2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假?gòu)?fù)習(xí) 專(zhuān)題02 全等三角形（4個(gè)知識(shí)點(diǎn)回顧+5大題型歸納+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

專(zhuān)題02全等三角形題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破【題型1全等三角形的性質(zhì)】【題型2全等三角形的判定】【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】【題型4角平分線的性質(zhì)】【題型5角平分線的判定與性質(zhì)綜合】知識(shí)點(diǎn)1：全等三角形（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素1、概念：把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F。對(duì)應(yīng)邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF。對(duì)應(yīng)角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。2、對(duì)應(yīng)元素的確定方法（1）字母順序確定法∶根據(jù)書(shū)寫(xiě)規(guī)范，按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。（2）圖形位置確定法①公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；②公共角一定是對(duì)應(yīng)角；③對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角;（3）圖形大小確定法∶兩個(gè)全等三角形的最大的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角），最小的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的性質(zhì)（一）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（二）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，面積相等，周長(zhǎng)相等?！摺鰽BC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）?！螦=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。知識(shí)點(diǎn)3：全等三角形的判定1.判定全等三角形（邊邊邊）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。2.判定全等三角形（邊角邊）（1）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C、D。②畫(huà)一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)C'。③以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D';④過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角邊角）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角邊）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成"角角邊"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書(shū)寫(xiě)時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”。知識(shí)點(diǎn)4角的平分線的性質(zhì)和判定（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠3、畫(huà)射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E?！郟D=PE。（三）角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上題型歸納【題型1全等三角形的性質(zhì)】1．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是?3,0，0,6，若△AOB≌△CDA，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．?9,3 B．?6,3 C．3,?9 D．?12,02．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（

）A．72° B．60° C．58° D．50°3．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·期中）如圖，△ABN≌△ACM，點(diǎn)B，M，N，C在一條直線上，若BC=11，BM=3，則MN的長(zhǎng)為（A．4 B．5 C．6 D．84．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，△ABC≌△ADE,∠B=110°,∠BAC=30°，那么∠AED=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°5．（24-25八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）如圖，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠CAB=∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，【題型2全等三角形的判定】

6．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，∠C=∠D=90°，AC=AD，可以判定△ABC≌△ABD的依據(jù)是（

A．SAS B．ASA C．AAS D．HL7．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成了如圖所示的四塊，他需要去商店再配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的模具．現(xiàn)只能拿能兩塊去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）8．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)D作∠EDF=∠B，分別與AB，AC相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．(1)求證：∠BED=∠FDC；(2)若DE=DF，求證：BE=CD．9．（24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中）如圖，已知AC⊥BD，AD=EC，∠D=∠C，AB=5cm，BC=6.5cm，且點(diǎn)B在線段(1)求DE的長(zhǎng)；(2)猜想AD與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．10．（22-23八年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接EC、FC．(1)∠B與∠D相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：EC=FC．11．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·期中）已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，AC=BD且AC∥BD，CF=DE．求證：12．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，AB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．求證：△ABC≌△ADE．【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】13．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，BF=CE，AB=DC，AE=(1)求證：△ABE≌(2)若∠AEB=40°，求∠AOF的度數(shù)．14．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB=AC，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且∠ABD=∠ACD

(1)求證：AE=AD；(2)若BD=8，DC=5，求ED的長(zhǎng)．15．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD=AB，點(diǎn)E在邊AC上．(1)若∠ADE=∠B，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度數(shù)．16．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SAS

C．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，已知：CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．17．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，AE與BD交于點(diǎn)F，且AD=BD．(1)求證：△ADF≌(2)已知BF=6,AC=12，求BD的長(zhǎng)．18．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠CBE為銳角，AB=BC，BE=BD，連接AE、CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)(1)求證：△ABE≌△CBD(2)線段AE與CD有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）已知Rt△ABC滿(mǎn)足BC=AC，∠ACB=90°，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y(1)如圖①若AD垂直于x軸，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)C坐標(biāo)是a,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是0,b，且滿(mǎn)足a+1+b?32=0，請(qǐng)直接寫(xiě)出a、(2)如圖②，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)B的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為5,0時(shí)，求A的坐標(biāo)；(3)如圖③，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，AC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，若BD=2AE，試說(shuō)明y軸恰好平分∠ABC．【題型4角平分線的性質(zhì)】

20．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠BCD，若AD=4，則點(diǎn)D到BC的距離是（

A．2 B．4 C．6 D．821．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，點(diǎn)AB、BC、CA表示三條公路，現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在

A．三邊中線的交點(diǎn)上 B．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)上C．三條邊高的交點(diǎn)上 D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)上22．（24-25八年級(jí)上·福建龍巖·期中）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是（A．3 B．4 C．5 D．623．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③AD=2DE；④S梯形ABCD=AD·CEA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)24．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分線交于點(diǎn)O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面積為9cm2，則A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 25．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是30，BO，CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD=3，則△ABC的面積為（

