2025年人教版八年級數(shù)學寒假預(yù)習 第09講 三角形的中位線（1個知識點+4大考點舉一反三+過關(guān)測試）

第09講三角形的中位線模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.探索并證明三角形中位線定理；

2.利用中位線的性質(zhì)計算。

知識點：三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。考點一：與三角形中位線有關(guān)的求解問題例1.（23-24八年級下·吉林四平·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE，若OE=2cm，則AD的長為（

）A．2cm B．4cm C．8cm【變式1-1】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖，DE是△ABC的中位線，若BC=10，則DE的長是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【變式1-2】（23-24八年級下·安徽黃山·期末）如圖，四邊形ABCD，已知對角線AC，BD相交于點O，且AC=BD=6，點E，F(xiàn)，G，H分別依次為四邊形的邊AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH的周長為（

）A．24 B．12 C．62 【變式1-3】（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，BD平分∠ABC交AC于點D，點F在BC上，且BF=4，連接AF，E為AF的中點，連接DE，則DE的長為．考點二：三角形中位線與三角形面積問題例2.（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，且S△ABC=10，則△ADCA．4 B．5 C．6 D．8【變式2-1】（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在△ABC中，E是AC的中點，D在AB上且AD=2BD，連接BE，CD相交于點F，則S△BCFS

【變式2-2】（2023·吉林長春·一模）如圖，將△ABC沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的A′處．若BA′：A′C＝2：1，且△DBA′的面積為4，則△ABC的面積為．【變式2-3】（22-23八年級下·廣西欽州·階段練習）如圖所示，已知△ABC的面積為1，連接△ABC三邊的中點構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構(gòu)成第三個三角形，?，依此類推，第2013個三角形的面積為（

）A．12011 B．12012 C．14考點三：與三角形中位線有關(guān)的證明

例3.（23-24八年級下·遼寧阜新·期末）如圖1，如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接FE并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，求證：∠BME=∠CNE．（不需證明）．(1)如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論；(2)如圖3，在△ABC中，AC>AB，點D在AC上，AB=CD，點E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．【變式3-1】（23-24八年級下·山東濱州·期中）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，M、N、E、F分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：MN與EF互相平分．【變式3-2】（23-24八年級下·河北保定·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，點M、P、N分別是邊AB、BC、CD的中點，連接MN，交BD于點E，交AC于點F，Q是MN的中點，連接PQ．

(1)求證：PQ⊥MN；(2)判斷△OEF的形狀，并說明理由．【變式3-3】（23-24八年級下·廣東梅州·期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC(1)如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF=1(2)如圖2，探究線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．考點四：三角形中位線的實際應(yīng)用例4.（23-24八年級下·廣西南寧·期末）【綜合與實踐】任務(wù)如圖1，測出水池A，B兩點間的距離（水池有障礙物不能直接測量）．

測量工具皮尺

皮尺的功能：直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度，長度單位：m）；測角儀

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大?。?/p>

小明的測量及求解過程測量過程（1）如圖2，水池外選點C，用皮尺測得AC=am,（2）分別在AC，BC上用皮尺測得CM=a

求解過程由測量可知：∵AC=am,BC=bm∴點M是AC的中點，點N是BC的中點，∴MN是△ABC的______∵MN=cm∴AB=______m．(1)把小明的求解過程補充完整；(2)小明測出水池A，B兩點間的距離，依據(jù)是；(3)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用直角三角形的知識求水池A，B兩點間的距離，請你畫出示意圖并寫出測量及求解過程（要求測量得到的線段長度用字母a，b，c，…表示，測量次數(shù)不超過3次）．

