信號與系統(tǒng)2電子課件

第2章時域分析

2.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)2.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)*2.4系統(tǒng)的方框圖表示*2.5相關(guān)分析*2.6正交分析2.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.1LTI系統(tǒng)響應(yīng)求解的基本思想假設(shè)任意信號x[n]可以分解為某種基本信號e[n]及其延時序列e[n-ni]的線性組合：x[n]=a0e[n]+a1e[n-n1]+a1e[n-n1]+…=∑iai

e[n

-ni]那么當(dāng)假定e[n]激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)為ye[n]，則由系統(tǒng)的線性和時不變性可知

e[n

-ni]→ye[n

-ni][時不變性]

ai

e[n

-ni]→ai

ye[n

-ni][比例性]

∑iai

e[n

-ni]→∑iai

ye[n

-ni][疊加性]

也就是說，只需要知道基本信號的響應(yīng)為ye[n]，就可以根據(jù)上述規(guī)律，求得任意信號的系統(tǒng)響應(yīng)。2.12.22.32.42.52.62.1.12.1.22.1.32.1.42025/1/142/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.2零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和求解用δ[n]表示離散信號圖2.1中x[n]可以看成等式右端四個沖激序列的線性疊加

x[n]=x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+x[2]δ[n-2]一般情況下：

x[n]=…+x[-1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n-1]+…即：

任意離散時間信號都可以用單位沖激序列的線性組合表示。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.1離散時間信號的單位沖激序列分解2025/1/143/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)已經(jīng)定義δ[n]激勵系統(tǒng)所產(chǎn)生的響應(yīng)為單位沖激響應(yīng)h[n]，根據(jù)系統(tǒng)的線性時不變性可知

即離散時間LTI系統(tǒng)在任意信號激勵下的輸出響應(yīng)為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/144/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和卷積和輸出響應(yīng)的求解就是兩個序列相乘后再求和。形如上式的求和稱為卷積(convolution)。任意兩個時間序列x1[n]，x2[n]的卷積和定義為

簡記為引入了卷積和的概念后，離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)等于系統(tǒng)輸入信號和系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積

，即已知系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h[n]后，可以求得系統(tǒng)在任意輸入情況下的輸出。因此，沖激響應(yīng)在時域中完全表征了一個LTI系統(tǒng)，是對系統(tǒng)的充分描述。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/145/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和

【例2-1】假設(shè)通過實(shí)驗(yàn)和分析確定圖1.42所示多徑傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)序列為h[0]

=1，h[1]

=0.5，h[2]

=0.1。如果系統(tǒng)的輸入序列為x[0]

=2，x[1]

=1，試求系統(tǒng)的輸出序列?！窘狻?/p>

其他n取值時，y[n]

=0

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖1.42室內(nèi)聲音多徑傳播的等效離散時間系統(tǒng)模型2025/1/146/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.3卷積和的計(jì)算方法一：借助信號波形作圖確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】

設(shè)x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，波形如圖2.2所示，計(jì)算卷積和。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6圖2.2例2-2中的方波序列和指數(shù)序列2025/1/147/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6橫軸變量n換為k

信號反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)信號平移，平移參量為n平移后兩信號相乘不同的n取值，可能有不同的表達(dá)式2025/1/148/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和

x2[n-k]平移到圖(b)以前的位置，n<0

,此時x1[k]與x2[n-k]無重疊，乘積為零，即x2[n-k]平移到圖(c)所示，非零值重疊區(qū)間的求和范圍是從k=0到k=n，即上述結(jié)果在0≤n≤N-1才成立，即

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/149/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和x2[n-k]平移到如圖(d)的位置，重疊情況不再發(fā)生變化，此時綜合上述求解結(jié)果：2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1410/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法一求卷積和的要點(diǎn)歸納如下：

如何進(jìn)行求和的分段x2[-k+n]平移時，的非零求和區(qū)間發(fā)生變化分段后如何確定的取值范圍確定波形x2[-k+n]在求和區(qū)間發(fā)生變化的臨界點(diǎn)時的平移量n的值如何確定求和上下限對比圖中關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)k的取值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1411/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法二：借助單位階躍函數(shù)確定的取值范圍與求和上下限【例2-2】對于例2-2所給的序列

x1[n]=u[n]-

u[n-N]，x2[n]=anu[n]，|a|<1，本例借助單位階躍函數(shù)計(jì)算其卷積和。

【解】由卷積和定義

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

k≥0時u[k]=1,k≤n時u[n-k]=1，k≥N時u[k-N]=1僅保留非零求和項(xiàng)注意求和上限需要大于下限2025/1/1412/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法二求卷積和的要點(diǎn)歸納如下：