）A．30 B．35 C．40 D．4526．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PE⊥AC于點(diǎn)E．若S△BPC=7，PE=4，S△ABC=10，則A．9 B．10 C．11 D．1227．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路l1、l2、l3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【題型5角平分線的判定與性質(zhì)綜合】28．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD=DF(1)求證：BE=FC；(2)若AB=15，AF=9，求FC的長(zhǎng)．29．（24-25八年級(jí)上·湖北孝感·期中）（1）【問(wèn)題】如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DB=DC，這個(gè)性質(zhì)是________________________；（2）【探究】如圖2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B<90°，求證：DB=DC；（3）【應(yīng)用】如圖3，四邊形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，若BE=3，求AB?AC的值．30．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．(1)求證：PE=PF；(2)連接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度數(shù)．31．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·期中）如圖所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，DG⊥BC交∠BAC的平分線AD于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：BE=CF；(2)求AE的長(zhǎng)．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．2．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖所示的兩個(gè)三角形全等，則x的值是（

）A．45 B．40 C．35 D．253．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，這一做法用到三角形全等的判定定方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS4．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．1<x<6 B．1<x<7 C．2<x<12 D．x>55．（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于點(diǎn)P，已知△ABC的面積為5，則陰影部分的面積為（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．26．（24-25八年級(jí)上·重慶云陽(yáng)·期中）如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，則DE的長(zhǎng)為（A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題7．（2024八年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，若AB=8cm，CF=5cm，則BD=8．（24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)△MBN，已知∠MBN=90°，MB=NB，M(3,0)，N(1,?4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．9．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DC=5，則點(diǎn)D到AB的距離為．10．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期中）如圖，CA⊥AB，垂足為點(diǎn)A，射線BM⊥AB，垂足為點(diǎn)B，AB=8cm,AC=4cm，動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D在射線BM上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，始終保持ED=CB．若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒t>0，則當(dāng)t=秒時(shí)，三、解答題11．（23-24八年級(jí)上·廣東肇慶·期中）如圖，點(diǎn)D，點(diǎn)F在△ABC外，連接AF，AD，BD，且AF∥BC，∠ABD=∠CAF，BD=AC．(1)尺規(guī)作圖：作∠ABC的角平分線并與AF相交于點(diǎn)E（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）(2)求證：AD=CE．12．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是射線CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為邊在其右側(cè)作△ADE，使得AD=AE、∠DAE=∠BAC，連接CE．(1)如圖①，點(diǎn)D在線段CB上，求證：△ABD≌△ACE．(2)設(shè)∠BAC=α，∠DCE=β．當(dāng)點(diǎn)D在射線CB上移動(dòng)時(shí)，探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．13．（24-25八年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）如圖，在三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)A,B分別在坐標(biāo)軸上．(1)如圖①，若點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為?3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)如圖②，若x軸恰好平分∠BAC，BC交x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直x軸于D點(diǎn)，試猜想線段CD與AM的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，點(diǎn)A在x軸上，且A6,0，OB=BF，∠OBF=90°，連接CF交y軸于P點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，BP的長(zhǎng)度是否變化？若變化請(qǐng)說(shuō)明理由，若不變化，請(qǐng)求出BP

專(zhuān)題02全等三角形題型聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專(zhuān)攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專(zhuān)練：真題感知+精選專(zhuān)練，全面突破【題型1全等三角形的性質(zhì)】【題型2全等三角形的判定】【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】【題型4角平分線的性質(zhì)】【題型5角平分線的判定與性質(zhì)綜合】知識(shí)點(diǎn)1：全等三角形（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。（二）全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素1、概念：把兩個(gè)全等的三角形重合到一起，重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F。對(duì)應(yīng)邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF。對(duì)應(yīng)角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。2、對(duì)應(yīng)元素的確定方法（1）字母順序確定法∶根據(jù)書(shū)寫(xiě)規(guī)范，按照對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。（2）圖形位置確定法①公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊；②公共角一定是對(duì)應(yīng)角；③對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角;（3）圖形大小確定法∶兩個(gè)全等三角形的最大的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角），最小的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）。（三）全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。知識(shí)點(diǎn)2：全等三角形的性質(zhì)（一）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（二）全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、中線分別相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，面積相等，周長(zhǎng)相等?！摺鰽BC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）?！螦=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）。知識(shí)點(diǎn)3：全等三角形的判定1.判定全等三角形（邊邊邊）三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”）。2.判定全等三角形（邊角邊）（1）用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA，OB于點(diǎn)C、D。②畫(huà)一條射線O'A'，以點(diǎn)O'為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交O'A'于點(diǎn)C'。③以點(diǎn)C'為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與第2步中所畫(huà)的弧相交于點(diǎn)D';④過(guò)點(diǎn)D'畫(huà)射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。（2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”）。3.判定全等三角形（角邊角）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”）。4.判定全等三角形（角角邊）兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成"角角邊"或"AAS"）。5.判定全等三角形（直角邊、斜邊）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（簡(jiǎn)寫(xiě)成"斜邊、直角邊"或"HL"）。注意：用“HL”證明兩個(gè)直角三角形全等，書(shū)寫(xiě)時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前面要加上“Rt”。知識(shí)點(diǎn)4角的平分線的性質(zhì)和判定（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N。2、分別以M,N為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C。3、畫(huà)射線OC，射線OC即為所求。（二）角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE。（三）角的平分線的判定角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。幾何表示：∵點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線OC上題型歸納【題型1全等三角形的性質(zhì)】1．（24-25八年級(jí)上·河北廊坊·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是?3,0，0,6，若△AOB≌△CDA，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（