【變式4-1】（23-24八年級下·青海海東·期末）如圖，小康想測量池塘兩端A、B的距離，他采用了如下方法：在AB的一側(cè)選擇一點C，連接AC、BC，再分別找出AC、BC的中點D、E，連接DE，現(xiàn)測得DE=46米，則A、B之間的距離為米．【變式4-2】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個端點連在一起，點C，D分別是OA，OB的中點，若CD=3cm【變式4-3】（23-24八年級下·河南三門峽·期末）（1）回歸課本請用文字語言表述三角形的中位線定理：________________．（2）回顧證法證明三角形中位線定理的方法很多，但多數(shù)都要通過添加輔助線構(gòu)圖完成．下面是其中一種輔助線的添加方法．請結(jié)合圖2，補全求證及證明過程．已知：在△ABC中，點D,E分別是AB,AC的中點．求證：________________．證明：過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F．（3）實踐應(yīng)用如圖3，點B和點C被池塘隔開，在BC外選一點A，連接AB,AC，分別取AB,AC的中點D,E，測得DE的長度為9米，則B,C兩點間的距離為________________．

一、單選題1．（23-24八年級下·遼寧撫順·期末）如圖，小華注意到蹺蹺板靜止狀態(tài)時，可以與地面構(gòu)成一個△ABC，蹺蹺板中間的支撐桿EF垂直于地面（E、F分別為AB、AC的中點），若EF=35cm，則點B距離地面的高度為（

A．80cm B．70cm C．60cm 2．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠PEF=30°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°3．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，為測量池塘邊上兩點A，B之間的距離，小敏在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA，OB的中點分別是點D，E，且DE=15m，那么A，BA．20m B．24m C．30m4．（23-24八年級下·福建南平·單元測試）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC=8，F(xiàn)是線段DE上一點，連接AF、CF，DE=4DF，若∠AFC=90°，則AC的長度是（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（23-24八年級下·云南大理·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形BEFD的周長為（

）A．14 B．12 C．10 D．86．（23-24八年級下·江西南昌·單元測試）如圖，在?ABCD中，AD=6，E為AD上一動點，M，N分別為BE，CE的中點，則MN的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．不確定7．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點，若CD=2EF=4，BC=42，則∠C等于（

A．30° B．45° C．60° D．75°8．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=2A．12 B．1 C．329．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（

）A．11 B．10 C．9 D．810．（23-24八年級下·遼寧丹東·期末）如圖，△ABC中，∠BAD=∠CAD，BE=CE，AD⊥BD，DE=32，AB=4，則AC的長為（

A．6 B．32 C．7 11．（23-24八年級下·河北邯鄲·期末）如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，AB=33，AD=3，點M，N分別為線段BC，AB上的動點（含端點，但點M不與點B重合），點E，F(xiàn)分別為DM，MN的中點，則EF長度的最大值為（

A．3 B．23 C．4 二、填空題12．（23-24八年級·山東棗莊·期末）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AB中點，且AE+EO=4，則?ABCD的周長為．13．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段AO，BO的中點，若AC+BD=20cm，△OAB14．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，△ABC的周長為16，連接△ABC三邊中點構(gòu)成第一個△A1B1C1，再連接△A

第09講三角形的中位線模塊一思維導圖串知識

模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）

模塊三核心考點舉一反三

模塊四小試牛刀過關(guān)測1.探索并證明三角形中位線定理；

2.利用中位線的性質(zhì)計算。

知識點：三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一?？键c一：與三角形中位線有關(guān)的求解問題例1.（23-24八年級下·吉林四平·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E是AB的中點，連接OE，若OE=2cm，則AD的長為（

）A．2cm B．4cm C．8cm【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意可得O是BD的中點，利用三角形的中位線的性質(zhì)即可求解．【詳解】因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以對角線AC、BD互相平分，即O是BD的中點，又E是AB的中點，所以O(shè)E是△ABD中位線，所以O(shè)E∥所以AD=2OE=4cm故選：B．【變式1-1】（23-24八年級下·廣東廣州·期中）如圖，DE是△ABC的中位線，若BC=10，則DE的長是（

