2022屆新高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析12立體幾何與空間向量（解答題）解析版

2022屆新高考復(fù)習(xí)必備數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專(zhuān)題12.立體幾何與空間向量（解答題）

43.（2021?浙江高三開(kāi)學(xué)考試）如圖，三棱柱所有的棱長(zhǎng)為2,=應(yīng)，M是棱

（I）求證；入何，平面人8。；

（II）在線段是否存在一點(diǎn)尸，使直線BP與平面A山C所成角的正弦值為巫？若存在，求出“

20

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（H）存在，CP=、CB\=也.

412

【分析】

（1）由題意，證明與AMLAM,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明A"J■平面A8C；

（2）建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，令定=4品，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，法向量的坐標(biāo)，根據(jù)

向量法求解線面角即可.

【詳解】

解：（1）證明：A8=AC=應(yīng)，BC=2,M是8c中點(diǎn)，

?.AM_LBC，AA/=1,

又A4）=2,/W=G，

AM2+A,M2=AA；,

LAM,

.?.AM_L平面ABC,

（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系"一町立,

C,

由⑴知平面AM的法向量為兩=(&0,0),A(30,0),A(0,0,1)，8(0,1,0),C(0-1,0),

麻=阮-函=前-鼠=（瓜-

令無(wú)=2麗=（0<2<1）

貝IJ而=配+麗=(0,-2,0)+24,2,2Z-2,2),

設(shè)直線8尸與平面44C所成角為凡則

3月

sin0=|cos<MA,BP>|=-32

>/3,「82"-8。+420'

解得2=3或/T（舍），

所以當(dāng)CP=#4時(shí)，滿(mǎn)足題意，此時(shí)。尸=

44.（2021?浙江高三三模）如圖，已知三棱錐/M8C中，AB=AC=2fPB=BC=26,PC=6,。為棱尸。上

的一點(diǎn)，且PQ=2QC.

（1）求證：BC1AQ；

（2）若4。=收，求直線A8和平面心。所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵.

7

【分析】

（1）先求出NPC8=二，取8C中點(diǎn)。連A。,。。，證明8C_LAO和8CJ.QO,從而證明6。_1面AQ。,

得到3C_LAQ

(2)先證明AO_LQO.以O(shè)為原點(diǎn)，OC為x軸，04為)，軸.OQ為z軸建系.

用向量法求解.

【詳解】

(1)-：PQ=2QC,PC=6,：.PQ=^QC=2.

由余弦定理可知，8S/尸CB=>+3"12=立,???NPCB=f

2-2V3-626

取8c中點(diǎn)0,連AO,QO,則由A8=AC可知8CJ.AO

在AQ。。中，NQCO=f,C0=?QC=2,

6

???00=3+4-2行2.日=1，JQO2+OC2=QC2,

BCLQO

又因?yàn)镼4cQ0=。，所以8。_1面人。。，又???4Qu面A。。，ABC±AQ

(2)由AQ=應(yīng)可知，AO2+QO2=AQ:,

.?.AO±QO,

以O(shè)為原點(diǎn)，0C為4軸，04為)，軸，0Q為Z軸建系，

則4(0,1,0),8(-石,0,0),尸(-2石,0,3),C(g,0,0)

,而=(-2百,-1,3),AC=(V3,-1,O),AB=(-V3,-1,0)

設(shè)平面外。的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(x,y,z)

n-AP=0.1-2Gx-y+3z=0

n-AC=01石工一),=0

設(shè)直線AB和平面PAC所成角為。,

(一x/5)x-y-+(-l)xl+0xl

AB?n

/.sin0=|cos<AB,n>|=

^(-^y+(-i)2+o2xJ亭+i+i7

綜上，所求直線AB和平面布C所成角的正弦值為巨.

7

45.（2021?浙江臨海巾回浦中學(xué)高二其他模擬）如圖，已知平面QSC與直線外均垂直于WAA4c所在平面,

^PA=AB=AC.

（1）求證：辦〃平面Q6C；

（2）若PQ_L平面。8C,求CQ與平面尸BC所成角的正弦值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）包

3

【詳解】

（I）證明：過(guò)點(diǎn)。作8c于點(diǎn)。，

平面QBCJ,平面ABC./.QD±平面ABC

乂???秒1L平面ABC

/.QD//PA.