）A．?9,3 B．?6,3 C．3,?9 D．?12,0【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AD=OB=6，確定OD=9，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是(?3,0)，(0,6)，∴OA=3，∵△AOB≌△CDA，∴AD=OB=6，CD=OA=3，∠CDA=∠AOB=90°∴OD=9，CD⊥AD∴C?9,3故選：A．2．（24-25八年級(jí)上·廣東東莞·期中）已知圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠α等于（

）A．72° B．60° C．58° D．50°【答案】A【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的性質(zhì)．直接利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：由全等三角形的性質(zhì)得：∠α是邊a和c的夾角，∴∠α=50°，故選：D．3．（24-25八年級(jí)上·江西南昌·期中）如圖，△ABN≌△ACM，點(diǎn)B，M，N，C在一條直線上，若BC=11，BM=3，則MN的長(zhǎng)為（A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，是解題關(guān)鍵．利用△ABN≌△ACM得到BN=CM，從而得到BM=CN，然后利用MN=BC?BM?CN即可求解．【詳解】解：∵△ABN≌△ACM，∴BN=CM，∴BM=CN=3，∵BC=11，∴MN=BC?BM?CN=11?3?3=5；故選：B．4．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖，△ABC≌△ADE,∠B=110°,∠BAC=30°，那么∠AED=（

）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠C的度數(shù)，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，得到∠AED的度數(shù)即可．【詳解】解：∵∠B=110°,∠BAC=30°，∴∠C=180°?110°?30°=40°，∵△ABC≌△ADE，∴∠AED=∠C=40°；故選B．5．（24-25八年級(jí)上·河南南陽(yáng)·期中）如圖，AB=4cm，AC=BD=3cm，∠CAB=∠DBA，點(diǎn)P在線段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s時(shí)，【答案】1或1.5【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s，則有AP=tcm，BP=4?tcm，BQ=xtcm，分兩種情況：當(dāng)AP=BP，AC=BQ【詳解】解：設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是xcm/s，則有AP=tcm，BP=4?t∵∠CAB=∠DBA，∴△ACP與△BPQ全等有兩種情況：當(dāng)AP=BP，AC=BQ時(shí)，t=4?t，解得：t=2，∴3=2x，解得：x=1.5，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1.5cm/s當(dāng)AP=BQ，AC=BP時(shí)，t=tx，4?t=3，解得：t=1，x=1，即點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度是1cm/s綜上所述，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為1或1.5cm/s時(shí)，△ACP與△BPQ全等，故答案為：1或1.5．【題型2全等三角形的判定】

6．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，∠C=∠D=90°，AC=AD，可以判定△ABC≌△ABD的依據(jù)是（

A．SAS B．ASA C．AAS D．HL【答案】D【分析】此題考查了直角三角形全等的判定，解題的關(guān)鍵是熟悉直角三角形全等證明方法．根據(jù)直角三角形全等的判定定理求解即可．．【詳解】解：在Rt△ABC和Rt△ABD中∴故選：D．7．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）一名工作人員不慎將一塊三角形模具打碎成了如圖所示的四塊，他需要去商店再配一塊與原來(lái)大小和形狀完全相同的模具．現(xiàn)只能拿能兩塊去配，其中可以配出符合要求的模具的是（