）

A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】本題考查三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．已知DE是△ABC的中位線，BC=10，根據(jù)中位線定理即可求得DE的長．【詳解】解：∵DE是△ABC的中位線，BC=10，∴DE=1故選：B．【變式1-2】（23-24八年級下·安徽黃山·期末）如圖，四邊形ABCD，已知對角線AC，BD相交于點O，且AC=BD=6，點E，F(xiàn)，G，H分別依次為四邊形的邊AB，BC，CD，DA的中點，則四邊形EFGH的周長為（

）A．24 B．12 C．62 【答案】B【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，在△ABC中，根據(jù)點E，F(xiàn)為中點可得EF=12AC【詳解】解：根據(jù)題意，在△ABC中，點E，F(xiàn)為AB，BC的中點，∴EF∥AC，EF=1同理，在△ADC中，GH∥AC，GH=1在△ABD中，EH∥BD，EH=1在△BCD中，F(xiàn)G∥BD，F(xiàn)G=1∵四邊形EFGH的周長為EF+FG+GH+EH=1∵AC=BD=6，∴四邊形EFGH的周長為6+6=12，故選：B．【變式1-3】（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，在△ABC中，AB=BC=10，BD平分∠ABC交AC于點D，點F在BC上，且BF=4，連接AF，E為AF的中點，連接DE，則DE的長為．【答案】3【分析】本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等腰三角形的三線合一得到AD=DC，根據(jù)三角形中位線定理計算得到答案．【詳解】解：∵BC=10,BF=4，∴FC=BC?BF=10?4=6，∵AB=BC,BD平分∴AD=DC，∵E為AF的中點，∴DE是△AFC的中位線，∴DE=1故答案為：3．考點二：三角形中位線與三角形面積問題例2.（23-24八年級上·江蘇揚州·階段練習）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BD于點D，且S△ABC=10，則△ADCA．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】延長BD交AC于E，利用“ASA”證明△ABD≌△AED得到BD=DE，S△ABD=S【詳解】解：延長BD交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADE=90°，在△ABD和△AED中，∠BAD=∠EADAD=AD∴△ABD≌△AEDASA∴BD=DE，S△ABD∴S△CBD=S∴S△ADC故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的中線性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形求圖形的面積是解答的關(guān)鍵．【變式2-1】（22-23八年級下·廣東深圳·期末）如圖，在△ABC中，E是AC的中點，D在AB上且AD=2BD，連接BE，CD相交于點F，則S△BCFS

【答案】35【分析】取CD中點G可證得△BDF≌△EGF，進一步推出CF=3DF，【詳解】解：取CD中點G，則EG是△ACD中位線，∴EG=1∵AD=2BD，∴BD=∵∠DFB=∠EFG,∠BDF=∠EGF∴△BDF≌△EGF，∴DF=FG=設(shè)SΔBDF=1，則S∴SΔ故答案為35

【點睛】本題考查了中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點．結(jié)合條件進行幾何推導是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·吉林長春·一模）如圖，將△ABC沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的A′處．若BA′：A′C＝2：1，且△DBA′的面積為4，則△ABC的面積為．【答案】12【分析】連結(jié)AA′，將△ABC沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的A′處．可得DE∥BC，且DE=12BC，AA′⊥DE，根據(jù)BA′：A′C＝2：1，可得S△BDA′：S△EA′C=BA':A'C=2:1，由SΔDBA'=4，S△EA′C=12SΔDBA'=2，由S△BDA′+S△EA′C=6=12BC?A'F，而S△ADE=S△A′DE【詳解】解：連結(jié)AA′，∵將△ABC沿其中位線DE翻折，點A落在BC邊上的A′處．∴DE∥BC，且DE=12BC，AA′⊥∴S△BDA′=12BA'?A'∵BA′：A′C＝2：1，∴S△BDA′：S△EA′C=12BA'?∵SΔDB∴S△EA′C=12∵S△BDA′+S△EA′C=12BA'?A'而S△ADE=S△A′DE=12∴S△ABC=S△ADE+S△A′DE+S△DBA′+S△AEC=4+3+2+3=12．故答案為：12．【點睛】本題考查三角形面積，折疊性質(zhì)，中位線性質(zhì)，掌握三角形面積求法，折疊性質(zhì)，中位線性質(zhì)，利用等高三角形面積比等于底的比來運算是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（22-23八年級下·廣西欽州·階段練習）如圖所示，已知△ABC的面積為1，連接△ABC三邊的中點構(gòu)成第二個三角形，再連接第二個三角形三邊的中點構(gòu)成第三個三角形，?，依此類推，第2013個三角形的面積為（

