專題2-常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)模型及其臨界問(wèn)題(考點(diǎn)精講)(人教版2019必修第二冊(cè))

專題二常見(jiàn)的圓周運(yùn)動(dòng)模型及其臨界問(wèn)題考點(diǎn)01圓錐擺模型及水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題【核心方法】1．圓錐擺模型(1)常見(jiàn)的圓錐擺模型物體受重力、斜向上的拉力或支持力等(也可能受斜面的摩擦力)在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，稱為圓錐擺模型。常見(jiàn)的圓錐擺模型如下表：運(yùn)動(dòng)模型向心力的來(lái)源圖示飛機(jī)水平轉(zhuǎn)彎火車轉(zhuǎn)彎圓錐擺物體在光滑半圓形碗內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(2)圓錐擺問(wèn)題的分析思路①對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，確定向心力來(lái)源。②確定圓心和半徑。③應(yīng)用相關(guān)規(guī)律列方程求解。在豎直方向根據(jù)平衡條件列式，在水平方向根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律列式。2．兩類常見(jiàn)模型的臨界情況分析(1)水平轉(zhuǎn)盤模型①如果只有摩擦力提供向心力，物體間恰好不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)的臨界條件是物體間恰好達(dá)到最大靜摩擦力，則最大靜摩擦力Fm＝eq\f(mv2,r)，方向指向圓心。②如果除摩擦力以外還有其他力，如繩兩端連接物體隨水平面轉(zhuǎn)動(dòng)，其臨界情況要根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行判斷，如判斷某個(gè)力是否存在以及這個(gè)力存在時(shí)的方向(特別是一些接觸力，如靜摩擦力、繩的拉力等)。(2)圓錐擺模型①繩上拉力的臨界條件是：繩恰好拉直且沒(méi)有彈力或繩上的拉力恰好達(dá)到最大值。②接觸或脫離的臨界條件是：物體與物體間的彈力恰好為零。(3)對(duì)于火車轉(zhuǎn)彎、半圓形碗內(nèi)的水平圓周運(yùn)動(dòng)有兩類臨界情況：摩擦力的方向發(fā)生改變；發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。【典例1】如圖所示，A和B兩物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放在轉(zhuǎn)盤上，A的質(zhì)量為m，B的質(zhì)量為2m，兩者用長(zhǎng)為l的細(xì)繩連接，A距轉(zhuǎn)軸距離為l，兩物塊與轉(zhuǎn)盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，整個(gè)裝置能繞通過(guò)轉(zhuǎn)盤中心的轉(zhuǎn)軸O1O2轉(zhuǎn)動(dòng)，開(kāi)始時(shí)，細(xì)繩恰好伸直但無(wú)彈力，現(xiàn)讓該裝置從靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，重力加速度為g，求：(1)角速度ω為何值時(shí)，繩上剛好出現(xiàn)拉力；(2)角速度ω為何值時(shí)，A、B開(kāi)始與轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)?！敬鸢浮?1)eq\r(\f(μg,2l))；(2)eq\r(\f(3μg,5l))【解析】(1)開(kāi)始時(shí)兩物塊都靠靜摩擦力提供向心力，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑更大的B先達(dá)到最大靜摩擦力，此時(shí)繩子開(kāi)始出現(xiàn)彈力，根據(jù)牛頓第二定律有μ·2mg＝2mωeq\o\al(2,1)·2l解得ω1＝eq\r(\f(μg,2l))故角速度為eq\r(\f(μg,2l))時(shí)，繩上剛好出現(xiàn)拉力。(2)當(dāng)A所受的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力時(shí)，A、B開(kāi)始相對(duì)于轉(zhuǎn)盤滑動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，對(duì)A有μmg－T＝mωeq\o\al(2,2)l對(duì)B有μ·2mg＋T＝2mωeq\o\al(2,2)·2l聯(lián)立解得ω2＝eq\r(\f(3μg,5l))故角速度為eq\r(\f(3μg,5l))時(shí)，A、B開(kāi)始與轉(zhuǎn)盤發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。