）A．（1）和（3） B．（3）和（4） C．（1）和（4） D．（1）和（2）【答案】D【分析】本題考查全等三角形的判定，根據(jù)ASA，可以確定唯一三角形，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知：（1）和（2）或（2）和（4）可以組成兩個(gè)完整的角和兩個(gè)角的夾邊，根據(jù)ASA，可以確定唯一三角形，符合題意；其他組合均不能得到唯一三角形，故選D．8．（23-24八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點(diǎn)，過(guò)D作∠EDF=∠B，分別與AB，AC相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．(1)求證：∠BED=∠FDC；(2)若DE=DF，求證：BE=CD．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和平角的定義即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵∠BED=180°?∠B?∠BDE，∠FDC=180°?∠EDF?∠BDE，∠EDF=∠B，∴∠BED=∠FDC；（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE與△CFD中，∠B=∠C∠BED=∠CDF∴△DBE≌△FCDAAS∴BE=CD．9．（24-25八年級(jí)上·河北滄州·期中）如圖，已知AC⊥BD，AD=EC，∠D=∠C，AB=5cm，BC=6.5cm，且點(diǎn)B在線段(1)求DE的長(zhǎng)；(2)猜想AD與CE的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)1.5(2)AD⊥CE，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理：（1）證明△ABD≌△EBC求出BD，BE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明∠C+∠A=90°，進(jìn)而證明∠AHC=90°，據(jù)此可得結(jié)論．【詳解】（1）解：∵AC⊥BD，∴∠ABD=∠EBC=90°，在△ABD和△EBC中，∠ABD=∠EBC∠D=∠C∴△ABD≌△EBCAAS∴BD=BC=6.5cm，∴DE=BD?BE=1.5cm（2）解：AD⊥CE，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)CE交AD于H，∵∠D=∠C，∴∠C+∠A=90°，∴∠AHC=90°，∴AD⊥CE．10．（22-23八年級(jí)上·浙江湖州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，連接EC、FC．(1)∠B與∠D相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)求證：EC=FC．【答案】(1)∠B與∠D相等，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及線段中點(diǎn)定義，（1）在△ABC和△ADC中，利用SSS即可證明△ABC≌△ADC，則∠B=∠D；（2）根據(jù)題意得AE=12AB，AF=12AD，則AE=AF，結(jié)合（1）得∠EAC=∠FAC，即可證明△AEC≌△AFC，有【詳解】（1）解：∠B與∠D相等，理由如下：連接AC，在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADCSSS∴∠B=∠D；（2）證明：∵點(diǎn)E與F分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴AE=12AB，AF=12∵AB=AD，∴AE=AF，∵△ABC≌△ADC，∴∠EAC=∠FAC，在△AEC和△AFC中，AE=AF∠EAC=∠FAC∴△AEC≌△AFCSAS∴EC=FC．11．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·期中）已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在CD上，AC=BD且AC∥BD，CF=DE．求證：【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件．先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠C=∠D，再證明CE=DF，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AEC≌△BFD．【詳解】解：∵AC∥BD，∴∠C=∠D，∵CF=DE，∴CF+EF=DE+EF，即CE=DF，在△AEC和△BFD中，AC=BD∠C=∠D∴△AEC≌△BFD(SAS12．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，AB=AD，∠B=∠D，∠BAD=∠CAE．求證：△ABC≌△ADE．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．由∠BAD=∠CAE可得∠BAC=∠DAE，即可證明．【詳解】解：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE，∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∠B=∠DAB=AD∴△ABC≌△ADEASA【題型3全等三角形的判定與性質(zhì)綜合】13．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期中）已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在線段BC上，BF=CE，AB=DC，AE=(1)求證：△ABE≌(2)若∠AEB=40°，求∠AOF的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)80°【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，理解全等三角形的判定和性質(zhì)是解答關(guān)鍵．（1）由BF=CE，利用線段的和差得到BE=CF，由SSS證明兩個(gè)三角形全等即可；（2）由（1）可知△ABE≌△DCF，由全等三角形的性質(zhì)得到【詳解】（1）證明：∵BF=∴BE=CF．在△ABE和△DCF中BE=CF∴△ABE≌（2）解：∵△ABE≌∴∠AEB=∠DFC=40°，∴∠AOF=14．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AB=AC，點(diǎn)E是BD上一點(diǎn)，且∠ABD=∠ACD

(1)求證：AE=AD；(2)若BD=8，DC=5，求ED的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)3．【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）證明△ABE≌△ACDASA（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出答案．【詳解】（1）證明：∵∠BAC=∠EAD，∴∠BAC?∠EAC=∠EAD?∠EAC，即：∠BAE=∠CAD，在△ABE和△ACD中，∠ABD=∠ACDAB=AC∴△ABE≌△ACDASA∴AE=AD；（2）解：由（1）得△ABE≌△ACDASA∴BE=CD，∵BD=8，DC=5，∴ED=BD?BE=BD?CD=8?5=3．15．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD=AB，點(diǎn)E在邊AC上．(1)若∠ADE=∠B，求證：BD=CE；(2)若BD=CE，∠BAC=70°，求∠ADE的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)55°【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）由∠ADE=∠B可得∠BAD=∠CDE，再證明△ABD?△DCE即可解答；（2）先證明△ABD?△DCE，得出∠CDE=∠BAD，即可求出∠ADB+∠CDE的值，進(jìn)而可求出∠ADE的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠BAD=180°?∠B?∠ADB．∠CDE=180°?∠ADE?∠ADB，又∵∠ADE=∠B，∴∠BAD=∠CDE，在△BAD和△CDE中，∠B=∠CAB=DC∴△BAD≌△CDEASA∴BD=CE．（2）解：∵∠BAC=70°，∴∠B=∠C=180°?70°在△BAD和△CDE中，AB=DC∠B=∠C∴△BAD≌△CDESAS∴∠BAD=∠CDE，∴∠ADE=180°?∠CDE?∠ADB=180°?∠BAD?∠ADB=∠B=55°．16．（24-25八年級(jí)上·河南駐馬店·期中）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是________．A．SSSB．SAS

