天津市河?xùn)|區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)含答案

河?xùn)|區(qū)2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：（本題共9個小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.若，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件3.函數(shù)圖象大致為（）A. B.C. D.4.某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進行賦分，目的是為了更好地對新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成績進行橫向?qū)Ρ龋?jīng)過對全校300名學(xué)生的成績統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績大于等于60分的人數(shù)為（）A.270 B.240 C.180 D.1505.已知，，，則這三個數(shù)的大小順序是（）A. B. C. D.6.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最小正周期為D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到8.拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，點是曲線的交點，點在拋物線的準(zhǔn)線上，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為A B. C. D.9.已知且，則的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為________11.在展開式中，的系數(shù)是______．12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，且，則的值為______．13.某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率______；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率______．14.在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為______；若是腰上的動點，則的最小值為______．15.已知函數(shù)，若有三個不等零點，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：（本大題5個題，共75分）16.內(nèi)角的對邊分別為，已知，．（1）求；（2）若，求．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的正弦值.18.已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交于點M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和．記，求；（3）求．20.已知函數(shù)與為函數(shù)的極值點．（1）求的值；（2）求在點處的切線方程；（3）若恒成立，求實數(shù)取值范圍．河?xùn)|區(qū)2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測高三數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：（本題共9個小題，每小題5分，共45分．每小題給出的四個選項只有一個符合題目要求）1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集、補集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.2.若，則“”是“”成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】由，解得，由，解得，所以“”是“”成立的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖象大致為（）A B.C D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除兩個選項，再取一個特殊值即可得到正確選項即可.【詳解】由可得：是奇函數(shù)，故A,B是錯誤的；又由，故D是錯誤的；故選：C.4.某校根據(jù)學(xué)生情況將物理考試成績進行賦分，目的是為了更好地對新高考改革中不同選科學(xué)生的考試成績進行橫向?qū)Ρ?，?jīng)過對全校300名學(xué)生的成績統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這些同學(xué)物理成績大于等于60分的人數(shù)為（）A.270 B.240 C.180 D.150【答案】B【解析】【分析】根據(jù)頻率之和為1得到方程，求出，進而求出物理成績大于等于60分的人數(shù).【詳解】，解得，故物理成績大于等于60分的人數(shù)為.故選：B.5.已知，，，則這三個數(shù)的大小順序是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可以得出，然后即可得出，，的大小順序．【詳解】解：，，，．故選：．【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，考查了計算和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖，正三棱柱的底面邊長為1，高為3，已知為棱的中點，分別在棱上，，記四棱錐，三棱錐與三棱錐的體積分別為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件分別計算出的值，即可求解.【詳解】由題意知：，，.，，.故選：C.7.已知函數(shù)，則下列說法中，正確的是（）A.的最小值為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的最小正周期為D.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到【答案】D【解析】【分析】根據(jù)選項的內(nèi)容，我們可以利用輔助角公式把函數(shù)解析式化為余弦型函數(shù)形式，結(jié)合余弦型函數(shù)的最值性質(zhì)、單調(diào)性性質(zhì)、最小正周期公式、圖象平移的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】.A：當(dāng)時，即當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，所以本選項說法不正確；B：由，顯然不是的子集，所以本選項說法不正確；C：的最小正周期為，因此本選項說法不正確；D：的圖象向右平移個單位得到，所以本選項說法正確，故選：D8.拋物線的焦點是雙曲線的右焦點，點是曲線的交點，點在拋物線的準(zhǔn)線上，是以點為直角頂點的等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由題和拋物線的性質(zhì)求得點P的坐標(biāo)和雙曲線的半焦距c的值，再利用雙曲線的定義可求得a的值，即可求得離心率.【詳解】由題意知，拋物線焦點，準(zhǔn)線與x軸交點，雙曲線半焦距，設(shè)點是以點為直角頂點的等腰直角三角形，即，結(jié)合點在拋物線上，所以拋物線的準(zhǔn)線，從而軸，所以，即故雙曲線的離心率為故選A【點睛】本題考查了圓錐曲線綜合，分析題目，畫出圖像，熟悉拋物線性質(zhì)以及雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.9.已知且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將變形為，借鑒“1”的妙用的處理方式，以及基本不等式求解即可.【詳解】因為，故；當(dāng)且僅當(dāng)，且，也即，且時取得等號.故的最小值為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題處理的關(guān)鍵是能夠觀察到三者之間的關(guān)系，同時要熟練掌握“”的妙用的處理方式.二、填空題（本大題共6個小題，每小題5分，共30分）10.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為________【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算直接化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)定義可得解.