【強(qiáng)化訓(xùn)練1】如圖所示，在光滑的圓錐頂端，用長(zhǎng)L＝2m的細(xì)繩懸掛一質(zhì)量m＝1kg的小球，圓錐頂角2θ＝74°(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。求：(1)當(dāng)小球以ω＝1rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩上的拉力大小；(2)當(dāng)小球以ω＝5rad/s的角速度隨圓錐體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，細(xì)繩上的拉力大小。【答案】(1)8.72N；(2)50N【解析】(1)設(shè)小球剛要離開(kāi)錐面時(shí)的角速度為ω0，此時(shí)錐面對(duì)它的支持力為零，根據(jù)牛頓第二定律，得mgtanθ＝mωeq\o\al(2,0)Lsinθ代入數(shù)據(jù)解得ω0＝2.5rad/s當(dāng)ω＝1rad/s<2.5rad/s時(shí)，小球沒(méi)有離開(kāi)錐面，如圖1，水平方向根據(jù)牛頓第二定律，得FTsinθ－FNcosθ＝mω2Lsinθ豎直方向根據(jù)平衡條件，得FTcosθ＋FNsinθ＝mg聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得FT＝8.72N。(2)當(dāng)ω＝5rad/s>2.5rad/s時(shí)，小球離開(kāi)錐面，設(shè)細(xì)繩與豎直方向的夾角為β，如圖2，根據(jù)牛頓第二定律，得FT1sinβ＝mω2Lsinβ解得FT1＝mω2L＝1×25×2N＝50N。模型規(guī)律總結(jié)水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題，常常要分析物體所處的狀態(tài)的受力特點(diǎn)，然后結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，列方程求解，一般會(huì)涉及臨界速度、臨界角速度等。通常有下面兩種情況：(1)與繩(或面等)的彈力有關(guān)的臨界問(wèn)題：此類問(wèn)題要分析出恰好無(wú)彈力或彈力達(dá)到最大這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)。(2)因靜摩擦力而產(chǎn)生的臨界問(wèn)題：此類問(wèn)題要分析出靜摩擦力達(dá)到最大時(shí)這一臨界狀態(tài)下的角速度(或線速度)，或靜摩擦力方向恰好發(fā)生改變時(shí)的角速度(或線速度)?？键c(diǎn)02豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型及其臨界問(wèn)題【核心方法】1．豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，運(yùn)動(dòng)至軌道最高點(diǎn)時(shí)的受力情況，可分為三種模型：一是只有拉(壓)力，如球與繩連接、沿內(nèi)軌道的“過(guò)山車”等，稱為“輕繩模型”；二是只有推(支撐)力，稱為“拱橋模型”；三是可拉(壓)可推(支撐)，如球與桿連接、小球在彎管內(nèi)運(yùn)動(dòng)等，稱為“輕桿模型”。2．三種模型對(duì)比輕繩模型拱橋模型輕桿模型情景圖示彈力特征彈力向下(也可能等于零)彈力向上(也可能等于零)彈力可能向下，可能向上，也可能等于零受力示意圖力學(xué)方程mg＋FT＝meq\f(v2,r)mg－FN＝meq\f(v2,r)mg±FN＝meq\f(v2,r)臨界特征FT＝0時(shí)，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)FN＝0時(shí)，即mg＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(gr)v＝0，即F向＝0，此時(shí)FN＝mg，方向向上對(duì)速度eq\r(gr)的理解①v>eq\r(gr)時(shí)，小球能過(guò)最高點(diǎn)；②v＝eq\r(gr)時(shí)，小球剛好過(guò)最高點(diǎn)；③v<eq\r(gr)時(shí)小球不能過(guò)最高點(diǎn)①v≥eq\r(gr)時(shí)，車(物體)離開(kāi)拱橋最高點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)；②v<eq\r(gr)時(shí)車(物體)能過(guò)最高點(diǎn)且不離開(kāi)拱橋①v>eq\r(gr)時(shí)，桿或管道的外側(cè)對(duì)球產(chǎn)生向下的拉力或彈力；②v＝eq\r(gr)時(shí)，球在最高點(diǎn)只受重力，不受桿或管道的作用力；③v<eq\r(gr)時(shí)，桿或管道的內(nèi)側(cè)對(duì)球產(chǎn)生向上的彈力模型拓展——斜面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)1．概述在斜面上做圓周運(yùn)動(dòng)的物體，根據(jù)受力情況的不同，可分為以下三類：(1)物體在靜摩擦力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。