C．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是________．A．6<AD<8

B．6≤AD≤8

C．1<AD<7

D．1≤AD≤7【方法感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，已知：CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C=∠BAE．【答案】（1）B；（2）C；（3）見(jiàn)解析【分析】本題考查全等三角形判定與性質(zhì)，三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確做出作輔助線，構(gòu)造全等三角形．（1）根據(jù)三角形全等的判定定理即可進(jìn)行解答；（2）根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進(jìn)行解答；（3）延長(zhǎng)AE到F，使EF=AE，連接DF，證明△ABE≌△FDE得∠BAE=∠EFD，∠B=∠EDF，再由外角的性質(zhì)得出∠ADF=∠ADC，再證明△ADF≌△ADC得∠AFD=∠C，從而得出∠C=∠BAE．【詳解】（1）解：∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADC和△EDB中，BD=CD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDBSAS故選B．（2）解：由（1）可知，△ADC≌∴BE=AC=6，∵AB=8，∴8?6<AE<8+6，即2<AE<14，∵DE=AD，∴AD=1∴1<AD<7．故選C．（3）證明：延長(zhǎng)AE到F，使EF=AE，連接DF，∵AE是△ABD的中線，∴BE=ED，在△ABE與△FDE中，BE=DE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△FDESAS∴AB=DF,∠BAE=∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD，∵∠BAE+∠EAD=∠BAD,∠BAE=∠EFD，∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD，∴∠ADF=∠ADC，∵AB=DC，∴DF=DC，在△ADF與△ADC中，AD=AD∠ADF=∠ADC∴△ADF≌△ADC∴∠C=∠AFD=∠BAE．17．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在△ABC中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，AE與BD交于點(diǎn)F，且AD=BD．(1)求證：△ADF≌(2)已知BF=6,AC=12，求BD的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)9【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定；（1）根據(jù)同角的余角相等可得∠DAF=∠DBC，根據(jù)ASA證明全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）證明：∵BD⊥AC，∴∠ADF=∠BDC=90°，∴∠DBC+∠C=90°，∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴∠C+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠DBC，∵AD=BD，∴△ADF≌△BDC(ASA（2）解：∵△ADF≌△BDC，∴DF=CD，∵AD=BD,AC=AD+CD=12，∴BD+DF=12，∵BF=6,BD=DF+BF，∴DF+6+DF=12，∴DF=3，∴BD=BF+DF=6+3=9．18．（24-25八年級(jí)上·廣東廣州·期中）如圖，在△ABC和△BDE中，∠ABC=∠DBE=90°，∠CBE為銳角，AB=BC，BE=BD，連接AE、CD，AE與CD交于點(diǎn)M，AE與BC交于點(diǎn)(1)求證：△ABE≌△CBD(2)線段AE與CD有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)AE⊥CD，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，熟悉以上定理是解題的關(guān)鍵．（1）利用“SAS”可判斷△ABE≌△CBD；（2）利用△ABE≌△CBD得到∠BAE=∠BCD，再根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠NMC=∠ABN=90°，即可判斷AE⊥CD．【詳解】（1）證明：∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE，即∠ABE=∠CBD，在△ABE和△CBD中，BA=∴△（2）解：AE⊥CD理由如下：∵△∴∠BAE=∵∠NCM+∠NMC=∴∠NMC=∴AE⊥CD．19．（23-24八年級(jí)上·江蘇南通·期中）已知Rt△ABC滿(mǎn)足BC=AC，∠ACB=90°，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y(1)如圖①若AD垂直于x軸，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)C坐標(biāo)是a,0，點(diǎn)B的坐標(biāo)是0,b，且滿(mǎn)足a+1+b?32=0，請(qǐng)直接寫(xiě)出a、(2)如圖②，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，在滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)B的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為5,0時(shí)，求A的坐標(biāo)；(3)如圖③，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，AC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，若BD=2AE，試說(shuō)明y軸恰好平分∠ABC．【答案】(1)a=?1，b=3，A(2)A(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，可求出a、b的值，由△ACD≌△CBO，可求出AD、DO的長(zhǎng)，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，由△BOC≌△CGA，可求出AG、GO的長(zhǎng)，得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，（3）延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，由△BCD≌△ACF，得出AF=2BD，結(jié)合BD=2AE，可證△BEA≌△BEF，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是：作垂直輔助線，找到全等三角形．【詳解】（1）解：∵a+1+b?32=0∴a=?1，b=3，∴C?1,0，B∴OC=1，OB=3，∵AD⊥OD，∴∠ADC=∠ACB=∠BOC=90°，∴∠ACD+∠BOC=90°，∠BOC+∠COB=90°，∴∠ACD=∠CBO，在△ACD和△CBO中，∠ADC=∠CBO∴△ACD≌△CBOAAS∴AD=OC=1，CD=OB=3，∴OD=4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為?4,1，（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥x軸于G，∵∠ACB=90°，∴∠BCO+∠ACG=90°，∵∠BCO+∠OBC=90°，∴∠OBC=∠ACG，在△BOC和△CGA中，∠OBC=∠GCA∴△BOC≌△CGAASA∴OB=CG，OC=AG，∵B的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為5,0，∴OG=CG=4，OC=AG=5，∴OG=1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,?5，（3）延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F，∵AE⊥x軸，∴∠EAD+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDC，∴∠EAD+∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BDC+∠CBD=90°，∴∠DAE=∠CBD，在△BCD和△ACF中，∠ACB=∠ACF∴△BCD≌△ACFASA∴BD=AF，∵BD=2AE，∴AF=2AE，∴AE=EF，在△ABE和△FBE中，AE=EF∴△ABE≌△FBESAS∴∠ABE=∠FBE，故y軸恰好平分∠ABC．【題型4角平分線的性質(zhì)】