【詳解】，所以復(fù)數(shù)的虛部為.故答案為：.11.在的展開式中，的系數(shù)是______．【答案】【解析】【分析】寫出已知二項式展開式的通項，進而寫出對應(yīng)項，即可得系數(shù).【詳解】已知二項式的展開式通項公式為，，令，可得，則.故答案為：12.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線交于兩點，且，則的值為______．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)題意得到，再利用勾股定理求出，由圓心到準(zhǔn)線的距離可得答案.【詳解】設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為，連接，拋物線準(zhǔn)線與軸交于點，則，所以，所以圓心到準(zhǔn)線的距離為，解得，或（舍去）.故答案為：4.13.某廠產(chǎn)品有的產(chǎn)品不需要調(diào)試就可以出廠上市，另的產(chǎn)品經(jīng)過調(diào)試以后有能出廠，則該廠產(chǎn)品能出廠的概率______；任取一出廠產(chǎn)品，求未經(jīng)調(diào)試的概率______．【答案】①.②.【解析】【分析】答題空一：根據(jù)題意設(shè)出事件，利用全概率公式即可求解；答題空二：利用空一結(jié)果，根據(jù)貝葉斯公式即可求解.【詳解】設(shè)事件表示產(chǎn)品能出廠上市，事件表示產(chǎn)品不需要調(diào)試，表示產(chǎn)品需要調(diào)試，則有，，，，由全概率公式可得：；由貝葉斯公式可得：.故答案為：；14.在等腰梯形中，，是腰的中點，則的值為______；若是腰上的動點，則的最小值為______．【答案】①.?8②.【解析】【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標(biāo)系，得到，求出，設(shè)，，故，求出，故，從而得到最小值.【詳解】過點作⊥于點，因為等腰梯形中，，所以，由勾股定理得，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，是腰的中點，故，所以，設(shè)，，，則，故，，故，，故，故當(dāng)時，取得最小值，最小值為.故答案為：?8，15.已知函數(shù)，若有三個不等零點，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)有三個不等零點轉(zhuǎn)化為方程有三個不等實根.分兩種情況討論：當(dāng)時，，令，結(jié)合的單調(diào)性討論根的情況；當(dāng)時，得，當(dāng)時，顯然方程無實根；當(dāng)時，，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】由有三個不等零點，等價于有三個不等實根，當(dāng)時，，由，得，即，令，由于在上單調(diào)遞增，故，故當(dāng)時，方程無實根；當(dāng)時，方程在上有一實根．當(dāng)時，，由，得當(dāng)時，顯然方程無實根；當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，所以0,2上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；即當(dāng)時，函數(shù)取得極大值；；當(dāng)時，；當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如圖，要使有三個不等實根，需滿足：在上有一實根，在上有兩個實根．由圖可知與的圖象有兩個交點時，，即，綜上，，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于零點問題常轉(zhuǎn)化成方程根的個數(shù)問題，分離常數(shù)后構(gòu)造函數(shù)，討論單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合利用兩函數(shù)圖像的交點得到參數(shù)的范圍.三、解答題：（本大題5個題，共75分）16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知，．（1）求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正余弦定理角化邊即可得出答案；（2）先利用余弦定理求出,再根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系求出，以及二倍角公式求出和，最后再根據(jù)正弦的差角公式即可得出答案.【小問1詳解】因為，由余弦定理有：，所以；因為，由正弦定理得：，所以，所以．【小問2詳解】因為，所以，，．17.如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為中點，點在線段上，且.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知寫出、、的坐標(biāo)，由點坐標(biāo)可得，，的坐標(biāo)，即有，，根據(jù)線面垂直的判定即可證平面；（2）由已知點坐標(biāo)及，可寫出、的坐標(biāo)，進而求面的一個法向量，根據(jù)直線方向向量與平面法向量夾角的坐標(biāo)表示，求直線與平面所成角的正弦值；（3）由坐標(biāo)系易知為平面的法向量，結(jié)合（2）所得法向量，根據(jù)兩個平面法向量夾角的坐標(biāo)表示，即可求二面角的余弦值，進而求其正弦值．【小問1詳解】證明：如圖，以為原點，分別以，為軸，軸,過D作AP平行線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，得，，，所以，，即，，又，所以平面；【小問2詳解】解：由可是，由，可得，所以，設(shè)為平面的法向量，則不妨設(shè)，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，所以，則直線與平面所成角的正弦值為；【小問3詳解】解：因為為平面的法向量，設(shè)二面角的大小為，所以，所以.則二面角的正弦值為．18.已知橢圓一個頂點，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（1）求橢圓E的方程；（2）過點P(0，-3)的直線l斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B，C，直線AB，AC分別與直線交于點M，N，當(dāng)|PM|+|PN|≤15時，求k的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及四個頂點圍成的四邊形的面積可求，從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)，求出直線的方程后可得的橫坐標(biāo)，從而可得，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理化簡，從而可求的范圍，注意判別式的要求.【詳解】（1）因為橢圓過，故，因為四個頂點圍成的四邊形的面積為，故，即，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)，因為直線的斜率存在，故，故直線，令，則，同理.直線，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，綜上，或.19.設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，．（1）求和的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和．記，求；（3）求．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知及等差、等比數(shù)列的通項公式求基本量，進而寫出和的通項公式；（2）根據(jù)已知有，結(jié)合（1）即可得；（3）應(yīng)用錯位相減法、等比數(shù)列前n項和公式求和.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列，公比大于0，其前n項和為．已知，所以，解得，則，由于，所以，，解得，則.【小問2詳解】由（1）知：，所以，所以.【小問3詳解】由（2）得，設(shè)，所以①，②，①②得：，整理得.20.已知函數(shù)與為函數(shù)的極值點．（1）求的值；（2）求在點處的切線方程；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】(1)根據(jù)極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得，解得答案；(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線斜率，點斜式得切線方程；(3)由參變分離得，利用