借助階躍函數(shù)表示序列后x1[k]中不作反轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了求和的下限，x2[n-k]中作反轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了求和的上限。各項(xiàng)求和表達(dá)式后限定范圍的階躍函數(shù)形式為“u[上限-下限]”。2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1413/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和方法三：短序列卷積和的表格計(jì)算表格法事實(shí)上是將圖解法的數(shù)值計(jì)算過程進(jìn)行了表格化編排?！纠?-4】已知有限長序列x[n]={x[-1],x[0],x[1],x[2]}={1,2,3,-1}，

h[n]={h[0],h[1],h[2]}={1,-1,2}。求y[n]=x[n]*h[n]。

【解】考慮非零樣值，卷積和按定義式展開

代入n值2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1414/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和上述過程可用如下表格表示卷積結(jié)果可簡便地表示為2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

x[n]x[-1]=1x[0]=2x[1]=3x[2]=-1h[n]h[0]=1h[1]=-1h[2]=2246-2-1-2-31123-1y[n]11307-2n=02025/1/1415/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和排列豎式時注意下面兩點(diǎn)：

序列應(yīng)右對齊排列。y[n]最右邊樣值n的取值為x[n]和h[n]最右邊樣值的n值和，在該例中為n=2+2=4。最后特別指出：若兩個有限長序列x1[n],x2[n]的長度分別為L1和L2，非零區(qū)間分別為[N1,N2]和[M1,M2]，可以證明：卷積后序列的長度為L1+L2

-1，非零區(qū)間為[N1+M1,N2+M2]。

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6

2025/1/1416/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和2.1.4卷積和的性質(zhì)性質(zhì)1.交換律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令r=n-k

]2025/1/1417/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)2.結(jié)合律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令m=n-k

][交換律][交換求和次序][

y12[n]=x1[n]*x2[n]]

[交換律]2025/1/1418/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)3.分配律【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/1419/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)4.與沖激序列的卷積【證明】

2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[性質(zhì)x[n]δ[n-n0]=x[n0]δ[n-n0]]

2025/1/1420/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和【例2-5】設(shè)

x1[n]=u[n]-

u[n-2]，x2[n]=an(u[n]-

u[n-2])，計(jì)算其卷積和。【解】由于x1[n]和x2[n]是很短的序列，可以沖激序列表示為利用卷積和性質(zhì)有2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.62025/1/1421/772.1離散時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積和性質(zhì)5.卷積后信號的時移與反轉(zhuǎn)若y[n]

=x1[n]*x2[n]，則【證明】由前面的性質(zhì)4和2，第1式易證再證明第2式，由卷積和定義比較兩式可知2.1.12.1.22.1.32.1.42.12.22.32.42.52.6[令-k=r]

表達(dá)式y(tǒng)[n]

=x1[n]*x2[n]右邊的n是助記符，不是真正的時間變量，不能簡單的做變量代換。2025/1/1422/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.1零狀態(tài)響應(yīng)的卷積積分求解

用δ(t)表示連續(xù)信號窄脈沖疊加近似2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.4連續(xù)時間信號的窄脈沖分解2025/1/1423/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)若系統(tǒng)對δ(t)的響應(yīng)為h(t)，由LTI系統(tǒng)的線性時不變性質(zhì)可知即連續(xù)時間LTI系統(tǒng)對任意輸入信號x(t)的響應(yīng)為形如上式的積分稱為卷積積分。一般函數(shù)x1(t)和x2(t)的卷積積分定義為簡記為因此，連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y(t)

=x(t)*h(t)

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[時不變性][比例性][疊加性]2025/1/1424/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.2卷積積分的計(jì)算卷積積分的計(jì)算方法和卷積和的計(jì)算方法類似，主要有兩種計(jì)算方法。

方法一【例2-6】

x

(t)和h(t)波形如圖2.6所示，借助作圖求其卷積。2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.6例2-6的信號波形2025/1/1425/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分當(dāng)5≥t>-∞時，y(t)=0，兩波形不相交當(dāng)7≥t>5時，當(dāng)9≥t>7時，當(dāng)11≥t>9時，當(dāng)t>11時，y(t)=02.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.7例2-6的卷積圖解過程