20．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠BCD，若AD=4，則點(diǎn)D到BC的距離是（

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵；過(guò)D作DE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=AD=4，即可得解．【詳解】解：過(guò)D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AC，∵∠ACD=∠BCD，DE⊥BC，∴DE=AD=4，∴點(diǎn)D到BC的距離是4，故選：B．21．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，點(diǎn)AB、BC、CA表示三條公路，現(xiàn)在要建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，則倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在

A．三邊中線的交點(diǎn)上 B．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)上C．三條邊高的交點(diǎn)上 D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)上【答案】B【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等成為解題的關(guān)鍵．由它到三條公路的距離相等，即其在三條角平分線的交點(diǎn)上，據(jù)此即可解答．【詳解】解：A．三角形中線的交點(diǎn)為三角形的重心，到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)的2倍，不符合題意；B．三角形角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，到各邊距離相等，符合題意；C．三角形高的交點(diǎn)為垂心，不符合題意；D．三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)到三角形的各頂點(diǎn)距離相等，不符合題意．故選B．22．（24-25八年級(jí)上·福建龍巖·期中）如圖，AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，則AC長(zhǎng)是（A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查了角的平分線性質(zhì)，三角形面積公式的應(yīng)用，過(guò)D作DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DF=DE=2，根據(jù)S△ADB【詳解】解：如圖，過(guò)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE=2，∴DE=DF=2，∵S△ABC∴S△ADB∴12∴12解得：AC=3．故選：A．23．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期中）如圖，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB⊥BC于B，DC⊥BC于C，AE平分∠BAD，下列結(jié)論：①∠AED=90°；②∠ADE=∠AEB；③AD=2DE；④S梯形ABCD=AD·CEA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；過(guò)E作EF⊥AD于F，由AAS證明△AEF≌△AEB，得出BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；證出EC=EF=BE，由HL證明Rt△EFD≌Rt△ECD，得出DC=DF，∠FED=∠CED，由平角定義得出∠AED=90°，①正確；由等角的余角相等得出∠ADE=∠AEB，②正確；只有∠ADE=60°時(shí)，AD=2DE，③不正確；證出AD=AF+FD=AB+DC，得出S【詳解】解：①過(guò)E作EF⊥AD于F，如圖，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠C=∠AFE=∠DFE=∠B=90°，在△AEF和△AEB中，∠AFE=∠B∠FAE=∠BAE∴△AEF≌△AEBAAS∴BE=EF，∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴EC=EF=BE，在Rt△EFD和RtDE=DEEF=EC∴Rt△EFD≌∴DC=DF，∵∠AEB+∠AEF+∠FED+∠CED=180°，∴∠AED=12×180°=90°②∵EF⊥AD，∴∠AEF+∠DEF=∠ADE+∠DEF∴∠AEF=∠ADE，∴∠ADE=∠AEB，②正確；③只有∠ADE=60°時(shí)，AD=2DE，∴③不正確；④∵AD=AF+FD=AB+DC，S梯形∴④正確；綜上，正確的結(jié)論是①②④，共3個(gè)，故選：C．24．（24-25八年級(jí)上·云南昭通·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠BAC的角平分線交于點(diǎn)O，AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面積為9cm2，則A．13.5cm2 B．18cm2 C．24cm2 【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥BC于E點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出OD=OE，根據(jù)三角形面積得出S△BOC【詳解】解：過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AB于D點(diǎn)，OE⊥BC于E點(diǎn)，如圖，∵OB平分∠ABC，∴OD=OE，∴S△BOC∵AB=6cm，BC=9cm，△ABO的面積為∴S△BOC故選：A．25．（24-25七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是30，BO，CO分別平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD=3，則△ABC的面積為（

