中考數(shù)學第二講三角形和全等三角形講解學習

第2講三角形和全等三角形了解①三角形的有關(guān)概念，如內(nèi)角、外角、邊、角平分線、高、中線；②全等三角形的定義.理解①三角形的穩(wěn)定性；②三角形的內(nèi)心、重心、垂心.掌握①三角形的三邊關(guān)系；②三角形的內(nèi)角和定理及其推論.熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì).一、概念直角三角形

銳角三角形

鈍角三角形

底邊不等于腰的等腰三角形

底邊等于腰的等腰三角形(等邊三角形)2．三角形的四條重要線段：(1)角平分線：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，________與______________之間的線段；(2)中線：連接三角形的一個______與它對邊的______的線段；(3)高：從三角形的一個頂點向它的對邊(或延長線)引垂線，________和________之間的線段；(4)中位線：連接三角形兩邊__________的線段．交點這個角的頂點頂點中點頂點垂足中點二、三角形的性質(zhì)1．三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和________第三邊，兩邊之差________第三邊．2．內(nèi)角和定理及推論：(1)三角形的內(nèi)角和等于________，外角和等于________；(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的________的和；(3)三角形的一個外角________任何一個與它不相鄰的內(nèi)角．3．中位線性質(zhì)：三角形的中位線________第三邊的一半．大于小于180°360°兩個內(nèi)角大于等于三、全等三角形1．全等三角形的概念：能夠________的兩個三角形叫做全等三角形．2．全等三角形的性質(zhì)：(1)全等三角形的對應(yīng)邊________，________相等；(2)全等三角形對應(yīng)邊的中線________，對應(yīng)角平分線________，對應(yīng)邊的高________．完全重合相等對應(yīng)角相等相等相等3．全等三角形的判定：(1)三邊對應(yīng)________的兩個三角形全等(可以簡寫成“________”或“________”)；(2)兩邊和它們的________對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“________”或“________”)；(3)兩角和它們的________對應(yīng)相等的兩個三角形相等(可以簡寫成“________”或“________”)；(4)兩個角和其中一個角的________對應(yīng)相等的兩個三角形全等(可以簡寫成“________”或“________”)；(5)斜邊和一條________對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等(可以簡寫成“________________”或“________”)．相等邊邊邊SSS夾角邊角邊 SAS夾邊角邊角 ASA對邊角角邊 AAS直角邊直角邊和斜邊 HL友情提示(1)判定兩個三角形全等時，必須有邊對應(yīng)相等，若有兩邊和一角對應(yīng)相等，角必須是兩邊的夾角，“邊邊角”和“三角”對應(yīng)相等不能判定兩個三角形全等；(2)對任意兩個三角形全等判定的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS四種，HL只適用于直角三角形的判定．B解析：由三角形的三邊關(guān)系定理，知8－3<1－2m<8＋3，解得－5<m<－2.2．如圖4－2－1，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，已知BC＝8，則DE的長是()圖4－2－1A．3B．5C．4D．6C3．如圖4－2－2，△ABC和△DEF中已有條件AB＝DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一組條件是()A．∠B＝∠E，BC＝EF

