全程方略2021屆高考數(shù)學(xué)專項精析精煉：2014年考點(diǎn)43-曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用

溫馨提示：此題庫為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標(biāo)滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？键c(diǎn)43曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、解答題1.（2022·安徽高考文科·Ｔ21）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的周長為16，求；若，求橢圓的離心率.【解題提示】（1）利用橢圓的定義求解；（2）設(shè)，用k表示利用余弦定理解得出等腰，從而得到a,c的關(guān)系式?！窘馕觥浚?）由，得，由于的周長為16，所以由橢圓定義可得，故。（2）設(shè)，則k>0,且由橢圓定義可得在中，由余弦定理可得即，化簡可得，而a+k>0,故a=3k,于是有，因此,故為等腰直角三角形，從而。2.（2022·安徽高考理科·Ｔ19）如圖，已知兩條拋物線和，過原點(diǎn)的兩條直線和，與分別交于兩點(diǎn)，與分別交于兩點(diǎn).證明：；(2)過原點(diǎn)作直線（異于，）與分別交于兩點(diǎn)。記與的面積分別為與,求的值.【解題提示】（1）設(shè)出兩條直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，利用向量證明平行關(guān)系；（2）利用兩個相像三角形的面積比等于相像比的平方進(jìn)行求解?！窘馕觥浚?）設(shè)直線的方程分別為，則由，由，同理可得，所以=，=故=，所以。由（1）知，同理可得，，所以，因此,又由（1）中的=知，故3.（2022·四川高考理科·Ｔ20）已知橢圓C：（）的焦距為4，其短軸的兩個端點(diǎn)與長軸的一個端點(diǎn)構(gòu)成正三角形．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線上任意一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q．=1\*GB3①證明：OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；=2\*GB3②當(dāng)最小時，求點(diǎn)T的坐標(biāo).【解題提示】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【解析】（1）依條件，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)，，，又設(shè)中點(diǎn)為，=1\*GB3①由于，所以直線的方程為：，，所以，于是，，所以．由于，所以，，三點(diǎn)共線，即OT平分線段PQ（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．=2\*GB3②，，所以，令（），則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“”），所以當(dāng)最小時，即或，此時點(diǎn)T的坐標(biāo)為或.4.（2022·四川高考文科·Ｔ20）已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，過作的垂線交橢圓于，．當(dāng)四邊形是平行四邊形時，求四邊形的面積．【解題提示】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解力量、推理論證力量，考查數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想.【解析】（1）依條件，且，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），則直線的斜率.當(dāng)時，直線的斜率，直線的方程是.當(dāng)時，直線的方程是，也符合的形式.設(shè)，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，得.消去，得.其判別式>.所以，，.由于四邊形是平行四邊形，所以,即.所以.解得.此時四邊形的面積.5.（2022·重慶高考文科·Ｔ21）如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，的面積為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)是否存在設(shè)圓心在軸上的圓,使原在軸的上方與橢圓有兩個交點(diǎn),且圓在這兩個交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點(diǎn)?若存在,求出圓的方程,若不存在,請說明理由.【解題提示】(1)直接依據(jù)橢圓的定義及題設(shè)條件可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直接設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)然后依據(jù)橢圓與圓的對稱性列出方程組求解.【解析】(1)設(shè)其中由得從而故從而由得因此所以故因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）如圖，設(shè)圓心在軸上的圓與橢圓相交，是兩個交點(diǎn)，是圓的切線，且由圓和橢圓的對稱性，易知，由（1）知所以再由得由橢圓方程得即解得或當(dāng)時，重合，此時題設(shè)要求的圓不存在.當(dāng)時,過分別與垂直的直線的交點(diǎn)即為圓心設(shè)由得而故圓的半徑綜上,存在滿足題設(shè)條件的圓,其方程為

6.（2022·湖北高考理科·Ｔ21）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)M的軌跡為C.求軌跡為C的方程設(shè)斜率為k的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)，兩個公共點(diǎn)，三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍?！窘忸}指南】（Ⅰ）設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，直接由題意列等式，整理后即可得到M的軌跡C的方程；

