【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2雙基限時(shí)練9

雙基限時(shí)練(九)1．把長(zhǎng)度為8的線段分成四段，圍成一個(gè)矩形，矩形面積的最大值為()A．2 B．4C．8 D．以上都不對(duì)解析由閱歷知，矩形的周長(zhǎng)肯定時(shí)，正方形面積最大，所以最大面積為2×2＝4.答案B2．正三棱柱體積是V，當(dāng)其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)a為()A.eq\r(3,V) B.eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V) D．2eq\r(3,V)解析設(shè)正三棱柱的高為h，則V＝eq\f(1,2)a2sin60°·h＝eq\f(\r(3),4)a2h，∴h＝eq\f(4V,\r(3)a2).則正三棱柱的表面積S＝2·eq\f(\r(3),4)a2＋3ah＝eq\f(\r(3),2)a2＋3a·eq\f(4V,\r(3)a2)＝eq\f(\r(3),2)a2＋eq\f(4\r(3)V,a)，∴S′＝eq\r(3)a－eq\f(4\r(3)V,a2)，令S′＝0，得a＝eq\r(3,4V).答案C3．某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)量是()A．100 B．150C．200 D．300解析當(dāng)0≤x≤400時(shí)，Q(x)＝400x－eq\f(1,2)x2－20000－100x＝－eq\f(1,2)x2＋300x－20000.Q′(x)＝－x＋300.令Q′(x)＝0，得x＝300.答案D4．一窗戶的上部是半圓，下部是矩形，假如窗戶面積為S，為使窗戶周長(zhǎng)最小，用料最省，圓的半徑應(yīng)為()A.eq\r(\f(3S,π＋4)) B.eq\r(\f(S,π＋4))C.eq\r(\f(2S,π＋4)) D．2eq\r(\f(S,π＋4))解析設(shè)圓半徑為x，矩形的高記作h，那么窗戶面積S＝eq\f(π,2)x2＋2hx.窗戶周長(zhǎng)為l(x)＝πx＋2x＋2h＝eq\f(π,2)x＋2x＋eq\f(S,x).令l′(x)＝eq\f(π,2)＋2－eq\f(S,x2)＝0，解得x＝eq\r(\f(2S,π＋4))(舍去負(fù)值)，∵l(x)只有一個(gè)極值，因此x＝eq\r(\f(2S,π＋4))為最小值點(diǎn)．答案C5．某銀行預(yù)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)猜測(cè)，存款量與存款利率成正比，比例系數(shù)為k(k>0)，貸款的利率為4.8%，假設(shè)銀行吸取的存款能夠全部貸出去．若存款利率為x(x∈(0,0.048))，則存款利率為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益為()A．0.012 B．0.024C．0.032 D．0.036解析由題意知，存款量g(x)＝kx(k>0)，銀行應(yīng)支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0,0.048)．設(shè)銀行可獲得收益為y，則y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx.令y′＝0，得x＝0.024.依題意知，y在x＝0.024處取得最大值．答案B6．四川地震災(zāi)區(qū)在黨的領(lǐng)導(dǎo)下樂(lè)觀恢復(fù)生產(chǎn)，重建家園時(shí)，某工廠需要建一個(gè)面積為512m2解析設(shè)矩形堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(512,x)m，所用材料f(x)＝x＋eq\f(1024,x)，f′(x)＝1－eq\f(1024,x2).令f′(x)＝0，得x＝32，寬為16.答案32m16m7．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)，若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)_______．解析設(shè)甲地銷(xiāo)售x輛，則乙地銷(xiāo)售(15－x)輛．總利潤(rùn)L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2.∴當(dāng)x＝10時(shí)，L有最大值45.6.答案45.6萬(wàn)元8．某公司規(guī)定：對(duì)于小于或等于150件的訂購(gòu)合同，每件售價(jià)為200元，對(duì)于多于150件的訂購(gòu)合同，每超過(guò)一件則每件售價(jià)比原來(lái)削減1元，當(dāng)公司的收益最大時(shí)訂購(gòu)件數(shù)為_(kāi)_______．解析設(shè)銷(xiāo)售額為y，銷(xiāo)售件數(shù)為x，則y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200xx≤150，x∈N，,x·[200－x－150]x>150，x∈N.))令g(x)＝x·[200－(x－150)]＝350x－x2，g′(x)＝350－2x.解y′(x)＝0，得x＝175.易知，當(dāng)x＝175時(shí)，g(x)有最大值30625.答案1759．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購(gòu)進(jìn)一批商品．若該商品零售價(jià)定為p元，則銷(xiāo)售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170p－p2.問(wèn)該商品零售價(jià)定為多少時(shí)毛利潤(rùn)L最大，并求出最大毛利潤(rùn)．(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)貨支出)解設(shè)毛利潤(rùn)為L(zhǎng)(p)，由題意知L(p)＝p·Q－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，L′(p)＝－3p2－300p＋11700，令L′(p)＝0，解得p＝30，或p＝－130(舍去)．此時(shí)，L(30)＝23000.由于在p＝30四周的左側(cè)L′(p)>0，右側(cè)L′(p)<0，所以L(30)是極大值，依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義知，L(30)是最大值，即零售價(jià)定為每件30元時(shí)，最大毛利潤(rùn)為23000元．答：該商品零售價(jià)定為每件30元時(shí)，毛利潤(rùn)最大，最大毛利潤(rùn)為23000元．10．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使體積最大，求圓錐的高．解如圖．設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，于是h2＋r2＝202，∴r＝eq\r(400－h(huán)2).∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π(400－h(huán)2)·h＝eq\f(1,3)π(400h－h(huán)3)．∴V′＝eq\f(1,3)π(400－3h2)．令V′＝0，解得h＝eq\f(20\r(3),3).當(dāng)0<h<eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′>0.當(dāng)h>eq\f(20\r(3),3)時(shí)，V′<0.∴h＝eq\f(20\r(3),3)時(shí)，圓錐形漏斗體積最大．11．某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，方案在該地塊上建筑一棟至少10層，每層2000平方米的樓房，經(jīng)測(cè)算，假如將樓房建為x(x≥10)層，那么每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝eq\f(購(gòu)地總費(fèi)用,建筑總面積))解設(shè)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用為f(x)元，則f(x)＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x).f′(x)＝48－eq\f(10800,x2).令f′(x)＝0，得x＝15.當(dāng)x>15時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)0<x<15時(shí)，f′(x)<0，因此，當(dāng)x＝15時(shí)，f(x)取最小值f(15)＝2000.答：為了樓房每平方米的綜合費(fèi)用最少，該樓房應(yīng)建為15層．12．某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距m米．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最??？解(1)設(shè)需新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，則n＝eq\f(m,x)－1，∴y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256(eq\f(m,x)－1)＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256,x)m＋meq\r(x)＋2m－256.(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2