2021高中數(shù)學(xué)(人教A版)選修2-2課時(shí)作業(yè)24

課時(shí)作業(yè)(二十四)一、選擇題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n－1)<n(n∈N*且n>1)第一步驗(yàn)證n＝2時(shí)，左邊計(jì)算所得項(xiàng)為()A．1 B．1＋eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)答案D解析當(dāng)n＝2時(shí)，左邊最終一項(xiàng)為eq\f(1,22－1)＝eq\f(1,3).2．設(shè)f(n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)，則f(k＋1)－f(k)等于()A.eq\f(1,2k＋1－1)B.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋1－1)C.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1－1)D.eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1)答案D解析n＝k時(shí)，f(k)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1).n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k－1)＋eq\f(1,2k)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).∴f(k＋1)－f(k)＝eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1－1).3．假如命題P(n)對(duì)n＝k成立，那么它對(duì)n＝k＋2也成立，若P(n)對(duì)n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是()A．P(n)對(duì)全部正整數(shù)n都成立B．P(n)對(duì)全部正偶數(shù)n都成立C．P(n)對(duì)全部正奇數(shù)n都成立D．P(n)對(duì)全部自然數(shù)n都成立答案B4．用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).由n＝k到n＝k＋1時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上()A.eq\f(1,2k＋1) B．－eq\f(1,2k＋1)C.eq\f(1,2k＋1) D.eq\f(1,2k＋1)－eq\f(1,2k＋2)答案D5．若凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n＋1邊形的對(duì)角線的條數(shù)f(n＋1)為()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2答案C二、填空題6．設(shè)S(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n2)，則S(n)有________項(xiàng)，S(2)＝________.答案n2－n＋1；eq\f(13,12)解析應(yīng)用等差數(shù)列通項(xiàng)公式的變形公式：d＝eq\f(an－am,n－m)即得項(xiàng)數(shù)；S(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(13,12).7．用數(shù)學(xué)歸納法證明3n>n3(n≥3，n∈N*)第一步應(yīng)驗(yàn)證________．答案n＝3時(shí)是否成立解析n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n＝3是否成立．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,n＋12)>eq\f(1,2)－eq\f(1,n＋2).假設(shè)n＝k時(shí)，不等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)推證的目標(biāo)不等式是________．答案eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3)解析觀看不等式中的分母變化知，eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,k2)＋eq\f(1,k＋12)＋eq\f(1,k＋22)>eq\f(1,2)－eq\f(1,k＋3).三、解答題9．用數(shù)學(xué)歸納法證明(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,n＋2))＝eq\f(2,n＋2)(n∈N*)．證明(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，右邊＝eq\f(2,1＋2)＝eq\f(2,3)，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))＝eq\f(2,k＋2).當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(1－eq\f(1,3))(1－eq\f(1,4))(1－eq\f(1,5))…(1－eq\f(1,k＋2))(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2,k＋2)(1－eq\f(1,k＋3))＝eq\f(2k＋2,k＋2k＋3)＝eq\f(2,k＋3).所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)(2)可知，對(duì)于任意n∈N*等式都成立．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明12－22＋32－42＋52－…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．解析(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝12－22＝－3，右邊＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2＝－2k2－5k－3＝－(k＋1)(2k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]．即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．由(1)(2)可知，對(duì)任意n∈N*，等式成立．11．已知x>－1，且x≠0，n∈N*，且n≥2.求證：(1＋x)n>1＋nx.證明(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x.∵x2>0，∴原不等式成立．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.當(dāng)n＝k＋1時(shí)，∵x>－1，∴1＋x>0.于是左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2，右邊＝1＋(k＋1)x.∵kx2>0，∴左邊>右邊，即(1＋x)k＋1>1＋(k＋1)x.這就是說(shuō)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)原不等式也成立．依據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)都成立．12．已知Sn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n>1，n∈N*)．求證：S2n>1＋eq\f(n,2)(n≥2，n∈N*)．證明(1)當(dāng)n＝2時(shí)，S2n＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＝eq\f(25,12)>1＋eq\f(2,2)，即n＝2時(shí)命題成立．(2)設(shè)n＝k時(shí)命題成立，即S2k＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)>1＋eq\f(k,2)，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，S2k＋1＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2k)＋eq\f(1,2k＋1)＋…＋eq\f(1,2k＋1)>1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2k＋1)＋eq\f(1,2k＋2)＋…＋eq\f(1,2k＋1)>1＋eq\f(k,2)＋eq\f(2k,2k＋2k)＝1＋eq\f(k,2)＋eq\f(1,2)＝1＋eq\f(k＋1,2)，故當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立．由(1)(2)知，對(duì)n∈N*，n≥2，S2n>1＋eq\f(n,2)等式都成立．?重點(diǎn)班·選做題13．若不等式eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(a,24)對(duì)一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論．分析這是一個(gè)探究性問(wèn)題，先用歸納法探求a的最大值，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)一切的正整數(shù)n，不等式都成立．解析當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(1,1＋1)＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,3＋1)>eq\f(a,24)，即eq\f(26,24)>eq\f(a,24)，∴a<26，又a∈N，∴取a＝25，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n＋1)>eq\f(25,24).(1)當(dāng)n＝1時(shí)，已證．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，eq\f(1,k＋1)＋eq\f(1,k＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)>eq\f(25,24)成立．當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有eq\f(1,k＋1＋1)＋eq\f(1,k＋1＋2)＋…＋eq\f(1,3k＋1)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋3)＋eq\f(1,3k＋1＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k＋1)＋\f(1,k＋2)＋…＋\f(1,3k＋1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3k＋2)＋\f(1,3k＋3)＋\f(1,3k＋4)－\f(1,k＋1)))>eq\f(25,24)＋eq\f(1,3k＋2)＋eq\f(1,3k＋4)－eq\f(2,3k＋1).∵eq\f(1,3k＋2)