圖2.8例2-6卷積后信號y(t)的波形2025/1/1426/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分方法二【例2-7】借助階躍函數(shù)求解例2-6中兩信號的卷積積分?！窘狻績尚盘柨梢员硎緸?/p>

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1427/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分由前式計(jì)算可得上式也可以寫成分段函數(shù)形式確定積分限和t值范圍的過程可歸納為下列兩點(diǎn)不作翻轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了積分的下限；作翻轉(zhuǎn)變化的階躍函數(shù)決定了積分的上限。積分項(xiàng)后限定t變化范圍的階躍函數(shù)形式為“u(上限-下限)”。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1428/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.3卷積積分的性質(zhì)性質(zhì)1.交換律、結(jié)合律和分配律交換律：結(jié)合律：分配律：性質(zhì)2.微積分性質(zhì)其中y(m)(t)表示m次求導(dǎo)（當(dāng)m

>0）或m次積分（當(dāng)m

<0）。該性質(zhì)表明：對卷積后函數(shù)y(t)的m次微積分運(yùn)算可以在x1(t)和x2(t)之間任意分配，只要對和的微分或積分次數(shù)之和等于m即可。

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1429/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分性質(zhì)3.與沖激函數(shù)的卷積將上述性質(zhì)和微積分性質(zhì)結(jié)合，則有

性質(zhì)4.卷積后信號的時移與反轉(zhuǎn)若y(t)=x1(t)*x2(t)，則

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1430/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分【例2-8】利用卷積性質(zhì)求例2-6中兩信號的卷積。

【解】x

(t)的一階導(dǎo)數(shù)為當(dāng)t<1時，當(dāng)1≤

t<5時，當(dāng)t≥5時，根據(jù)卷積積分的性質(zhì)有2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.62025/1/1431/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6圖2.9例2-8卷積結(jié)果2025/1/1432/772.2連續(xù)時間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)：卷積積分【例2-9】已知y(t)=x1(t)*x2(t)

，試用y(t)表示

x1(t-t1)*x2(t-t2)。

【解】反向利用性質(zhì)3

2.2.12.2.22.2.32.12.22.32.42.52.6[交換律和結(jié)合律][性質(zhì)3]2025/1/1433/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.1系統(tǒng)特性與沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)是對連續(xù)LTI系統(tǒng)的充分描述。因此，系統(tǒng)的許多性質(zhì)也必然在沖激響應(yīng)中得到體現(xiàn)。性質(zhì)1.因果性若系統(tǒng)是因果的，其沖激響應(yīng)必滿足h(t)=0或h[n]=0（t<0或n<0）性質(zhì)2.穩(wěn)定性若系統(tǒng)是BIBO穩(wěn)定的，則其沖激響應(yīng)必滿足：即，BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)必須是絕對可積的或絕對可和的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.62025/1/1434/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)性質(zhì)3.無記憶性若系統(tǒng)是無記憶的，則對所有的或，其沖激響應(yīng)滿足h(t)=0或h[n]=0（t≠0或n≠0）【例2-10】試判斷下列系統(tǒng)是否是因果的、穩(wěn)定的、無記憶的。(1)h(t)=e-tu(t+1) (2)

h[n]=u[n+3]-u[n-4]【解】(1)穩(wěn)定性：由于，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果性：因?yàn)閠<0時h(t)≠0

，因此系統(tǒng)是非因果性的。記憶性：因?yàn)閠≠0時h(t)有非零值，因此系統(tǒng)是有記憶的。

(2)穩(wěn)定性：由于，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。因果性：因?yàn)閚<0時h[n]≠0

，因此系統(tǒng)是非因果的。記憶性：因?yàn)閚≠0時h[n]有非零值，因此系統(tǒng)是有記憶的。

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.62025/1/1435/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.2理想系統(tǒng)的沖激響應(yīng)恒等系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所謂恒等系統(tǒng)即系統(tǒng)的輸出信號恒等于輸入信號，無失真無延時。所以恒等系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.10理想導(dǎo)線建模為恒等系統(tǒng)2025/1/1436/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)所謂理想傳輸系統(tǒng)即為無失真有時延的傳輸系統(tǒng)。

所以理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.11連續(xù)時間理想傳輸系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