又平面。8c

???R4〃平面Q8C

(II)???PQ1平面QBC：.NPQB=NPQC=90,又。:PB=PC,PQ=PQ：.kPQBgbPQC：.BQ=CQ

???點(diǎn)。是8C的中點(diǎn)，連結(jié)4),則AD_LBC

???平面Q8C.?.P。//A。，ADLQD

???四邊形PA。。是矩形

設(shè)PA=AB=AC=24?,得：PQ-AD-\l2a?PD=y/ba

又?；BC工PA,BC上PQ,平面E4DQ,

從而平面P8C_L平面R4OQ,過(guò)。作Q〃_LP。于點(diǎn)“，則Q”_L平面P8C

.?.NQCH是C。與平面PBC所成角

：.QH=2'^a=^-a,CQ=BQ=?

V63

s"QCH=叟=空）=立

CQ3瓜3

ACQ與平面PBC所成角的正弦值為也

3

46.（2021?浙江效實(shí)中學(xué)高三其他模擬）如圖，正方形A8C。和正方形CDEF所在平面的二面角是60。，M

為8c中點(diǎn).

（I）求證：EC〃平面AMF；

（II）求A尸與面EMC所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(H)叵.

7

【分析】

(1)建系并設(shè)邊長(zhǎng)為加求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出反=(-。,23-島)和

面AMF法向量拓=(2,1,0),得出比.記=0即可.

(2)求出面EMC的法向量落(0,；,相和通=(-。,2⑦氐)，進(jìn)而求出

局(而今卜半即可.

【詳解】

(1)由題意可知ZX?_LDA，過(guò)。作z軸垂直底面A8CQ,如圖，

則z釉垂直O(jiān)。和04以D4為x軸，OC為y軸，設(shè)邊長(zhǎng)ZM二勿.

因?yàn)榍暨呅?K：曾和CD2人都是正方形，所以。C_LDA,DCA.DE

所以ZAZ犯為正方形ABC。和8所所成的二面角，所以NAOE=60"

0(000),C(0,加,0),8(2a,2a,0),A(2a,0,0),F(a,20扃)，

七(。,0,石a),M(a,2a,0)，則EC=(-a,2a,-\[3a),AM=(-a,2a,0)

MF=(0?0,>/3?),設(shè)面AM/的一個(gè)法向量為m(x,ytz)

有｛案畿=｛虛:二°，所以於(2,1,0),有反行=0

又反a面4W7，所以EC〃面4彼.

(2)由(1)知，麗=(0,2°,-后)，CM=(a,0,0),

標(biāo)=(-a,2a,&),設(shè)面EMC的一個(gè)法向量為就不y,z,),

需雋=｛晶產(chǎn)?°，所以X(。，!石)

所以4"與面EMC所成角的正弦值為華.

y

【點(diǎn)睛】

（i）證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義（無(wú)公共點(diǎn)）.

②利用線面平行的判定定理（。如，bua,a//b=>a//a）.

③利用面面平行的性質(zhì)定理（a〃夕，B）.

④利用面面平行的性質(zhì)（a〃"a邙,a//a=>a//fi）.

（2）利用向量法求線面角的2種方法

法一：分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，

轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）.

法二：通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量

所夾的角（夾角為鈍角時(shí)取其補(bǔ)角），取其余角就是斜線和平面所成的角.

47.（2021.浙江省寧海中學(xué)高三其他模擬）如圖，平面內(nèi)直線E/與線段AB相交于C點(diǎn)，Z5CF=30%且

AC=CB=4,將此平面沿直線所折成60的二面角律-戶(hù),BPJ_平面a,點(diǎn)P為垂足.

（1）求△AC尸的面積；

（2）求異面直線48與所所成角的正切值.

【答案】（1）5，幻=3>/5;（2）B.

6

【分析】

方法1、（1）在平面a內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作點(diǎn)M為垂足，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線PM為x軸，射

線網(wǎng)為z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系出yz,由已知的數(shù)據(jù)求出

CP=11,2V3,0）,C4=（2,-2V3,0）,再利用夾角公式求出COS/4CP=-宗，進(jìn)而可，sin/ACP;第,

然后利用三角形的面積公式求出AACP的面積；（2）利用空間向最求出異面直線A8叮所所成角；

方法2、（1）如圖，在平面。內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作尸M_LE/L點(diǎn)M為垂足，連結(jié)成/,則N8M尸為二面角。-石尸一4

的平面角，結(jié)合已知的數(shù)據(jù)，分別在Rt^BMC,RSBMP,Rt4CMP中求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)A作A。/石尸,

交MP于點(diǎn)、Q,則NBA。是A8與E尸所成的角，然后在RlZ\84Q中求解

【詳解】

解1：（建系法）

（1）如圖，在平面0內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作尸M_LM，點(diǎn)M為垂足，連結(jié)則N8WP為二面角。-石尸一尸的

平面角.以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線PM為“軸，射線收為z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

Pxyz.