）A．30 B．35 C．40 D．45【答案】D【分析】本題考查了角平分線性質(zhì)，過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OE=OD=OF=3，求出△ABC的面積S=S【詳解】解：過(guò)O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，連接OA，∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，OD=3，∴OE=OD=3，OF=OD=3，∵△ABC的周長(zhǎng)為30，∴AB+BC+AC=30，∴S=====45，故選：D．26．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PE⊥AC于點(diǎn)E．若S△BPC=7，PE=4，S△ABC=10，則A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PG=PF=PE=4，根據(jù)三角形面積公式分別求出BC、AB+AC，再根據(jù)三角形周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接AP，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，PG⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于G，∵∠ABC和∠ACB的外角平分線BP、CP交于點(diǎn)P，PE⊥AC，PF⊥BC于F，PG⊥AB，∴PG=PF=PE=4，∵S△BPC∴1解得：BC=7∵S△ABC∴1∴AB+AC=17∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+AC+BC=17故選：DD．27．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，三條公路l1、l2、l3A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，加油站要到三條公路的距離都相等，可知加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線有3個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)有1個(gè)，據(jù)此即可求解，掌握叫佛系的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵加油站要到三條公路的距離都相等，∴加油站必須是三條相交直線所組成的三角形的兩內(nèi)角或兩外角的角平分線的交點(diǎn)，而相鄰兩外角平分線有3個(gè)交點(diǎn)，內(nèi)角平分線的交點(diǎn)有1個(gè)，∴加油站可供選址的地方有4個(gè)，故選：D．【題型5角平分線的判定與性質(zhì)綜合】28．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD=DF(1)求證：BE=FC；(2)若AB=15，AF=9，求FC的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)FC=3【分析】（1）證明Rt△DBE≌（2）證明Rt△ACD≌Rt△AED本題考查了直角三角形全等的判定和性質(zhì)，角的平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的全等判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DC∵∠DCF=∠DEB=90°，BD=FD，DC=DE，∴Rt△DBE≌∴BE=FC．（2）解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DC，∵∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，DC=DE，∴Rt△ACD≌∴AE=AC，∴AF+FC=AB?BE，∵BE=FC．∴AF+FC=AB?FC，∵AB=15，AF=9，∴FC=AB?AF29．（24-25八年級(jí)上·湖北孝感·期中）（1）【問(wèn)題】如圖1，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，根據(jù)教材中一個(gè)重要性質(zhì)直接可得DB=DC，這個(gè)性質(zhì)是________________________；（2）【探究】如圖2，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B<90°，求證：DB=DC；（3）【應(yīng)用】如圖3，四邊形ABDC中，∠B=45°，∠C=135°，DB=DC，DE⊥AB，若BE=3，求AB?AC的值．【答案】（1）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（2）見(jiàn)解析；（3）6【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于E，DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于F，先證明∠B=∠FCD，即可證明△EBD≌△FCDAAS（3）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于F，連接AD，證明△EBD≌△FCDAAS，進(jìn)而證明Rt△ADE≌Rt【詳解】（1）角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；（2）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，交AB于E，DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°∵∠B+∠ACD=180°，∠FCD+∠ACD=180°，∴∠B=∠FCD，在△EBD和△FCD中，∠B=∠FCD∴△EBD≌△FCDAAS∴DB=DC，（3）解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC延長(zhǎng)線于F，連接AD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°，∵∠ACD=135°，∴∠FCD=∠B=45°，在△EBD和△FCD中，∠BED=∠CFD∴△EBD≌△FCDAAS∴DE=DF，BE=CF=3，在Rt△ADE和RtAD=AD∴∴AE=AF，∴AB?AC=AE+BE?30．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，△ABC的外角∠CBD，∠BCH的平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．(1)求證：PE=PF；(2)連接AP，若∠ABC=40°，求∠APC的度數(shù)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)20°【分析】本題主要考查了角平分線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)P作PG⊥BC于G，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出PE=PG，PF=PG，得出答案即可；（2）根據(jù)角平分線的判定得出AP平分∠BAC，根據(jù)角平分線定義得出∠CAP=12∠BAC，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠PCH=∠CAP+∠APC，根據(jù)∠BCH=∠BAC+∠ABC【詳解】（1）證明：過(guò)P作PG⊥BC于G，如圖所示：∵PB平分∠CBD，PE⊥BD，∴PE=PG，同理：PF=PG，∴PE=PF；（2）解：∵PE⊥AD，PF⊥AC，PE=PF，∴AP平分∠BAC，∴∠CAP=1∵CP平分∠BCH，∴∠PCH=1∵∠PCH=∠CAP+∠APC，∴12∵∠BCH=∠BAC+∠ABC，∴12∴∠APC=131．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·期中）如圖所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，DG⊥BC交∠BAC的平分線AD于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求證：BE=CF；(2)求AE的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)6．【分析】（1）如圖所示，連接BD，CD，先利用SAS證明△BGD≌△CGD得到BD=CD，再由角平分線的性質(zhì)得到DE=DF，即可利用HL證明Rt△DEB≌Rt△DFC（2）證明Rt△ADE≌Rt△ADFHL，得到AF=AE，由（1）得BE=CF，則AE=AF=AC+CF，據(jù)此求出本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接BD，CD，∵G是BC的中點(diǎn)，DG⊥BC，∴BG=CG，∠BGD=∠CGD=90°，又∵DG=DG，∴△BGD≌△CGDSAS∴BD=CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，又∵DB=DC，∴Rt△DEB≌∴BF=CF；（2）解：在Rt△ADE和RtAD=AD∴Rt△ADE≌∴AF=AE，由（1）得BE=CF，∴AE=AF=AC+CF，∴AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，∵AB=8，AC=4，∴BE=2，∴AE=AB?BE=6．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·河北邯鄲·期中）下列各選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形屬于全等形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查的是全等形的識(shí)別，利用全等圖形的概念“兩個(gè)圖形能夠完全重合，就是全等圖形”是解答本題的關(guān)鍵．本題觀察四個(gè)選項(xiàng)，根據(jù)“兩個(gè)圖形能夠完全重合，就是全等圖形”的定理即可得到答案．【詳解】解：A選項(xiàng)兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；B選項(xiàng)兩個(gè)圖形大小不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C選項(xiàng)兩個(gè)圖形大小形狀都不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；D選項(xiàng)兩個(gè)圖形大小形狀都不同，不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：A2．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖所示的兩個(gè)三角形全等，則x的值是（