）A．12011 B．12012 C．14【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出第二個三角形的面積=14S【詳解】解：如圖：過點A作AG⊥DE于G，交BC于H，則AG=GH，∵D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，∴DE、EF、DF分別為△ABC的中位線，∴DE=12BC，DF=12∵S△ABC=∴S同理：第三個三角形的面積==1第四個三角形的面積=14第三個三角形面積……，∴第2013個三角形的面積為14故選：D．【點睛】本題考查的是三角形的中位線定理，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點三：與三角形中位線有關(guān)的證明

例3.（23-24八年級下·遼寧阜新·期末）如圖1，如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點，連接FE并延長，分別與BA、CD的延長線交于點M、N，求證：∠BME=∠CNE．（不需證明）．(1)如圖2，在四邊形ADBC中，AB與CD相交于點O，AB=CD，E、F分別是BC、AD中點，連接EF，分別交DC、AB于點M、N，判斷△OMN的形狀，請直接寫出結(jié)論；(2)如圖3，在△ABC中，AC>AB，點D在AC上，AB=CD，點E、F分別是BC、AD的中點，連接EF并延長，與BA的延長線交于點G，若∠EFC=60°，連接GD，判斷△AGD的形狀并證明．【答案】(1)△OMN為等腰三角形；(2)△AGD是直角三角形，證明見解析【分析】（1）取BD的中點H，連接HE、HF，證明HF、HE分別是△ABD、△BCD的中位線，得到HF∥AB，HE∥CD，HF=12AB，HE=（2）連接BD，取BD的中點H，連接HF，【詳解】（1）解：△OMN是等腰三角形；證明如下：如圖，取BD的中點H，連接HE、HF，∵E、F分別是BC、AD的中點，∴HF、HE分別是△ABD、△BCD的中位線，∴HF∥AB，HE∥CD，∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠HFE=∠HEF，∵HF∥AB，∴∠HFE=∠ONM，∴∠ONM=∠OMN，∴OM=ON，∴△OMN是等腰三角形；（2）解：△AGD為直角三角形，證明如下：如圖，連接BD，取BD的中點H，連接HF，

∵F是AD的中點，∴HF∥AB，∴∠1=∠3，同理，HE∥CD，∴∠2=∠EFC，∵AB=CD，∴HF=HE，∴∠1=∠2，∴∠3=∠EFC=60°，∴△AGF是等邊三角形．∵AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=∠FDG=1∴∠AGD=90°，即△AGD是直角三角形．【點睛】本題考查三角形的中位線定理以及平行線的性質(zhì)和等腰三角形和直角三角形的判定．通過添加輔助線構(gòu)造三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（23-24八年級下·山東濱州·期中）（1）如圖①，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．（2）如圖②，在四邊形ABCD中，M、N、E、F分別為AD、BC、BD、AC的中點，求證：MN與EF互相平分．【答案】（1）見解析（2）見解析【分析】本題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）連接AC，根據(jù)“三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半”可得EF∥AC，EF=12AC，GH∥AC（2）連接ME、EN、NF、MF，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可證明四邊形MENF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)即可證明結(jié)論．【詳解】證明：（1）連接AC，∵E、F分別為AB、BC的中點，∴EF為△ABC的中位線,，∴EF∥AC，同理可得，∴GH為△ADC的中位線，∴GH∥AC，∴GH∥EF且∴四邊形EFGH是平行四邊形；（2）如下圖，連接ME、EN、NF、MF，