在RtZ\5MC中，由NBCM=30,CB=4,得CM=2后,8M=2.

在0中，由/8MP=60,8M=2,得MP=1,BP=5

故尸（0,0,0）,及0,0,百）,C（-l,-260）,“（-1,0,0）.

由NACM=15（T,得A（l,-46,0）.

所以岳=（1,2后0）,（2,-2&0）,

則行?畫(huà)=T0,cos^ACP=——,sin/AC尸=-^=.

2V132V13

因此S&ACP=3J5.

（2）麗=（1,-475,-百），雨=（0,-2石,0）,麗?雨=24,

cos（麗?祝）二弟，所以A8與族所成角的正切值為去.

解1：（幾何法）

（1）如圖，在平面。內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作尸M_LE/L點(diǎn)/為垂足，

連結(jié)BM,則NBMP為二面角a-EF-0的平面角.

在中，由N8CM=30,C8=4,得CM=2瓜BM=2.

在RtABA/Q中，［tl/8MP=60,8M=2,得=L

攣,sin/尸CM=-jL.

在Rt/XCMP中，由CM=2JJ,MP=1,得CP=如,cos/PCM=

V13V13

故sin/ACP=sin(1500-NPCM)=,

所以5以什=%/5?

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AQ/EF,交MQ于點(diǎn)。，則NBA。是43與所所成的角，且AQJ■平面8MQ.在A8MQ

中，由NBMQ=60,BM=MQ=2,得BQ=2.

在RtABAQ中，由AQ=ACcos30+CM=46,BQ=2,

48.（2021?浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三其他模擬）如圖，在三棱柱A8C-ABG中，48=1,BC=g,AC=2,點(diǎn)

2

E在上且滿(mǎn)足BE=-BC,若&在底面ABC上的投影為AC中點(diǎn)0.

Ci

4

Bi

（1）證明：OE1BG；

（2）若NGCB=q,求直線AE與平面AGB所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2叵.

11

【分析】

（1）連接G。，0E,。8,由兒何關(guān)系得OE_LO3,再結(jié)合C0J■平面A8C,得GO_LOE，故。后_1面。86,

進(jìn)而。七_(dá)LBG；

（2）以oc,0G為y軸，z軸，X軸如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)。0=力，結(jié)合題意得三角形CCB

為正三角形，進(jìn)而得力=&,再寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求解即可.

【詳解】

（1）連接G。，OE,OB,由題意可知08=1,0E=—^BE=巫.

33

所以082+。爐=8￡；2,即OE_LOB,

又因?yàn)镃0_L平面4BC,

所以CQ_L0E,

又因?yàn)镚OcO8=O,

所以。匹_1_面。8。1,

所以0E_L8C.

小Cl

B

(2)如圖，以oc,OG為y軸，z軸，彳軸如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)CQ=h,因?yàn)镃0_L平面A8C,所以C0_LOC,CfiLOB

又因?yàn)镺8=OC=1,所以G8=CC

因?yàn)镹GC5=q,所以三角形CC8為正三角形，

所以4+〃2=6,所以h=&.

所以G(0,0,播)，A(0,-UO),B*,一；’0，E器，A(O,-2?0),AE=

\/\Z

設(shè)面AC,B的法向量為：=(x,y,z)

由『上。，得"4，=。,令a可得力,一退陷

卜的=°,+而二。2)

設(shè)門(mén)⑥AE與平面AC田所成角為仇

49.（2021?寧波市北侖中學(xué)高三其他模擬）在三棱錐中,

AB=BC=2.AB±BC.CP±BC.API.AB.N"A=60°.

(1)求證：PB1AC；

(2)求直線8c與平面Q4B所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)也.

2

【分析】

(1)作4O//BCOC//AB,利用線面垂直的判定及性質(zhì)定理即可求證；

(2)過(guò)點(diǎn)。作OD_LR4于O,NQ4O即為OA與平面所成角，解直角三角形即可.