(2)物體在繩的拉力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。(3)物體在桿的作用下做圓周運(yùn)動(dòng)。這類問(wèn)題的特點(diǎn)是重力的分力和其他力的合力提供向心力，運(yùn)動(dòng)和受力情況比較復(fù)雜。2．分析方法與豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)類似，斜面上的圓周運(yùn)動(dòng)也是集中分析物體在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力情況，列牛頓運(yùn)動(dòng)定律方程來(lái)解題。只是在受力分析時(shí)，一般需要進(jìn)行立體圖到平面圖的轉(zhuǎn)化，這是解斜面上圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的難點(diǎn)?！镜淅?】長(zhǎng)度為L(zhǎng)＝0.50m的輕質(zhì)細(xì)桿OA，A端有一質(zhì)量為m＝3.0kg的小球，如圖所示，小球以O(shè)點(diǎn)為圓心在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，則此時(shí)細(xì)桿OA受到()A．6.0N的拉力 B．6.0N的壓力C．24N的拉力 D．24N的壓力【答案】B【解析】設(shè)小球以速率v0通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，球?qū)U的作用力恰好為零，即mg＝meq\f(v\o\al(2,0),L)，得v0＝eq\r(gL)＝eq\r(10×0.50)m/s＝eq\r(5)m/s。由于v＝2.0m/s<eq\r(5)m/s，可知過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，球?qū)?xì)桿產(chǎn)生壓力，細(xì)桿對(duì)小球有支持力，如圖所示，為小球的受力情況圖。由牛頓第二定律有mg－FN＝meq\f(v2,L)，得FN＝mg－meq\f(v2,L)＝3.0×10N－3.0×eq\f(2.02,0.50)N＝6.0N，由牛頓第三定律知，細(xì)桿OA受到6.0N的壓力，B正確?！緩?qiáng)化訓(xùn)練2-1】雜技演員表演“水流星”，在長(zhǎng)為1.6m的細(xì)繩的一端，系一個(gè)與水的總質(zhì)量為m＝0.5kg的盛水容器，以繩的另一端為圓心，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，若“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的速率為4m/s，則下列說(shuō)法正確的是(g＝10m/s2)()A．“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，有水從容器中流出B．“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩的張力及容器底部受到的壓力均為零C．“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，處于完全失重狀態(tài)，不受力的作用D．“水流星”通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩子的拉力大小為5N【答案】B【解析】水流星”在最高點(diǎn)的速度v＝4m/s＝eq\r(gL)，由此知繩的拉力恰為零，且水恰不流出，“水流星”只受重力作用，處于完全失重狀態(tài)，容器底部受到的壓力為零，故只有B正確?！緩?qiáng)化訓(xùn)練2-2】如圖所示，一個(gè)半徑為R的實(shí)心圓盤，其中心軸與豎直方向的夾角為θ。開(kāi)始時(shí)，圓盤靜止，其上表面覆蓋著一層灰塵，沒(méi)有掉落。現(xiàn)使圓盤繞其中心軸旋轉(zhuǎn)，其角速度從零緩慢增大至ω，此時(shí)圓盤表面上的灰塵有75%被甩掉，設(shè)灰塵與圓盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度為g，則ω的值為_(kāi)___________________。【答案】eq\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))【解析】由于灰塵隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由灰塵受到的指向圓心的合力提供，灰塵在最下端時(shí)指向圓心的摩擦力最大。當(dāng)75%的灰塵被甩掉時(shí)，剩余灰塵所在圓的半徑r＝eq\f(R,2)，如圖所示。根據(jù)牛頓第二定律，有μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(2gμcosθ－sinθ,R))。模型規(guī)律總結(jié)豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的求解思路(1)確