∵M、N、E、F分別為AD、BC、BD、AC的中點，∴ME∥AB且ME=12AB∴ME∥NF且∴四邊形MENF是平行四邊形，∴MN與EF互相平分．【變式3-2】（23-24八年級下·河北保定·期末）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，點M、P、N分別是邊AB、BC、CD的中點，連接MN，交BD于點E，交AC于點F，Q是MN的中點，連接PQ．

(1)求證：PQ⊥MN；(2)判斷△OEF的形狀，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)△OEF是等腰三角形．理由見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理：（1）根據(jù)三角形中位線定理得到PM=PN，則由三線合一定理可得PQ⊥MN；（2）根據(jù)三角形中位線定理得到PM∥AC，PN∥BD，則∠PMN=∠OFE，∠OEF=∠PNM．再由PM=PN，得到∠PMN=∠PNM，則∠OFE=∠OEF．即可得到OE=OF，即【詳解】（1）證明：連接PM，∵點M，P分別是邊AB，∴PM為△ABC的中位線，∴PM=1同理可知PN=1又∵AC=BD，∴PM=PN．∵Q是MN的中點，∴PQ⊥MN．

（2）解：△OEF是等腰三角形．理由如下：∵點M，P分別是邊AB，∴PM為△ABC的中位線，∴PM∥AC，同理可得PN∥∴∠PMN=∠OFE，∠OEF=∠PNM．∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM，∴∠OFE=∠OEF．∴OE=OF，即△OEF是等腰三角形．【變式3-3】（23-24八年級下·廣東梅州·期末）如圖，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于點E，點F是BC(1)如圖1，BE的延長線與AC邊相交于點D，求證：EF=1(2)如圖2，探究線段AB、AC、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)EF=1【分析】本題考查了三角形的中位線定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)．（1）先根據(jù)AE⊥BP,得∠ABD=∠ADB,再根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE=∠DAE,進而得出∠ABE=∠ADE,所以AB=AD,根據(jù)等腰三角形的三線合一,推出BE=ED，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題.（2）延長AC交BE的延長線于P，根據(jù)角平分線得到∠BAE=∠PAE得出∠ABE=∠APE,根據(jù)兩角和為90°,證明AB=AP，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，推出BE=PE，根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題.【詳解】（1）證明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE=∠CAE，又∵BE⊥AE于點E，∴∠BEA=∠DEA=90°，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴E是BD的中點，又∵點F是BC的中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF=1（2）EF=證明如下：如圖2中，延長AC交BE的延長線于P.∵AE⊥BP,∴∠AEP=∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°,∠PAE+∠APE=90°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠PAE,∴∠ABE=∠APE,∴AB=AP,∵AE⊥BP,∴BE=PE,∵F是BC的中點,∴EF是△BCP中位線∴EF=1考點四：三角形中位線的實際應(yīng)用例4.（23-24八年級下·廣西南寧·期末）【綜合與實踐】任務(wù)如圖1，測出水池A，B兩點間的距離（水池有障礙物不能直接測量）．

測量工具皮尺

皮尺的功能：直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度，長度單位：m）；測角儀

測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點O處，對其視線可及的P，Q兩點，可測得∠POQ的大?。?/p>

小明的測量及求解過程測量過程（1）如圖2，水池外選點C，用皮尺測得AC=am,（2）分別在AC，BC上用皮尺測得CM=a

求解過程由測量可知：∵AC=am,BC=bm∴點M是AC的中點，點N是BC的中點，∴MN是△ABC的______∵MN=cm∴AB=______m．(1)把小明的求解過程補充完整；(2)小明測出水池A，B兩點間的距離，依據(jù)是；(3)請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用直角三角形的知識求水池A，B兩點間的距離，請你畫出示意圖并寫出測量及求解過程（要求測量得到的線段長度用字母a，b，c，…表示，測量次數(shù)不超過3次）．