【詳解】

⑴如圖，作AO//8COC//A8,連接尸O,

由48_L4cA8=5C=2,可知。48c為邊長(zhǎng)為2的正方形，PA1AB,又PAnAO=A,

所以45JL平面PAO,AB工PO；

同理PCJ.BC,尸Cp|CO=C1，得BC_L平面P。。，BC工PO,

BAcBC=B,所以PO1平面。ABC,

所以PO_LAC,又ACJ_Q8,得4C_L平面206,得ACJLP8.

⑵由⑴知45_L平面尸04，ABu平面以8.所以平面尸J_平面加？，過(guò)點(diǎn)。作OD_LR4于￡),

8JL平面PM，NQ4。即為OA與平面23所成角.

由于△尸。4AP0C全等，PA=PC,NCPA=60°，所以△A4C為等邊三角形，

PA=PC=AC=2五,故尸0=2,所以點(diǎn)￡>為中點(diǎn)，sinzlOAD=sin450=—.

2

BCHOA,所以8c與平面總?cè)运山呛蚈A與平面EAR所成角相等，

故直線5c與平面F4B所成角的正弦值為正.

2

50.(2021?浙江杭十四中高三其他模擬)如圖，已知三棱錐尸-ABC,平面尸AC_L平面A8C,

AB=BC=PA=%C=2,ZABC=120°.

2

(1)證明：PALBC,

(2)設(shè)點(diǎn)E為PC中點(diǎn),求直線AE與平面P6C所成角的正弦值.

【答案】⑴見(jiàn)解析;(2)@

7

【分析】

⑴由題可利用余弦定理計(jì)算AC,再利用勾股定理證明P1_LAC,進(jìn)而得到?A_平面48C,進(jìn)而證明

PA1BC

⑵由⑴可知24_1_面從80故可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出AE對(duì)應(yīng)的向量與面P8C的法向

量即可求得AE與平面P8C所成角的正弦值.

【詳解】

(I)4?=8C=2,NABC=120。,由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=12,故AC=26.

5(,PA-+AC2=4+12=16=/>。2,故附_1_力。.又平面尸47_1_平面48。,且平面/>4?？谄矫嫦唷?4。,故

_L平面ABC.又8Cu平面A6C,故P4_L8C.

證畢.

⑵由⑴有PA_L平面ABC,故以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直AC,AP為二軸，衣為y軸正向，點(diǎn)為z軸正向建如圖空

間直角坐標(biāo)系.

則A(0.0,0),B(l,6,0).P(0,0,2)、C(0,2G,0),E(0,石,1).

故荏=(o,75,i),定=(o,26,一2).配=(一i,G,o),

mPC=0[2>/3y-2z=0

設(shè)平面P8C的法向量m=（x,y,z）則，__=>

m-BC=0-x+gy=0

令y=i有，y=i，故而=（百,1,百），設(shè)AE與平面P3C所成角為仇則

z=6

AE?m2y/3二叵

sin/7=而―/可+暇可+"（可一

故答案為：浮

51.（2021.浙江）如圖，在三棱柱ABC-4用G中，平面ACGA，平面ABC,AC=BC=CCx=2t。是4A

（2）求直線4。與平面BOG所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

10

【分析】

(1)通過(guò)面面垂直的性質(zhì)定理證明BCJ.平面4CGA，由此證明8C_LAO,通過(guò)長(zhǎng)度關(guān)系證明A。_L8,

再根據(jù)線面垂直的判定定理證明AO平面8。，由此可證面面垂直；

(2)根據(jù)己知條件建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出直線的方向向量而以及平面BOG的一個(gè)法

向量九根據(jù)方向向?qū)徟c法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值求解出直線A。與平面所成角的正弦值.

