湖南省邵陽市海誼中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(A卷)(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2海誼中學(xué)高一年級期末考試數(shù)學(xué)A卷一、單選題（每題3分，共計24分）1.已知向量，，若與同向共線，則（）A.3 B. C.或3 D.0或3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線坐標(biāo)表示結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，由，可得或，?dāng)時，，，，滿足題意，當(dāng)時，，，，不滿足題意，所以.故選：A.2.不在同一個平面內(nèi)兩個三角形的三組對應(yīng)邊分別平行，則這兩個三角形（）A.一定是全等三角形 B.一定是相似但不全等的三角形C.一定是相似或全等的三角形 D.可能不全等或相似【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等角定理，即可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)等角定理可知，這兩個三角形的三個角，分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形一定相似或全等.故選：C3.已知直線AB是平面斜線，則下列結(jié)論成立的是（）A.內(nèi)的所有直線都與直線AB異面 B.內(nèi)的任意一條直線都與直線AB垂直C.過直線AB存在一個平面與垂直 D.過直線AB存在一個平面與平行【答案】C【解析】【分析】利用線面，面面關(guān)系注意判斷即可．【詳解】在內(nèi)過斜足的直線與直線相交．則A錯誤；內(nèi)有無數(shù)條直線與直線垂直．這無數(shù)條直線都與斜線在內(nèi)的射影垂直．而“無數(shù)”不等價于“任意”，則B錯誤；斜線與它在內(nèi)的射影構(gòu)成一個平面，該平面與垂直，則C正確；由于斜線與相交，過斜線的平面一定與相交，則D錯誤，故選：C．4.某公司有營銷部門、宣傳部門以及人事部門，其中營銷部門有50人，平均工資為5千元，方差為4，宣傳部門有40人，平均工資為3千元，方差為8，人事部門有10人，平均工資為3千元，方差為6，則該公司所有員工工資的方差為（）A.6.4 B.6.6 C.6.7 D.6.8【答案】D【解析】【分析】先求出所有人的平均工資，結(jié)合方差公式計算即可求解.【詳解】所有人的平均工資為千元，故該公司所有員工工資的方差為.故選：D．5.是虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法及模運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，?則.則其在第三象限.故選：C6.如圖，正方體中與直線成異面直線的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由異面直線的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，因?yàn)橹本€與直線不同在任意一個平面，所以直線與直線是異面直線，故B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B7.隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記正面向上的點(diǎn)數(shù)為，則函數(shù)至多有一個零點(diǎn)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，求得，得到的取值有1，2，共2個可能結(jié)果，結(jié)合古典概型及概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，拋擲一枚質(zhì)地的均勻的骰子，正面向上的點(diǎn)數(shù)包含6個可能結(jié)果，又由函數(shù)至多有一個零點(diǎn)，則，解得，又因?yàn)闉檎麛?shù)，故的取值有1，2，共2個可能結(jié)果，所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn)的概率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式，解題時準(zhǔn)確找出試驗(yàn)包含的基本事件的個數(shù)，求得函數(shù)至多一個零點(diǎn)所包含的的個數(shù)，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.在平行四邊形中，，，，點(diǎn)，分別在，邊上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以、為基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計算可得.【詳解】解：，；，；，；．故選：C．二、多選題（每題4分，共3題，部分選對得3分，錯選不得分）9.在中，，，，則角的可能取值為（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理可求得，由的范圍可確定所有可能的取值.【詳解】由正弦定理得：，，又，，，或.故選：BC.10.下列說法錯誤的有（）A.如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同B.在中，必有C.若，則A，B，C一定為一個三角形的三個頂點(diǎn)D.向量的夾角為，，則【答案】AC【解析】【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，三角形法則，向量的模的求法判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對于A：非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同或?yàn)榱阆蛄浚蔄錯誤；對于B：在中，必有，故B正確；對于C：若，則，B，C一定為一個三角形的三個頂點(diǎn)，或A、B、C三點(diǎn)共線時，也成立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AC．11.在棱長為2的正方體中，分別是，，的中點(diǎn)，則下列正確的是（）A.平面B.平面C.多面體是棱臺D.平面截正方體所得截面的面積為【答案】AC【解析】【分析】由線面平行即可判斷A；由線面垂直即可判斷B；由棱臺定義即可判斷C；由平面截正方體所得截面的作圖即可判斷D．【詳解】對于A，取中點(diǎn)，連接，由正方體得四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，故A正確；對于B，取中點(diǎn)，連接，則，所以，所以，所以，由正方體得，平面，又平面，所以，因?yàn)?