【八年級下冊數(shù)學(xué)人教版】第十六章 二次根式（6類壓軸題專練）

第十六章二次根式（6類壓軸題專練）考點(diǎn)一化簡含字母的二次根式例題：（2023上·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）已知，則化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．變式訓(xùn)練1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）把根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）A． B． C． D．2．（2023上·四川樂山·九年級樂山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t代數(shù)式可化簡為（

）A． B． C． D．3．（2023上·河南鄭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2023上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式，得（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二利用二次根式的非負(fù)性求值例題：已知，則的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0變式訓(xùn)練1．已知x、y都是實(shí)數(shù)，且，則xy=______________．2．已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為_______．3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)求的平方根．考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算例題：對任意的正數(shù)，，定義運(yùn)算“*”如下：計(jì)算的結(jié)果為______．變式訓(xùn)練1．對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“※”如下：※，如3※，那么6※__．2．已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．3．用定義一種新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定．(1)求的值．(2)_____________．4．對于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．考點(diǎn)四二次根式的分母有理化例題：像、、…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)計(jì)算：①______，②______；(2)計(jì)算：；(3)已知有理數(shù)、滿足，則______，______．變式訓(xùn)練1．（2023上·寧夏中衛(wèi)·八年級校考階段練習(xí)）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例1：，例2：，，利用以上結(jié)論解答以下問題：（不必證明）(1)_____；______；(2)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．（有過程）2．（2023上·河北石家莊·八年級?？计谀瑑蓚€(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，，其中與與都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以將分母有理化．請完成下列問題：(1)計(jì)算：______，______；(2)已知有理數(shù)a、b滿足，則_______，________；(3)計(jì)算．3．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）先閱讀材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式化同時(shí)，我們有時(shí)會遇到形如，，的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：①；②；③．以上這種化簡的方法叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：④(1)請用不同的方法化簡．(2)化簡：．考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡例題：先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：．解決問題：化簡下列各式(1)； (2)．變式訓(xùn)練1．（1）填空：______；______；（2）例題：化簡解：因?yàn)樗苑抡丈侠姆椒?，化簡下列各式：?/p>

②2．我們已知學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)的平方，如等，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：=，所以的算術(shù)平方根是．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法解答下列問題：(1)填空：=________________；=________________；(2)化簡：++++．考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問題例題：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，，，…驗(yàn)證：；(1)請仿照上面的方法來驗(yàn)證；(2)根據(jù)上面反映的規(guī)律，請將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來．并寫出過程．變式訓(xùn)練1．觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．2．觀察下列各式及驗(yàn)證過程：＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝…(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，不需要證明．3．小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請補(bǔ)充完整：(1)具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填寫運(yùn)算結(jié)果）；(2)觀察、歸納，得出猜想．如果n為正整數(shù)，用含n的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：____________；(3)證明你的猜想．(4)應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律：①化簡：____________；②若（a，b均為正整數(shù)），則的值為____________．4．觀察下列等式，解答后面的問題：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……(1)請直接寫出第5個(gè)等式___________；(2)根據(jù)上述規(guī)律猜想：若n為正整數(shù)，請用含n的式子表示第n個(gè)等式，并給予證明；(3)利用（2）的結(jié)論化簡：．

第十六章二次根式（6類壓軸題專練）答案全解全析考點(diǎn)一化簡含字母的二次根式例題：（2023上·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）已知，則化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查二次根式的性質(zhì)及化簡．首先根據(jù)二次根式有意義的條件求得a、b的取值范圍，然后再利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，∴，∵，∴，，故選：A變式訓(xùn)練1．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）把根號外的因數(shù)移到根號內(nèi)，結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)以及二次根式有意義，先由被開方數(shù)，得，再結(jié)合二次根式的性質(zhì)，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∴，則，故選：C．2．（2023上·四川樂山·九年級樂山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若，則代數(shù)式可化簡為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了二次根式的化簡，先根據(jù)二次根式有意義的條件和已知條件推出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵二次根式有意義，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．3．（2023上·河南鄭州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)題意判斷出a的符號，再把二次根式進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：∵有意義，則∴，故選：B．4．（2023上·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期中）化簡二次根式，得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，先根據(jù)，再由二次根式的性質(zhì)即可得出結(jié)論，熟知二次根式具有非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：．考點(diǎn)二利用二次根式的非負(fù)性求值例題：已知，則的值是（