【詳解】

(1)因?yàn)镹ACB=90。，所以8CJ.AC,

又因?yàn)槠矫鍭CGA，平面ABC,平面ACGA仆平面ABC=AC,

所以3CJ.平面ACGA，且4)u平面ACGA，所以8C_LAO,

又因?yàn)?；AA,=gcG=1,AC=2,ZDAC=60°,

所以CZ)2=AO2+AC2-2ACADCOSZDAC=1+4-2=3，所以C￡>=石，

所以4。2+82=4。2,所以4)1.8,

又BCcCD=C,BCu平面C8O,COu平面C8。，所以ADJ_平面C3D,

又因?yàn)?)u平面ABD，所以平面A3￡)_L平面C5O：

(2)取AG中點(diǎn)0,連接OC,AC,

因?yàn)樗倪呅蜛CGA為平行四邊形，所以AG=AC=2,ZDAC=ZCC,A=60°,AC./MC,

所以&AGC為等邊三角形，所以co^AC，所以CO_LAC,

因?yàn)槠矫鍭CGA，平面ABC,平面ACCAn平面ABC=AC,

所以CO_L平面ABC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別以CAC8,CO為x,y,z軸的正方向,

—?(1G,西=(-|,0,亭函=(-1,-2網(wǎng),

所以AD=--,0,^-

設(shè)平面BOG的一個(gè)法向量為7=(x,y,z),

5x-y/3z=0

所以令x=VL則z=5,y=26,所以3=(6,26,5),

-x-2y+>/3z=0

設(shè)直線AD與平面BDC｛所成角為。，

_/?56

所0I-------I\AD-rA22J5o

"-sin0=cos<AD,n>=，_!」=——；=~~=—=-----'

1國(guó),卜In屈i。

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：向量法求解直線與平面所成角。的正弦值的步驟：

(1)先寫(xiě)出直線的一個(gè)方向向量￡,求解出平面的一個(gè)法向量「

(2)利用向量夾角的余弦值計(jì)算公式求解出cos<￡,G>的值；

(3)根據(jù)sine^coscZ分求解出結(jié)果.

52.(2021?浙江溫州中學(xué)高三其他模擬)已知在六面體P48COE中，尸A_L平面A5C。，印，平面A5c

且R4=2ED,底面ABC。為菱形，且N4BC=60°.

p

E

(1)求證.平面PAC_L平面尸BQ.

(2)若直線PC與平面45co所成角為45。，求直線3。與平面4CE所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析：(2)g

【分析】

(1)由8。1.4。和24_1_8。得出3。_1平面口4。，即可得證；

(2)通過(guò)證明平面ACE_L平面8力E可判斷NE0Q即為直線80與平面ACE所成角，即可求解.

【詳解】

(1)連接8。，交AC于O,???底面A8C。為菱形，..BDLAC,

??必J_平面ABC。，8￡>u平面A5CD,

QPAIAC=Af平面PAC,

Q3Z>u平面尸AD,???平面PAC_L平面ATO：

(2)設(shè)￡D=a,則E4=2?

???PAABCD，.二ZPC4即為直線PC與平面A5C￡)所成角，

即NPCR=45Z：.PA=AC=2af

??ED_L平面ABCD,ACu平面ABCD,:.ED±AC,

?/AC±fiD,BDnDE=D,/.AC_L平面BOE，

?.?ACu平面ACE,平面ACE1平面BDE.

???NEOD即為直線8。與平面ACE所成角，

vZABC=60°,48co為菱形，「.0。=島，:.OE=2a,

則sin^EOD=—=~.

2a2

53.(2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三其他模擬)在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形△ACO與AABC

互相垂直，AC=BE=4,BE和平面ABC所成的角為60、且點(diǎn)E在平面ABC上的射影落在NABC的平分

線上.

(1)求證：￡>E〃平面ABC；

(2)求平面4店與平面ACO所成夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)叵.

13

【分析】

(1)取AC的中點(diǎn)。，連接根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知OOJ_平面A8C,通過(guò)計(jì)算證明四邊形

EFOD是平行四邊形，取DEHBO,由此可得OE〃平面48C；

(2)以O(shè)A,OB,。。方向?yàn)椤拜S，V軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。一個(gè)z,求出平面ASE和

平面4CD的法向量，利用向量的夾角公式可得大.

【詳解】

(1)取AC中點(diǎn)O,連接80,DO,由題知，80為NABC的平分線，BO1AC,DO±AC,設(shè)點(diǎn)F是點(diǎn)

E在平面A8C上的射影，由題知，點(diǎn)戶(hù)在80上，

連接M,則石尸1.平面ABC,

，平面ACD±￥面ABC,平面ACD[｝平面ABC=AC,

OOu平面ACO,DO_LAC,「.OO,平面ABC,

/.DO!/EF.

?.?班:和平面ABC所成的角為60,即Z￡M=60,E產(chǎn)=2追，又DO=2也,

二?四邊形EFO￡＞為平行四邊形，DE//BO,

8Ou平面ABC,OE2平面A8C,.?./)￡：//平面A8C.