B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E

D．∠A＝∠D，BC＝EF圖4－2－2D解析：結(jié)合全等三角形的判定可知D項不能判定兩個三角形全等．4．如圖4－2－3，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝30°，則∠ACA′的度數(shù)為()A．20° B．30°C．35° D．40°B圖4－2－3解析：∵△ACB≌△A′CB′，∴∠B′CA′＝∠BCA，∴∠B′CB＝∠A′CA＝30°，故選B.5．如圖4－2－4，點D、B、C在同一直線上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，則∠E＝________度．圖4－2－445解析：由三角形內(nèi)角和為180°，可求得∠ABC＝70°，又由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，可得∠E＝∠ABC－∠D＝70°－25°＝45°.6．(2010·蘇州)如圖4－2－5，C是線段AB的中點，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.(1)求證：△ACD≌BCE；(2)若∠D＝50°，求∠B的度數(shù)．圖4－2－5(2)解：∵∠1＋∠2＋∠3＝180°∴∠1＝∠2＝∠3＝60°∵△ACD≌△BCE∴∠E＝∠D＝50°∴∠B＝180°－∠E－∠3＝70°(1)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，常常結(jié)合在一起應(yīng)用；(2)判斷三條線段能否組成三角形，只要檢驗較短的兩條線段長度之和是否大于第三條線段的長度即可，中考中常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，且常與三角形的周長、概率相結(jié)合或以探究題的形式命題．【例1】(2010·山西)現(xiàn)有四根木棒，長度分別為4cm,6cm,8cm,10cm，從中任取三根木棒，能組成三角形的個數(shù)為、()A．1B．2C．3D．4思路分析：根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，能組成三角形的有4cm,6cm,8cm；4cm,8cm,10cm；6cm,8cm,10cm，故選C.答案：C三角形的內(nèi)角和為180°，外角和為360°，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，三角形的外角大于任何一個與它不相鄰的內(nèi)角，應(yīng)用時常常利用整體觀點，把所求的角集中到某一個三角形中，或與三角形的內(nèi)角建立聯(lián)系來解決問題，中考常以選擇題，填空題的形式出現(xiàn)．【例2】如圖4－2－6，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝________.圖4－2－6思路分析：由三角形外角的性質(zhì)可知∠1＝∠4＋∠A，∠2＝∠3＋∠A，所以∠1＋∠2＝(∠3＋∠4＋∠A)＋∠A，由三角形內(nèi)角和定理可知∠3＋∠4＋∠A＝180°，所以∠1＋∠2＝180°＋40°＝220°.答案：220°對于三角形的中位線，需從以下兩個方面入手：(1)位置關(guān)系：三角形的中位線與第三邊平行；(2)數(shù)量關(guān)系：三角形的中位線等于第三邊的一半，中考中常與中點、中線、平移、旋轉(zhuǎn)等圖形變換綜合應(yīng)用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．【例3】如圖4－2－7，在△ABC中，點D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若△ABC的周長為10cm，則△DEF的周長是________cm.答案：5圖4－2－7(1)全等三角形的判定定理一般有SAS、ASA、AAS、SSS四種，對于直角三角形來講，還有HL一種特殊情況，不論是哪一種判定方法，必須有“至少一組對應(yīng)邊相等”這一條件；另外，當只有一組對應(yīng)角相等時，這組對應(yīng)角必須是“夾角”，也就是說，“SSA”是不能判定兩個三角形全等的；(2)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段(角平分線、中線、高)相等，周長、面積相等．【例4】如圖4－2－8，CE⊥AB，BF⊥AC，BF交CE于D點，且BD＝CD，判斷點D是否在∠BAC的平分線上，并說明理由．圖4－2－8思路分析：題目中CE⊥AB，BF⊥AC，所以要想證明點D在∠BAC的平分線上，只需證明DF＝DE，利用到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上即可，問題的關(guān)鍵就在證明DF＝DE，根據(jù)題意中的條件證明三角形全等即可．∴△DBE≌△DCF(AAS)，∴DE＝DF(全等三角形的對應(yīng)邊相等)．又∵CE⊥AB，BF⊥AC(已知)，∴點D在∠BAC的平分線上(到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上)．1．下列長度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是()A．5cm7cm10cm B．7cm10cm13cmC．5cm7cm13cm D．5cm10cm13cmC2．(2010·福州)下面四個圖形中(如圖4－2－9)，能判斷∠1>∠2的是()圖4－2－9D解析：A項，∠1＝∠2；B項，無法判斷；C項，∠2>∠1；根據(jù)三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系知D項正確．3．下列判斷中錯誤的是()A．有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等C．有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等D．有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等解析：有兩邊和一角對應(yīng)相等包括兩類：邊角邊和邊邊角，而邊邊角不能判定兩個三角形全等．B4．如圖4－2－10，△AOB中，∠B＝30°，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′OB′，邊A′B′與OB交于點C(A′不在OB上)，則∠A′CO的度數(shù)為()A．22° B．52°C．60° D．82°解析：△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)52°得到△A′OB′，則∠BOB′＝52°，又因為∠B＝30°，所以∠B′＝30°，又因為∠A′CO為△OCB′的一個外角，則∠A′CO＝∠COB′＋∠B′＝52°＋30°＝82°，故選D.D圖4－2－105．如圖4－2－11，∠ABC＝50°，AD垂直平分線段BC于點D，∠ABC的平分線BE交AD于點E，連接EC，則∠AEC的度數(shù)是________．圖4－2－11115°6．如圖4－2－12，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，點E在AC上，CE＝BC，過E點作AC的垂線，交CD的延長線于點F，求證：AB＝FC.圖4－2－12證明：∵FE⊥AC于點E，∠ACB＝90°∴∠FEC＝∠ACB＝90°∴∠F＋∠ECF＝90°又∵CD⊥AB于點D∴∠A＋∠ECF＝90°∴∠A＝∠F在△ABC和△FCE中，1.三角形的確定：如果已知線段a最大，只要滿足b＋c>a就可判定