）A．45 B．40 C．35 D．25【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，理解全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠D=85°，由三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，∠B=∠E=60°,AB=DE=2，∵兩個(gè)三角形全等，∴∠A=∠D=85°，∵∠D+∠E+x°=180°，∴x°=180°?60°?85°=35°，∴x=35，故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA，OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線OC，這一做法用到三角形全等的判定定方法是（

）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)作圖過(guò)程得出CM=CN，利用三邊相等證明△OCM≌△OCN即可得答案．【詳解】解：∵角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，∴CM=CN，在△OCM和△OCN中，OM=ONCM=CN∴△OCM≌△OCN，∴∠AOC=∠BON，∴這一做法用到三角形全等的判定定方法是SSS．故選：A．4．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，設(shè)第三邊上的中線長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（

）A．1<x<6 B．1<x<7 C．2<x<12 D．x>5【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中線、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．如圖所示，AB=5，AC=7，AD是BC邊上的中線，設(shè)AD=x，延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，則AE=AD+DE=2x，證明△BDE≌△CDASAS，則BE=AC=7，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到7?5<2x<7+5，即可得到x【詳解】解：如圖所示：AB=5，AC=7，AD是BC邊上的中線，則AD=x，

延長(zhǎng)AD至E，使AD=DE，則AE=AD+DE=2x，在△BDE與△CDA中，∵AD=DE，∴△BDE≌△CDASAS∴BE=AC=7，在△ABE中，BE?AB<AE<AB+BE，即7?5<2x<7+5，∴1<x<6．故選：A．5．（24-25八年級(jí)上·遼寧鐵嶺·期中）如圖，在△ABC中，CP平分∠ACB，AP⊥CP于點(diǎn)P，已知△ABC的面積為5，則陰影部分的面積為（）A．3.5 B．3 C．2.5 D．2【答案】C【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形中線的性質(zhì)．延長(zhǎng)AP交BC于D，證明△ACP≌△DCP，利用三角形的中線的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：延長(zhǎng)AP交BC于D，∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠DCP，∵AP⊥CP，∴∠APC=∠DPC=90°，在△ACP與△DCP中，∠ACP=∠DCPCP=CP∴△ACP≌△DCPASA∴AP=DP，∴S△ABP=1∴陰影部分的面積=1故選：C．6．（24-25八年級(jí)上·重慶云陽(yáng)·期中）如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥BC于點(diǎn)E，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，則DE的長(zhǎng)為（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握角平分線的性質(zhì)得到DE=DF是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，根據(jù)三角形的面積計(jì)算方法S△ABC【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，∵BD是∠ABC的角平分線，DE⊥BC,DF⊥AB，∴DE=DF，∵S△ABC∴DE=18故選：A．二、填空題7．（2024八年級(jí)上·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知AB∥CF，E為DF的中點(diǎn)，若AB=8cm，CF=5cm，則BD=【答案】3【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，由“AAS”可證△ADE≌△CFE，可得CF=AD=5cm【詳解】解：∵AB∥CF，∴∠A=∠ACF，∠F=∠ADE，∵E為DF的中點(diǎn)，∴DE=EF，在△ADE和△CFE中，∠A=∠ECF∠ADE=∠F∴△ADE≌△CFE(AAS)∴CF=AD=5(cm)∴BD=AB?AD=8?5=3(cm)故答案為：3．8．（24-25八年級(jí)上·廣東潮州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)△MBN，已知∠MBN=90°，MB=NB，M(3,0)，N(1,?4)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為．【答案】0,?1【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，坐標(biāo)與圖形．過(guò)點(diǎn)N作NA⊥y軸于點(diǎn)A，證明△BOM≌△NAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)N作NA⊥y軸于點(diǎn)A，

∵∠MBN=90°，NA⊥y軸，∴∠OBM=90?∠ABM=∠ANB，又∠BOM=∠NAB，MB=NB，∴△BOM≌△NABAAS∵M(jìn)3,0，N∴AB=OM=3,AN=OB=1，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為0,?1．故答案為：0,?1．9．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DC=5，則點(diǎn)D到AB的距離為．【答案】5【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，結(jié)合題目中的條件∠C=90°，BD平分∠ABC，利用角平分線的性質(zhì)定理可得DE=DC，再根據(jù)距離的定義即可解答．【詳解