，，平面，，所以平面，又，所以與平面不垂直，故B錯誤；對于C，由正方體得，平面平面，即平面平面，由棱臺的定義可知，多面體是棱臺，故C正確；對于D，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為平面截正方體所得截面，因?yàn)椋?，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，故D錯誤；故選：AC．三、填空題（每題4分，共計12分）12.三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)可能為______個．【答案】1或3【解析】【分析】討論三條平行線是否共面，即可確定平面的個數(shù).【詳解】當(dāng)三條平行線不共面時，如下圖示可確定3個平面；當(dāng)三條平行線共面時，如下圖示確定1個平面.故答案為：1或313.已知，若向量滿足，則在方向上的投影為________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直關(guān)系得到，根據(jù)投影公式可求得結(jié)果.【詳解】由得：，即，在方向上的投影為：.故答案為：.14.“田忌賽馬”的故事千古流傳，故事大意是：在古代齊國，馬匹按奔跑的速度分為上、中、下三等.一天，齊王找田忌賽馬，兩人都從上、中、下三等馬中各派出一匹馬，每匹馬都各賽一局，采取三局兩勝制.已知田忌每個等次的馬，比齊王同等次的馬慢，但比齊王較低等次的馬快.若田忌事先打探到齊王第一場比賽會派出上等馬，田忌為使自己獲勝的概率最大，采取了相應(yīng)的策略，則其獲勝的概率最大為_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，列舉出所有比賽的情況，以及齊王第一場比賽會派出上等馬的比賽情況和田忌使自己獲勝時比賽的情況，結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)齊王有上、中、下三等的三匹馬、、，田忌有上、中、下三等的三匹馬、、，所有比賽的方式有：、、；、、；、、；、、；、、；、、，一共種.若齊王第一場比賽派上等馬，則第一場比賽田忌必輸，此時他應(yīng)先派下等馬參加.就會出現(xiàn)兩種比賽方式：、、和、、，其中田忌能獲勝的為、、，故此時田忌獲勝的概率最大為.故答案為：.四、解答題（15題10分，16題10分，17題10分，18題10分，19題12分）15.（1）已知向量，，，求；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算計算即可；（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算計算即可．【詳解】（1），，，,,,,,,；（2）．16.對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)，根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率10242合計1（1）寫出表中、及圖中的值（不需過程）；（2）若該校高三年級學(xué)生有240人，試估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間上的人數(shù)；（3）估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)．（結(jié)果精確到0.01）【答案】（1），，（2）人（3）中位數(shù)是．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布表求出、、，結(jié)合頻率分布直方圖求出；（2）由頻率估計人數(shù)；（3）根據(jù)中位數(shù)計算規(guī)則計算可得.【小問1詳解】由頻率分布表可得，，所以，．【小問2詳解】因?yàn)樵撔８呷昙墝W(xué)生有人，在上的頻率是，所以估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在此區(qū)間上的人數(shù)為人．【小問3詳解】因?yàn)榍遥灾形粩?shù)在區(qū)間上，因?yàn)橹形粩?shù)及前面的數(shù)的頻率之和為，設(shè)樣本中位數(shù)為，則，解得．估計該校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的中位數(shù)是．17.在△中，角A、B、C對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且，．（1）求證：△為等腰三角形；（2）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求AC邊上的高h(yuǎn)．條件①：△的面積為；條件②：△的周長為20．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理，結(jié)合，求得，通過判斷，即可證明；（2）選擇①，根據(jù)結(jié)合面積公式，求得a,b,c選擇②，根據(jù)三角形周長結(jié)合等量關(guān)系，求得a,b,c【小問1詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得：，又，設(shè)，則，解得（舍）或，故△為等腰三角形，即證.【小問2詳解】選①：△的面積為，由，可得，又，故，則，又，故可得，又，則，因?yàn)锳C邊上的高為h，故，故可得；選②：△的周長為20，則，即，結(jié)合可得，由，可得，又，故，則，即，解得.綜上所述，選擇①②作為條件，均有.18.第24屆冬季奧運(yùn)會將于2022年2月在北京舉辦，為了普及冬奧知識，某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機(jī)選取了10名學(xué)生，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如下表：分?jǐn)?shù)段人數(shù)1112221規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀，將頻率視為概率．（1）此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是多少？（2）在全校學(xué)生成績?yōu)榱己煤蛢?yōu)秀的學(xué)生中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行冬奧知識演講，求良好和優(yōu)秀各1人的概率．【答案】（1）0.3（2）0.6【解析】【分析】（1）由80分及以上的學(xué)生人數(shù)與抽取的總?cè)藬?shù)的比值進(jìn)行求解；（2）列舉法求解古典概率求概率公式.【小問1詳解】∵80分及以上為優(yōu)秀，∴，∴此次比賽中該校學(xué)生成績的優(yōu)秀率是0.3．【小問2詳解】∵成績良好的學(xué)生人數(shù)與成績優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)之比為，∴在成績良好的學(xué)生中抽取2人，記為a，b；在成績優(yōu)秀的學(xué)生中抽取3人，記為C，D，E．從a，b，C，D，E中隨組抽取2人的所有基本事件為：，，，，，，，，