）A．2022 B．1 C．－1 D．0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性即可求得的值，進(jìn)而求得的值，代入代數(shù)式即可求解．【詳解】解：∵，則，∴，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．已知x、y都是實(shí)數(shù)，且，則xy=______________．【答案】6【解析】【分析】利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求出x值，再代入求出y值，即可求解．【詳解】解：，，，，，將代入，得：，．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，代數(shù)式的求值，熟練掌握并靈活運(yùn)用算術(shù)平方根的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．2．已知實(shí)數(shù)滿足，則的值為_______．【答案】16【解析】【分析】先對進(jìn)行變形，然后根據(jù)算術(shù)平方根的非負(fù)性和平方的非負(fù)性，求出x、y的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，∴．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方的非負(fù)性，熟練掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0時(shí)，這幾個(gè)非負(fù)數(shù)都為0，是解題的關(guān)鍵．3．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足(a﹣2)2+|2b+6|+＝0．(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)求的平方根．【答案】(1)a＝2，b＝﹣3，c＝5(2)的平方根為±2【解析】【分析】（1）根據(jù)非負(fù)性可知，(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，＝0，求出a，b，c的值；（2）由（1）得a＝2，b＝﹣3，c＝5，將a，b，c代入求解即可．(1)解：∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，∴(a﹣2)2=0，|2b+6|=0，，∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，解得a＝2，b＝﹣3，c＝5；(2)解：由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，則＝＝4，而，故的平方根為±2．【點(diǎn)睛】本題考查了平方的非負(fù)性，絕對值的非負(fù)性以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，以及求一個(gè)數(shù)的平方根，熟練地運(yùn)用以上知識是解決問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三新定義型二次根式的運(yùn)算例題：對任意的正數(shù)，，定義運(yùn)算“*”如下：計(jì)算的結(jié)果為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)新定義，將所給數(shù)值代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴==故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂新定義的運(yùn)算法則．變式訓(xùn)練1．對于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)、，定義運(yùn)算“※”如下：※，如3※，那么6※__．【答案】【解析】【分析】按新定義的運(yùn)算規(guī)定化簡求值．【詳解】解：6※．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握、理解新定義的規(guī)定是解決本題的關(guān)鍵．2．已知a，b都是實(shí)數(shù)，現(xiàn)定義新運(yùn)算：，例：．(1)求的值；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)定義新運(yùn)算：a*b＝3a﹣b2，得到，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可解答．(1)解：∵，∴(2)解：∵，，∴＝【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，平方差公式，理解定義新運(yùn)算a*b＝3a﹣b2是解題的關(guān)鍵．3．用定義一種新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)和，規(guī)定．(1)求的值．(2)_____________．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算計(jì)算即可（2）根據(jù)新運(yùn)算先計(jì)算，然后將和計(jì)算的結(jié)果再次用新運(yùn)算計(jì)算即可【詳解】（1）∵，∴（2）∵，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵就是根據(jù)新定義按照運(yùn)算規(guī)則計(jì)算4．對于任意兩個(gè)不相等的數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“◎”如下：，如．(1)填空：___________．(2)若，求x的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算，即可求得結(jié)果；(2)首先根據(jù)新定義進(jìn)行運(yùn)算，可求得，再解方程即可求解．【詳解】（1）解：，故答案為：3；（2）解：，，．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算及解一元一次方程，分母有理化，理解新定義運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四二次根式的分母有理化例題：像、、…兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，和、與、與等都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)計(jì)算：①______，②______；(2)計(jì)算：；(3)已知有理數(shù)、滿足，則______，______．【答案】(1)，；(2)1(3)-1，1【解析】【分析】（1）①分子、分母都乘以即可；②分子、分母都乘以；（2）第一項(xiàng)分子、分母都乘以，第二項(xiàng)分子、分母都乘以，再計(jì)算即可；（3）將等式左邊分母有理化，得到，根據(jù)a、b都是有理數(shù)，得到2a+b=-1，b-a=2，即可求出a=-1，b=1．(1)解：①，故答案為：；②，故答案為：；(2)===1；(3)∵，∴，∴，∴，∵a、b都是有理數(shù)，∴2a+b=-1，b-a=2，解得a=-1，b=1，故答案為：-1，1．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化計(jì)算，正確掌握各式子的有理化因式是解題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（2023上·寧夏中衛(wèi)·八年級校考階段練習(xí)）觀察下列一組式的變形過程，然后回答問題：例1：，例2：，，利用以上結(jié)論解答以下問題：（不必證明）(1)_；_；(2)利用上面的結(jié)論，求下列式子的值．（有過程）【答案】(1)；(2)9【分析】本題考查了分母有理化：涉及二次根式的性質(zhì)化簡、平方差公式的運(yùn)用：（1）根據(jù)例1的過程，仿寫即可作答．（2）逐個(gè)化簡，得，，，，……，然后進(jìn)行合并同類二次根式，即可作答．【詳解】（1）解：∵∴；∴；（2）解：∵，，，，……，∴.2．（2023上·河北石家莊·八年級校考期末），兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式．例如，，其中與與都是互為有理化因式．在進(jìn)行二次根式計(jì)算時(shí)，利用有理化因式，可以將分母有理化．請完成下列問題：(1)計(jì)算：_，_；(2)已知有理數(shù)a、b滿足，則_，_；(3)計(jì)算．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】本題主要考查了分母有理化，熟知分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵；（1）把分子分母同時(shí)乘以即可把有理化；分子分母同時(shí)乘以，即可對進(jìn)行有理化；（2）把式子的左邊分母有理化得到，進(jìn)而得到方程組，解方程組即可得到答案；（3）先證明，再對所求式子進(jìn)行分母有理化，然后合并即可得到答案．【詳解】（1）解：；．故答案為：；；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵a、b都是有理數(shù)，∴，∴，故答案為：；；（3）解：，∴．3．（2023上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）先閱讀材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式化同時(shí)，我們有時(shí)會遇到形如，，的式子，其實(shí)我們還可以將其進(jìn)一步化簡：①；②；③．以上這種化簡的方法叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：④(1)請用不同的方法化簡．(2)化簡：．【答案】(1)方法見解析，結(jié)果為(2)【分析】本題主要考查了分母有理化，熟練掌握分母有理化的方法是解題的關(guān)鍵．（1）仿照題意進(jìn)行分母有理化即可；（2）先根據(jù)分母有理化的方法推出，再把所求式子按照上述形式進(jìn)行裂項(xiàng)，然后合并化簡即可．【詳解】（1）解：；；（2）解：，∴．考點(diǎn)五復(fù)合二次根式的化簡例題：先閱讀下列材料，再解決問題：閱讀材料：數(shù)學(xué)上有一種根號內(nèi)又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方公式及一次根式的性質(zhì)化去一層根號．例如：．解決問題：化簡下列各式(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將根號里面的7拆分成4和3，4寫成2的平方，3寫成的平方，進(jìn)而逆用完全平方和公式，最后將算式整體開方；（2）將根號里面的9拆分成4和5，4寫成2的平方，5寫成的平方，進(jìn)而逆用完全平方差公式，最后將算式整體開方．(1)解：(2)解：【點(diǎn)睛】本題考查乘法公式的逆用，能夠快速的尋找，歸納，總結(jié)，并應(yīng)用規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練1．（1）填空：______；______；（2）例題：化簡解：因?yàn)樗苑抡丈侠姆椒ǎ喯铝懈魇剑孩?/p>