2025/1/1437/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)2.3.3互聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)卷積結(jié)合律，可以將兩個子系統(tǒng)串聯(lián)時的系統(tǒng)總輸出改寫為其中上式表明串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)為子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的卷積，離散時間串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)類似可得2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.12連續(xù)時間串聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)2025/1/1438/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)并聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)當(dāng)兩個子系統(tǒng)并聯(lián)時，由圖2.15可知

因此并聯(lián)系統(tǒng)總沖激響應(yīng)為子系統(tǒng)沖激響應(yīng)的和，即

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.15并聯(lián)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

2025/1/1439/772.3系統(tǒng)沖激響應(yīng)的性質(zhì)混聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)利用前面的結(jié)論，可求得圖2.16所示混聯(lián)系統(tǒng)的總沖激響應(yīng)為

2.3.12.3.22.3.32.12.22.32.42.52.6圖2.16混聯(lián)系統(tǒng)舉例2025/1/1440/772.4系統(tǒng)的方框圖表示2.4.1微分方程描述系統(tǒng)的方框圖表示一個線性常系數(shù)微分方程涉及三種基本的運(yùn)算：微分、乘系數(shù)和相加。但是微分器抗干擾能力差。因此在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)時一般采用乘系數(shù)、相加和積分三種基本運(yùn)算單元，用圖2.17所示的符號表示。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.17微分方程描述系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元2025/1/1441/772.4系統(tǒng)的方框圖表示一階系統(tǒng)的方框圖描述

兩邊積分令2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.18(a)一階前向系統(tǒng)；(b)一階反饋系統(tǒng)

2025/1/1442/772.4系統(tǒng)的方框圖表示兩個系統(tǒng)可以級聯(lián)起來，即所謂的直接I型

串聯(lián)的兩個子系統(tǒng)互換位置，合并完全相同的積分支路，得直接II型結(jié)構(gòu)

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.20(a)交換子系統(tǒng)位置后的系統(tǒng)；(b)一階系統(tǒng)的直接II型結(jié)構(gòu)圖2.19一階微分方程系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)：直接I型2025/1/1443/772.4系統(tǒng)的方框圖表示N階系統(tǒng)的方框圖描述可類似推導(dǎo)出階微分方程系統(tǒng)的直接II型結(jié)構(gòu)。繪制系統(tǒng)框圖步驟可歸納如下：確定系統(tǒng)方程最高階次即為系統(tǒng)框圖積分器數(shù)目畫出框圖主體架構(gòu)按照微分方程，在系統(tǒng)框圖對應(yīng)位置填入對應(yīng)系數(shù)（缺項(xiàng)的部分無連線）

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.21N階微分方程系統(tǒng)的直接II型結(jié)構(gòu)

2025/1/1444/772.4系統(tǒng)的方框圖表示【例2-11】試?yán)L出下列微分方程的系統(tǒng)方框圖?！窘狻吭撓到y(tǒng)為4階系統(tǒng)，可以得到圖2.22(a)所示的直接II型的系統(tǒng)方框。稍加整理可以改畫為更為美觀的圖2.22(b)的形式。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.22例2-11圖2025/1/1445/772.4系統(tǒng)的方框圖表示2.4.2差分方程描述系統(tǒng)的方框圖表示差分方程涉及的三個基本運(yùn)算為乘系數(shù)、相加和序列延時(移位)，其符號表示如圖2.23所示2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.23差分方程描述系統(tǒng)的基本運(yùn)算單元2025/1/1446/772.4系統(tǒng)的方框圖表示一階系統(tǒng)的方框圖描述一階差分方程的一般形式為令則

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.24(a)一階前向系統(tǒng)；(b)一階反饋系統(tǒng)

2025/1/1447/772.4系統(tǒng)的方框圖表示兩個系統(tǒng)級聯(lián)后對應(yīng)于一般性一階系統(tǒng)，該結(jié)構(gòu)稱為直接I型

兩個級聯(lián)的子系統(tǒng)互換位置，合并完全相同的支路，得直接II型結(jié)構(gòu)。2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.26(a)交換子系統(tǒng)位置后結(jié)構(gòu)；(b)一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)：直接II型圖2.25一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)：直接I型2025/1/1448/772.4系統(tǒng)的方框圖表示

N階系統(tǒng)的方框圖描述假設(shè)N階差分方程具有如下形式

可類似推導(dǎo)出圖2.27所示的

N階差分方程的直接II型結(jié)構(gòu)。對于M<N的情況，令對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)為零即可。