【答案】(1)見解析(2)三角形的中位線等于第三邊的一半(3)示意圖見解析，AB=【分析】本題考查三角形中位線的判定與性質(zhì)，含30度直角三角的特征．（1）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)即可解答；（2）三角形的中位線等于第三邊的一半；（3）用測角儀在點A處測出∠BAP=90°，在射線AP上找一點G，用測角儀測出∠AGB=30°，然后用皮尺測量出BG=cm【詳解】（1）解：∵AC=am,BC=bm∴點M是AC的中點，點N是BC的中點，∴MN是△ABC的中位線，∵MN=cm∴AB=2cm（2）解：由（1）可知小明測出水池A，B兩點間的距離，依據(jù)是：三角形的中位線等于第三邊的一半；（3）解：如圖，

∵∠BAP=90°,∠AGB=30°,BG=cm，∴AB=1【變式4-1】（23-24八年級下·青海海東·期末）如圖，小康想測量池塘兩端A、B的距離，他采用了如下方法：在AB的一側(cè)選擇一點C，連接AC、BC，再分別找出AC、BC的中點D、E，連接DE，現(xiàn)測得DE=46米，則A、B之間的距離為米．【答案】92【分析】本題考查了三角形的中位線定理．根據(jù)中位線定理可得：AB=2DE，即可求解．【詳解】解：∵點D、E分別是AC、BC的中點，DE=46米，∴AB=2DE=92米．故答案為：92【變式4-2】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，把兩根鋼條OA，OB的一個端點連在一起，點C，D分別是OA，OB的中點，若CD=3cm【答案】6【分析】本題考查了三角形中位線定理的應(yīng)用．利用三角形中位線定理“三角形的中位線是第三邊的一半”即可求解．【詳解】解：∵點C，D分別是∴CD=1∴AB=2CD=6cm故答案為：6．【變式4-3】（23-24八年級下·河南三門峽·期末）（1）回歸課本請用文字語言表述三角形的中位線定理：________________．（2）回顧證法證明三角形中位線定理的方法很多，但多數(shù)都要通過添加輔助線構(gòu)圖完成．下面是其中一種輔助線的添加方法．請結(jié)合圖2，補全求證及證明過程．已知：在△ABC中，點D,E分別是AB,AC的中點．求證：________________．證明：過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F．（3）實踐應(yīng)用如圖3，點B和點C被池塘隔開，在BC外選一點A，連接AB,AC，分別取AB,AC的中點D,E，測得DE的長度為9米，則B,C兩點間的距離為________________．

【答案】（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2）DE∥BC，DE=1【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理直接闡述即可；（2）過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F，證明△ADE≌△CFE，再證四邊形（3）直接利用三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：（1）三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．故答案為：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半；（2）求證：DE∥BC，DE=1證明：∵點D,E分別是AB,AC的中點，∴BD=AD，過點C作CF∥AB，與DE的延長線交于點F．∴∠ADE=∠F，在△ADE和△CFE中，∠ADE=∠F∴△ADE≌∴AD=CF，DE=∴CF∥BD，CF=∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴DF∥BC，DF=BC，又∵DE=1∴DE∥BC，DE=1故答案為：DE∥BC，DE=1（3）∵點D,E分別是AB,AC的中點，DE=9米，∴DE=12BC故答案為：18米．【點睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題．一、單選題1．（23-24八年級下·遼寧撫順·期末）如圖，小華注意到蹺蹺板靜止狀態(tài)時，可以與地面構(gòu)成一個△ABC，蹺蹺板中間的支撐桿EF垂直于地面（E、F分別為AB、AC的中點），若EF=35cm，則點B距離地面的高度為（

