4：A%+4），+q=0,4：4r+Ay+G=0；

若帆,則有A員一4片=0月.AC2-4C產(chǎn)0.

27.已知點P在曲線y=4叵上，。為曲線在點P處的切線的傾斜角，則。的取值范圍是（）

e+1

（八江］c「加7rl廠（兀2乃］r「24）

A.0,—B.—C.—D.

I3」［32）123」L3）

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線斜率的取值范圍，再根據(jù)傾斜角與斜率之間的關(guān)系求得傾斜角的取值范

圍.

【詳解】

.，［~4庇-4上

因為）‘―西『一:7與，

由于"+4+2工4,

e

所以

根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知：tan1-73,0）,

所以-，乃）,

故選：D.

【點睛】

導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的

考查主要從以下幾個角度進行：（1）考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系.（2）利用導數(shù)

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù).（3）利用導數(shù)求函數(shù)的最值（極值），解決生活中的

優(yōu)化問題.(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用.

二、填空題

10

28.設是正數(shù)，若兩直線4：(6-1)%+(3-2〃?)"1=0(〃7的和/2：水+外+2=0恒過同一定點，則；+,

的最小值為.

【答案】4

【分析】

根據(jù)直線4方程求出4所過定點坐標，將定點坐標代入4的方程可得物+人=2,將!+>3(2”+3仁+。

展開利用基本不等式即可求解.

【詳解】

百?線4的方程可化為乙：小(工一2｝，)一工+3)葉1=0.

顯然該直線恒過兩直線1-2丁=0和T+3J+I=0的交點,

x-2y=0x=-2

可得?

T+3），+1=0

所以直線小(加一1)1+(3-竊z)y+l=0(meR)恒過點(-2,T),

所以點(-ZT)也在直線4上，故-加-b+2=0,即加+8=2.

因為明方是正數(shù)，所以

2a+b=2

當且僅當4ab，即4=!，b=l時等號成立，

—=—2

ba

故答案為：4.

29.在三棱錐產(chǎn)一ABC中，PALAB,PA=4,PC=2,AB=3t二面角尸-AB-C的大小為30°,在側(cè)面△A48

內(nèi)(含邊界)有一動點M,滿足到PA的距離與到平面48C的距離相等，則動點M的軌跡的長度為

【答窠】卓

【分析】

如圖，先作出二面角尸-AB-C的平面角NMQO,進而得到MQ=2MN,再建立如圖所示的平面直角坐標

系，可得直線AM的方程為)=2x,從而求出M的軌跡的長度.

【詳解】

解：如圖，過“作的V_LPA于N.MO_L平面于O.

過0作OQJ.A8于Q,連接M。，

則NMQO為二面角尸-AB-C的平面角，

由NMQO=30°,

得MQ=2MO.

又MO=MN,所以MQ=2MN,

在△AAB中，以A8所在直線為x軸，在所在直線為丁軸建立平面直角坐標系,

則直線40的方程為y=2x,

直線M的方程為4x+3y—12=0,

所以百線AM與依的交點坐標為幻|.裝)，

所以M的軌跡為線段AR,

長度為槨2+單二竿.

故答案為：竽.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵為利用二面角得出結(jié)論MQ=2MN后建立平面直角坐標系求解，方法比較少見，利

用直角坐標系求得直線總的方程后順利求得宜線AM與總的交點坐標，將問題轉(zhuǎn)化為求線段4R得長度,

問題解決.

30.已知函數(shù)f(x)=lnx+f,點。為函數(shù)〃力圖象上一動點，貝”到直線J=3x-4距離的最小值為

.(注In2之0.69)

【答案】典

5

【分析】

求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線與已知直線平行時切點坐標，然后轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離即

可求解.

【詳解】

解：j'(x)=—(x>0),

與直線y=3x-4平行的切線斜率A=3=2+2x,解得X=1或X=

x2

當x=l時，/(1)=1，即切點為(U)，

此時點P到直線。=34-4的距離為d」3-匚4|=典;

V105

當x=g時,卜2,即切點為e，：7n2)

3I...]]

此時點P到直線y=3x-4的距離為d=5一*+加2-4彳―11120j41n2)后二國,

M-M-405

故答窠為：乎.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)/(力圖象上與上知直線平行的切線的

切點到直線y=3x-4的距離.

31.已知產(chǎn)為拋物線V=2x的焦點，4。,2),點尸在拋物線上且滿足抨'=24若這樣的點尸有且只有一個，

則實數(shù)〃的值為.

【答案】土;

【分析】

設P(2凡2f),根據(jù)。尸=%，由兩點間的距離公式化簡可得(2-44)產(chǎn)一&+"+?=0,由題意此方程有且

只有一解，最后利用解方程的知識即可求解.