（Ⅱ）設(shè)出直線l的方程為，和（Ⅰ）中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程，求出判別式，再在直線y-1=k（x+2）中取y=0得到，然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x0＜0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)點(diǎn),依題意得，即化簡整理得故點(diǎn)的軌跡的方程為。（Ⅱ）在點(diǎn)的軌跡中，記依題意，可設(shè)直線的方程為由方程組，可得①（1）當(dāng)時，此時，把帶入軌跡的方程，得故此時直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)（2）當(dāng)時，方程①的判別式②設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，則由，令，得③（?。┤簦散冖劢獾?，或。即當(dāng)時，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)。（ⅱ）若或由②③解得，或。即當(dāng)時，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)，當(dāng)時，直線與只有兩個公共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn)故當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)。（ⅲ）若由②③解得，或即當(dāng)時，直線與有兩個公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)故此時直線與軌跡恰好有三個公共點(diǎn)。綜合（1）（2）可知，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有三個公共點(diǎn)。7.(2022·湖北高考文科·T13)(本小題滿分14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程.(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍.【解題指南】(1)設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo),直接由題意列等式,整理后即可得到M的軌跡C的方程.(2)設(shè)出直線l的方程為y-1=k(x+2),和(1)中的軌跡方程聯(lián)立化為關(guān)于y的一元二次方程,求出判別式,再在直線y-1=k(x+2)中取y=0得到x0=-QUOTE,然后分判別式小于0、等于0、大于0結(jié)合x0<0求解使直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)、兩個公共點(diǎn)、三個公共點(diǎn)時k的相應(yīng)取值范圍.【解析】(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即,化簡整理得y2=2(|x|+x).故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2=QUOTE(2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2).由方程組QUOTE可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①①當(dāng)k=0時,此時y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=QUOTE.故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn)QUOTE.②當(dāng)k≠0時,方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).②設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-QUOTE.③(ⅰ)若QUOTE由②③解得k<-1,或k>QUOTE.即當(dāng)k∈(-∞,-1)∪QUOTE∪{0}時,直線l與C1沒有公共點(diǎn),與C2有一個公共點(diǎn),故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn).(ⅱ)若QUOTE或QUOTE由②③解得k∈QUOTE,或-QUOTE≤k<0.即當(dāng)k∈QUOTE時,直線l與C1只有一個公共點(diǎn),與C2有一個公共點(diǎn).當(dāng)時,直線l與C1有兩個公共點(diǎn),與C2沒有公共點(diǎn).故當(dāng)k∈QUOTE∪QUOTE時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點(diǎn).(ⅲ)若QUOTE由②③解得-1<k<-QUOTE,或0<k<QUOTE.即當(dāng)k∈QUOTE∪時,直線l與C1有兩個公共點(diǎn),與C2有一個公共點(diǎn),故此時直線l與軌跡C恰好有三個公共點(diǎn).綜合(1)(2)可知,當(dāng)k∈(-∞,-1)∪QUOTE∪{0}時,直線l與軌跡C恰好有一個公共點(diǎn);當(dāng)k∈QUOTE∪QUOTE時,直線l與軌跡C恰好有兩個公共點(diǎn);當(dāng)k∈QUOTE∪時,直線l與軌跡C恰好有三個公共點(diǎn).8.（2022·湖南高考理科·Ｔ21）（本小題滿分13分）如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為．已知且（1）求的方程；（2）過作的不垂直于軸的弦的中點(diǎn)．當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時，求四邊形面積的最小值．【解題提示】（1）利用離心率公式和的關(guān)系解方程組就可解；（2）聯(lián)立方程組，求得弦長AB，及P,Q到AB的距離，列得面積的函數(shù)，再求最小值?！窘馕觥?1)由題意可得,且,由于,且,所以且，解得，所以橢圓方程為,雙曲線的方程為.(2)由(1)可得,由于直線不垂直于軸,所以設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與橢圓方程可得,則,則，由于為焦點(diǎn)弦,所以依據(jù)焦點(diǎn)弦弦長公式可得,由于在直線上,所以,即.則直線的方程為,聯(lián)立方程組，消去y整理得，設(shè)點(diǎn),,則點(diǎn),到直線AB的距離之和為,由于,在直線AB的兩側(cè)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，且,所以，所以四邊形的面積為由于，故當(dāng)時，。綜上所述，四邊形的面積的最小值為2.9.（2022·上海高考文科·Ｔ22）在平面直角坐標(biāo)系中，對于直線：和點(diǎn)記若<0，則稱點(diǎn)被直線分隔。若曲線C與直線沒有公共點(diǎn)，且曲線C上存在點(diǎn)被直線分隔，則稱直線為曲線C的一條分隔線.=1\*GB2⑴求證：點(diǎn)被直線分隔；=2\*GB2⑵若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；=3\*GB2⑶動點(diǎn)M到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為E，求E的方程，并證明軸為曲線E的分隔線.【解題指南