2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.27N階差分方程的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)：直接II型2025/1/1449/772.4系統(tǒng)的方框圖表示

FIR系統(tǒng)用下列差分方程形式描述的系統(tǒng)（ak=0,k>0）有著較為廣泛的應(yīng)用，因?yàn)樗偸欠€(wěn)定的。

該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為有限長序列，因此這類系統(tǒng)稱為有限長脈沖響應(yīng)（FIR）系統(tǒng)。這類系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)可以進(jìn)一步簡化為下圖所示。2.4.12.4.22.12.22.32.42.52.6圖2.29FIR系統(tǒng)

2025/1/1450/772.5相關(guān)分析2.5.1連續(xù)時間信號相關(guān)函數(shù)相關(guān)分析在通信、雷達(dá)等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6圖2.30雷達(dá)測距基本原理2025/1/1451/772.5相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)能量有限實(shí)數(shù)信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)定義為令t=t–τ，可得到實(shí)信號自相關(guān)函數(shù)的等價定義形式

對于功率信號，上述積分將趨于無窮大，定義需改為周期信號是典型的功率信號，上述定義可以簡化為對于能量有限復(fù)數(shù)信號，自相關(guān)函數(shù)的定義為

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1452/772.5相關(guān)分析

【例2-13】

求下列信號的自相關(guān)函數(shù)(1)方波信號x(t)=u(t)-u(t-T)(2)正弦信號x(t)=cosωt；x(t)=sinωt(3)復(fù)指數(shù)信號x(t)=

ejωt【解】(1)當(dāng)0>τ≥-T時（參見圖(a)）

當(dāng)T

>τ≥0時（參見圖(b)），

相關(guān)和卷積的表達(dá)式非常相似，因此也可以利用卷積積分計(jì)算相關(guān)函數(shù)。2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6圖2.31方波信號的相關(guān)函數(shù)2025/1/1453/772.5相關(guān)分析(2)由周期信號自相關(guān)函數(shù)的定義知

類似的方法可以求得(3)ejωt是復(fù)周期信號，按照定義有

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6[上式第1項(xiàng)，余弦函數(shù)在完整周期內(nèi)積分為零]

2025/1/1454/772.5相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1.對稱性實(shí)數(shù)信號的自相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即

復(fù)信號相關(guān)函數(shù)滿足所謂的共軛對稱性

性質(zhì)2.極值性自相關(guān)函數(shù)在τ

=0時取最大值，即

性質(zhì)3.

自相關(guān)與卷積的關(guān)系2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1455/772.5相關(guān)分析【例2-14】利用相關(guān)函數(shù)和卷積的關(guān)系求x(t)=u(t)-u(t-T)的自相關(guān)函數(shù)。

【解】2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1456/772.5相關(guān)分析互相關(guān)函數(shù)能量有限實(shí)信號和復(fù)信號的互相關(guān)函數(shù)定義分別為

對于功率有限信號和周期信號，上述定義按照自相關(guān)的形式修正即可。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1457/772.5相關(guān)分析自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1.對稱性實(shí)信號：復(fù)信號：

性質(zhì)2.互相關(guān)與卷積的關(guān)系2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1458/772.5相關(guān)分析

【例2-14】利用互相關(guān)函數(shù)考察x(t)=cosωt和y(t)=sinωt之間的相關(guān)性問題，并分別求解Rxy(τ)和Ryx(τ)?！窘狻恐芷谛盘柣ハ嚓P(guān)函數(shù)的定義應(yīng)為對于本題有

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1459/772.5相關(guān)分析

【例2-16】本例考察LTI系統(tǒng)輸入信號x(t)和輸出信號y(t)之間的相關(guān)性。【解】設(shè)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t),y(t)=x(t)*h(t)。由互相關(guān)函數(shù)的定義知即同理可得2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.6[令t’=t+τ

][對比定義，令λ=-v][交換積分上下限，對比定義]2025/1/1460/772.5相關(guān)分析相關(guān)系數(shù)在有些應(yīng)用場合，只需直接考慮兩個信號的相似度問題，不必考慮信號的平移。為了在相似度的度量中去除信號幅度的影響，可以采取歸一化措施，定義如下相關(guān)系數(shù)：