【詳解】

解：由題意，嗚‘°)，設戶"力)，

由P產(chǎn)=R4可得2/+?!■=2/-a—Q-2>,即(2-44r-8/+?2+—=0,

24

2—4a40

因為這樣的點P有且只有一個，所以2-%=0或A八，

A=0

即。=不或一=2,

2184-46+30。+17=0

由84-4/+30a+17=(24+1)(4/一40+17)=0,解得〃=一(，

綜上，d—i—.

故答案為：士;.

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為方程(2-40/-8，+/+：=0有且只有一解

4

三、解答題

32.已知橢圓C：W+g=l(〃>b>0)的上頂點A與下頂點8在直線/：X-2丁+1=0的兩側(cè)，且點8到/的

a"b~

距離是A到/的距離的3倍.

(I)求6的值；

(II)設C與/交于P,。兩點，求證：直線3尸與BQ的斜率之和為定值.

【答案】(I)b=l；(II)證明見解析.

【分析】

(I)由點到直線的距離公式即求；

(II)由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理法即可證明.

【詳解】

(I)由橢圓的方程可得A(0,b),8(0,-b),

由題意可得噲"=3x上等1，解得力=1或力=；.

當6時，點A,B都在直線/的下方，不符合題意，

4

故b=l.

V2T

(II)聯(lián)立'消去y可得(4+/卜2+2々2彳-3/=0,

x-2y+l=0,

設P(.%y)，。(毛，必)，則百+巧=一盧^,中2=一：^」.

4+“~4+a

直線5尸與8。的斜率之和

..1313"

k_凹+1])'2+13%+弓3*2+3_[43(I1113x+x,,34+/八

KRP+KBQ—+_22,22—1+~—+—=i+-x-!——==]+f4+g=2.

X.x------------+-----------21X1占J2%占23a

?2演七1

4+a2

因此直線BP與BQ的斜率之和為定值2.

33.如圖所示，已知橢圓C：m+m=1與直線/：=l.點P在直線/上，由點P引橢圓。的兩條切線

6363

（1）若點尸為直線/與）'軸的交點，求△PA8的面積S；

（2）若QD_LAB,。為垂足，求證：存在定點。，使得|力。為定值.

【答案】（1）4；（2）口。|=孝，證明見解析.

【分析】

（1）設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)△=（）,求出直線的斜率，從而求切點坐標，根據(jù)切點坐標判斷出

△PAB為直角三角形，從而求△P48的面積.

⑵先寫出切線方程E4和PB,根據(jù)切線方程求出直線AB的方程及直線AB過的定點T,從而判斷出OT的

中點為點Q.

【詳解】

⑴由題意易知P（0.3）,顯然過點P與橢圓相切的直線斜率存在，設切線方程為丁=米+3,

22

x2>1-1

與橢圓方程聯(lián)立彳+彳二，消y并整理得（1+2公卜2+123+12=0,

y=kx+3

由A=（12kf—4x（l+2公）xl2=0得4=±1,即切線方程為y=±x+3,

此時切點坐標為A（-2,1）,8（2,1）,易知△PA3為直角三角形，|網(wǎng)=|尸網(wǎng)=20,

所以附?|PB|=4.

⑵設A（X],y）,鞏孫力），則切線R4為邛+與^=1,切線PA為=1,

6363

設尸5，%）,則華+曄L=l,箋+孽=1,

6363

所以直線AB的方程為竽+岑=1-------①

63

又點P（%,%）在直線，9+V=1上,所以今+等=1,即*=1-＞，

63633O

代入①，得等+（1-亳卜1，即%（＞y）+6（y—1）=0,

所以直線過定點了（覃），又因為瓦所以點D在以07為直徑，Q（g,；）為圓心的定圓上，所以|區(qū)

為定值，且卬。|=孝.

34.如圖，某市一學?！拔挥谠撌谢疖囌尽１逼珫|45。方向，且。月=4后km,已知OM,0N是經(jīng)過火車

站。的兩條互相垂直的筆直公路，CE,Q夕及圓弧C。都是學校道路，其中CE〃?！埃珼F//ON,以學?！?/p>

為圓心，半徑為2km的四分之一圓弧分別與CE,。產(chǎn)相切于點C,D當?shù)卣顿Y開發(fā)區(qū)域發(fā)展

經(jīng)濟，其中4,8分別在公路OM,ON上，且A8與圓弧CO相切，設/04?=/△A08的面積為Skm?.

（1）求S關(guān)于。的函數(shù)解析式；

（2）當。為何值時，aAOB面積S為最小，政府投資最低?

【答窠】⑴5=2[2（"+一聯(lián)1了（4⑵e吟

sinJcos。\2）4

【分析】

（1）以點0為坐標原點建立適當坐標系，根據(jù)直線AB與圓H相切構(gòu)建/與6之間的關(guān)系，再根據(jù)向AABO

中。4=/cosaOB=/sin。，即計算得5的解析式；