②【答案】（1）；；（2）①；②【解析】【分析】（1）分別根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算，以及二次根式的性質(zhì)計(jì)算，即可求解；（2）①把原式化為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解；②把原式化為，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，即可求解．【詳解】解：（1）；；故答案為：；（2）①；②【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的混合運(yùn)算法則，二次根式的性質(zhì)，完全平方公式是解題的關(guān)鍵．2．我們已知學(xué)過完全平方公式，知道所有的非負(fù)數(shù)都可以看作一個(gè)數(shù)的平方，如等，那么，我們可以利用這種思想方法和完全平方公式來計(jì)算下面的題：例：求的算術(shù)平方根．解：=，所以的算術(shù)平方根是．你看明白了嗎？請根據(jù)上面的方法解答下列問題：(1)填空：=________________；=________________；(2)化簡：++++．【答案】(1)；；(2)；【解析】【分析】（1）利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)，對根號下的式子進(jìn)行化簡配湊，湊完全平方式求解；（2）對每一項(xiàng)進(jìn)行配湊，使之成為完全平方式的結(jié)構(gòu)，然后進(jìn)行化簡計(jì)算．(1)解：；；(2)解：，，，，．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)六二次根式中的規(guī)律探究問題例題：觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，，，…驗(yàn)證：；(1)請仿照上面的方法來驗(yàn)證；(2)根據(jù)上面反映的規(guī)律，請將猜到的規(guī)律用含自然數(shù)的代數(shù)式表示出來．并寫出過程．【答案】(1)見解析(2)，過程見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知計(jì)算過程求出即可；（2）求出一般式子都是，根據(jù)已知算式的計(jì)算過程求出即可．(1)解：驗(yàn)證：，故成立；(2)解：，．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)字規(guī)律型，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和閱讀能力，難度適中．變式訓(xùn)練1．觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：，驗(yàn)證：；，驗(yàn)證：；(1)按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件寫出，再化簡二次根式進(jìn)行驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)已知條件總結(jié)規(guī)律，再化簡進(jìn)行驗(yàn)證即可．(1)解：∵，，∴，驗(yàn)證：，正確．(2)解：，驗(yàn)證：，正確．【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律及二次根式的化簡，掌握二次根式的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．觀察下列各式及驗(yàn)證過程：＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝；＝，驗(yàn)證＝＝＝…(1)按照上述三個(gè)等式及其驗(yàn)證過程中的基本思想，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證．(2)針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為自然數(shù)，且n≥1）表示的等式，不需要證明．【答案】(1)＝，驗(yàn)證見解析(2)＝（n≥1的整數(shù)）【解析】【分析】（1）類比題目所給的解題方法即可解答；（2）根據(jù)上述變形過程的規(guī)律，觀察根號外的和根號內(nèi)的分子、分母之間的關(guān)系即可得出一般規(guī)律，再類比題目所給的解題方法驗(yàn)證即可．(1)解：＝；驗(yàn)證：＝＝．(2)；驗(yàn)證：（n≥1的整數(shù)）【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，同時(shí)也考查了學(xué)生由特殊到一般