對于功率有限信號和周期信號，上述定義按照自相關(guān)的形式修正即可。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1461/772.5相關(guān)分析用相關(guān)系數(shù)度量信號相似度或相關(guān)性具有以下特點(diǎn)。相關(guān)系數(shù)是歸一化的度量參數(shù)，即

|ρ|≤1ρ=±1時的相關(guān)性：當(dāng)信號波形相同、幅度不同時（即y(t)=Ax(t)

）ρ=1。

當(dāng)信號波形相同、極性相反時

（即y(t)=-Ax(t)

）ρ=-1。ρ=0時表明，x(t)和y(t)不相關(guān)或正交。

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1462/772.5相關(guān)分析

【例2-17】參見圖2.32，考察y1(t)至y4(t)與x(t)的相似程度。

【解】先求各信號在一個周期內(nèi)的能量

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1463/772.5相關(guān)分析

不難求得下列積分根據(jù)周期信號的相關(guān)系數(shù)代入上述計(jì)算數(shù)值，可得y1(t)至y4(t)與x(t)的相關(guān)系數(shù)分別為即

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1464/772.5相關(guān)分析2.5.2離散時間信號相關(guān)函數(shù)離散時間能量有限復(fù)信號x[n]和y[n]的互相關(guān)函數(shù)定義為功率信號的互相關(guān)函數(shù)定義為對于周期信號，可在任意一個周期內(nèi)求和，即上述定義同樣適用于是信號。

x[n]=

y[n]時，上述定義變?yōu)樽韵嚓P(guān)2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1465/772.5相關(guān)分析相關(guān)函數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1.自相關(guān)對稱性

x[n]為實(shí)信號，其自相關(guān)滿足

x[n]為復(fù)信號，其自相關(guān)滿足

性質(zhì)2.自相關(guān)極值性自相關(guān)函數(shù)在m

=0時取最大值，即性質(zhì)3.互相關(guān)對稱性

性質(zhì)4.

與卷積的關(guān)系實(shí)數(shù)序列相關(guān)函數(shù)和卷積的關(guān)系為

2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1466/772.5相關(guān)分析【例2-18】

求下列離散時間信號的自相關(guān)函數(shù)

(1)x[n]=u[n]-u[n-N]；(2)x[n]=cosΩn；(3)x[n]=ejΩn【解】(1)當(dāng)-N≥n>-∞或n≥N+1時，當(dāng)0≥n≥-N+1時，當(dāng)N≥n≥1時，

(2)(3)2.5.12.5.22.12.22.32.42.52.62025/1/1467/772.6正交分析2.6.1信號正交的概念和定義從矢量正交到信號正交

設(shè)x=[x1,x2,…,xN],y=[y1,y2,…,yN],為維實(shí)數(shù)矢量，矢量x和y之間的夾角由下式確定

其中當(dāng)x和y正交時夾角為90o,

cosθ

=0，即兩個矢量內(nèi)積為零2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.62025/1/1468/772.6正交分析信號正交的定義如果將矢量元素[x1,x2,…,xN]和[y1,y2,…,yN]看成離散時間信號的序列值，則可以稱滿足上式內(nèi)積為零的兩個離散時間信號是正交的。對于連續(xù)時間信號則可以將兩個信號乘積后積分為零定義為正交的條件。同時為了表述的統(tǒng)一，可定義兩個連續(xù)函數(shù)的內(nèi)積為若連續(xù)時間信號和在區(qū)間[t1,t2]上滿足則稱x(t),y(t)在區(qū)間[t1,t2]上正交。類似，離散時間信號正交的定義為2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.62025/1/1469/772.6正交分析

【例2-19】試證明下列信號是正交的。(1)sinkω1t與cosmω1t(k,m為整數(shù))正交。(2)當(dāng)k≠m時，ejkΩ1n與ejmΩ1n正交。(3)圖2.33所示的兩個反相方波信號正交。

2.6.12.6.22.12.22.32.42.52.6圖2.33兩個相位差180°的方波2025/1/1470/772.6正交分析【解】(1)sinkω1t與cosmω1t是周期信號，且T=2π/ω1為兩者的公共周期。積分范圍只需取一個周期

因此sinkω1t與cosmω1t正交。(2)ejkΩ1n與ejmΩ1n是周期信號，且N=2π/Ω1為兩者的公共周期。內(nèi)積的定義修正為一個周期內(nèi)的求和，有

因此，當(dāng)k≠m時，ejkΩ1n與ejmΩ1n正交