(2)以O(shè)A,OB,方向?yàn)椋ポS，J軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一冷n,

則4(2,0,0),￡(0,275-2,2^),網(wǎng)0,2石,0),

，通=(-2,2石,0),荏=[2,2百-2,2網(wǎng)，

設(shè)平面ABE的一個(gè)法向量為7=(x,y,z),

n-AB=-2x+2>/3y=0-/\u

則_，廠，取z=l,得〃=3,石』，取平面ACD的法向量為小=0,1,0,

n-^E=-2x+(2V3-2)y+2V3z=0'7

設(shè)平面4組與平面ACO所夾角為氏

則8S”H同卜扁卜蓋1=嚕，

54.(2021?浙江高三其他模擬)如圖，已知多面體A3CDE/"四邊形A8CD為矩形，AB=2,AD=4,EF//AD

且EF=2,AF=BF=DE=6M,N分別為陽(yáng)，3C的中點(diǎn).

是二二3口

BNC

（1）證明：4尸_1平面。的；

（2）求直線ON與平面比BC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）叵.

5

【分析】

（1）以A為原點(diǎn)，AB,4。為“，》軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，取48中點(diǎn)S,連內(nèi)，進(jìn)而根據(jù)題意可

證明48_L平面耳5,即尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,再根據(jù)四邊形ADEE為等腰梯形得尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,再結(jié)合

SF=布得F點(diǎn)的豎坐標(biāo)為2,再根據(jù)向量法求解即看；

（2）結(jié)合（1）,利用坐標(biāo)法求解即可.

【詳解】

解：（1）證明：以A為原點(diǎn)，AB,A。為4,V軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系

則A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,4,0）,D（0,4,0）,N（2,2,0）,

取A8中點(diǎn)S,連內(nèi)，由于A尸二8/，所以S尸_LA5,

因?yàn)镋F//AD,所以A8_LM,

山于火0$尸=尸，所以A8_L平面MS,所以尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,

又因?yàn)樗倪呅蜛D￡尸為等腰梯形，故尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1

因?yàn)锳尸=8尸=痛，AB=2,所以5尸=療，

所以尸點(diǎn)的豎坐標(biāo)為2,即/（1J2）,

所以Md1）

工4〉=(1,1,2)，捻=i-?1?加=(2,-2,0)，

令面DMN的法向量為：=（%,加z0），

37

n-DM=0^+z=-y

所以_.,即J000令飛=1，則〃=（1,1,2），

iiDN=0

.無(wú)=%

因?yàn)椤āǖ?，；.AF_L面DW/V.

(2)因?yàn)镺N=(2,-2,0)，3C=(0,4,0)，訴=(-1,1,2)，

令面BCEF的法向量為m=（%,%zJ，

而B(niǎo)C=0y.=0一

所以_,即《%=y+2z/令—?jiǎng)t”(2,0。

m-BF=0

所以直線ON與平面比8c所成角為氏則sin8=cos',6NVio

~~

55.（2021?浙江金華?）如圖，已知多面體A8CD-A百GR，"i,BBi，CCi,DD\均垂直于平面ABCD,AD//BC,

AB=BC=CD=AAi=CCI=2,BBi=l,AD=DD\=4.

B

（1）證明：4。1_1平面。。。6；

（2）求直線6G與平面481G所成的角的正弦值.

【答窠】（1）證明見(jiàn)解析；（2）亞

8

【分析】

（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，證明稿?甌=0,而?西=0即可;

（2）求得平面48c的一個(gè)法向量，由sin0=kosv；；，明可求.

【詳解】

（1）由題可以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,2）,G（75,3,2）,.（0,4,4）,。（0,4,0）,

則扇=（6,3,0）,第=（-6,1,2）,函=（0,0,4）,

?.?而?西=V5x[G）+3xl+0x2=0,「.AC-LC,D,,

???相?西=GX0+3X0+0X4=0,

G。cD?=D、,..AG±平面SAG；

（2）A（0,0,0）,8（61,0）,51（EL1），C（4,3,2）,

則南=（0,2,2）項(xiàng)=（6,1』）,甌=（0,2,1）,

設(shè)平面AB\C\的一個(gè)法向量〃=（x,y,z）,

nAB=0即嚴(yán)+y+z=0

則《1

無(wú)甌=0[2y+z=0

令丁=3,則Z=-6,X=G，即〃=（G,3,-6）,

設(shè)直線fiCi與平面ABG所成的角為仇

則sin9-Icos<n,BC、>1=J[1"=-~~產(chǎn)=,

1'1|n|-|BC；|46x208

所以直線BCi與平面ABiC,所成的角的正弦值為好.