A．80cm B．70cm C．60cm 【答案】B【分析】本題考查三角形中位線定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．根據(jù)三角形中位線定理即可解決問題．【詳解】解：∵E、F分別為AB、AC的中點，EF=35cm∴BC=2EF=70cm∴點B距離地面的高度為70cm故選：B．2．（23-24八年級下·全國·單元測試）如圖，在四邊形ABCD中，點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，AD=BC，∠PEF=30°，則∠PFE的度數(shù)是（）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】D【分析】本題考查了三角形的中位線定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”．根據(jù)題意可得EP是△ABD的中位線，F(xiàn)P是△BCD的中位線，推出EP=12AD，F(xiàn)P=12【詳解】解：∵點P是對角線BD的中點，點E、F分別是AB、CD的中點，∴EP是△ABD的中位線，F(xiàn)P是△BCD的中位線，∴EP=12AD∵AD=BC，∴EP=FP，∴∠PFE=∠PEF=30°，故選：D．3．（23-24八年級下·全國·期末）如圖，為測量池塘邊上兩點A，B之間的距離，小敏在池塘的一側(cè)選取一點O，測得OA，OB的中點分別是點D，E，且DE=15m，那么A，BA．20m B．24m C．30m【答案】C【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，掌握三角形中位線等于底邊的一半成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理求解即可．【詳解】解：∵OA，OB的中點分別是點D，∴AB=2DE=30m故選：C．4．（23-24八年級下·福建南平·單元測試）如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BC=8，F(xiàn)是線段DE上一點，連接AF、CF，DE=4DF，若∠AFC=90°，則AC的長度是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)．先由三角形中位線定理得到DE=4，再由DE=4DF，求出EF=3，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到AC=2EF=6．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=1∵DE=4DF，∴DF=1∴EF=DE?DF=3，∵∠AFC=90°，點E是AC的中點，∴AC=2EF=6，故選：D．5．（23-24八年級下·云南大理·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，則四邊形BEFD的周長為（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線定理．掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理、線段中點可得EF=12AB=BD=2,DF=12【詳解】解：在△ABC中，AB=AC=4，BC=6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，AC的中點，∴EF=1∴四邊形BEFD的周長為BD+BE+EF+DF=2+3+2+3=10，故選：C．6．（23-24八年級下·江西南昌·單元測試）如圖，在?ABCD中，AD=6，E為AD上一動點，M，N分別為BE，CE的中點，則MN的長為（

）A．4 B．3 C．2 D．不確定【答案】B【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理來求有關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．由平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求得BC=AD=6，然后利用三角形中位線定理求得MN=1【詳解】解：如圖，在平行四邊形ABCD中，BC=AD=6．∵M，N分別為BE，∴MN是△EBC的中位線，∴MN=1故選：B．7．（23-24八年級下·河北張家口·期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB，AD的中點，若CD=2EF=4，BC=42，則∠C等于（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】連接BD，證明出EF是△ABD的中位線，得到BD=2EF=4，然后證明出△BDC是等腰直角三角形，進而求解即可．此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．【詳解】連接BD，∵E、F分別是AB，AD的中點，∴EF是△ABD的中位線，∴BD=2EF=4，∵CD=2EF=4，BC=4∴B∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠C=45°．故選：B．8．（2022·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為CA，CB的中點，BF平分∠ABC，交DE于點F，若AC=2A．12 B．1 C．32【答案】B【分析】本題考查了三角形的中位線定理，等角對等邊，勾股定理．先根據(jù)勾股定理求出AB=AC2+BC2=6，根據(jù)三角形的中位線定理得出DE【詳解】解：在Rt△ABC中，AC=2由勾股定理得：AB=A∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∵D，E分別為CA，CB的中點，∴DE∥AB，∴∠ABF=∴∠EFB=∴EF=BE=2，∴DF=DE?EF=1，故選：B．9．（23-24八年級下·山東聊城·期中）如圖，D是△ABC內(nèi)一點，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，則四邊形EFGH的周長是（

）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】本題考查了三角形的中位線定理，勾股定理的應(yīng)用，熟記三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=1【詳解】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC=B∵E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點，∴EH=FG=1∴四邊形EFGH的周長=EH+G