8

56.（2021?浙江杭州高級(jí)中學(xué)高三其他模擬）如圖，四棱錐P-A8c。中，底面A8CD為菱形，AB=AD=2,

ZABC=60°,PA_L平面48cO,PA=C.

33

（1）點(diǎn)E在線段PC上，PE=,PC,點(diǎn)尸在線段P。上，PF=qPD,求證：PC_L平面A律;

（2）設(shè)M是直線AC上一點(diǎn)，求CM的長(zhǎng)，使得MP與平面PC。所成角為45。.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析：（2）CM=2或C"=14

【分析】

方法一：（1）根據(jù)題意，在ZXR正中，由余弦定理得4￡=莖，進(jìn)而得尸石_LAE,在APCO中，由余弦定

用

理cosNCPO=T，進(jìn)而在尸中，由余弦定理得七尸=胃，故PELEF,進(jìn)而PCI平面4T尸；

3h

（2）設(shè)CM=a,點(diǎn)M到平面PCD的距離為〃，由％一至皿=匕，“皿得力二不a。，進(jìn)而由疝45。==得

276PM

/-16a+28=0,解方程即可得答案.

方法二：以所在直線為x軸，以a所在直線為z軸建立空間直線坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法證明.

【詳解】

法1：(1)因?yàn)镋4_L平面4BCD,PA=6,

所以秒1_LAC,

因?yàn)榈酌鍭8CO為菱形，AB=AD=2,乙4BC=60。

所以PC=J7,cosZAPC=^=,

33

因?yàn)镻E=]PC,所以PE飛,

所以在△BAE中，由余弦定理得，人￡=卜+3-2?百.卡.京二坐

AE2+PE2=PA2即PE_LAE，

7+7-4533r-

所以在△尸8中，由余弦定理cosNCP￡>==3,PF=-PD=-41

2-V7-V7755

所以在d"?中，由余弦定理得所2=PE?+PF2-2PE?PFcosZCPD=旗,

因?yàn)镻E2+E/2=/>尸2,所以

乂AEcEF=E,所以尸CJ?平面AM

(2)設(shè)CM=a,點(diǎn)M到平面PCO的距離為力，則由％一枷°=匕-8，

I?3

—x2xtzxsin60°x73=—x2x^7xsinNPC￡)x/i得〃=,

3

所以sin450=焉，即sin45。=----r,a2-16?+28=0

7(2-?)2+3

解得〃=2或a=14

從而得M點(diǎn)與A點(diǎn)重合或在AC的反向延長(zhǎng)線上，則得CM=2或CM=14

法2：(1)以所在直線為x軸，以A-所在直線為z軸建立空間直線坐標(biāo)系

則8(2,0,O),C(I,A0),D(-1,瓜0),P(0,0,揚(yáng)

PC=(1,^,-V3),PE=-PC

7

3巫4行—?T

AE=AP+PE

1~~AE-PC=0

所以PC_LA尸

又AEcEF=E,所以PCJ■平面

(2)DC=(2,0,0),DP=(-2,0,^),BC=(-1,73,0),而=(一2,0,我

-[2xt=0

設(shè)〃L(4%zJ是平面PC。的一個(gè)法向量，則。+石4=0,得力=(0,1,1)

4b=（i,75,o），設(shè)啟=2n=（4區(qū),0），

所以前=（九&,一6）,

因?yàn)椤爱a(chǎn)與平面PCD所成角為45。，

所以sin45。=上=產(chǎn)-"

|PMH%IV422+3V2

解得4=0或;1=-6

從而得M點(diǎn)與A點(diǎn)重合或在AC的反向延長(zhǎng)線上，則得CA/=2或。0=14

57.（2021?浙江高三其他模擬）如圖所示，四棱錐S-ABCD中，底面A8CO是矩形，S4_L底面A8。，點(diǎn)￡產(chǎn)

分別為48,SO的中點(diǎn).

（1）證明：直線E尸〃平面S8C；

（2）設(shè)必=4）=248,試求直線EF與平面S8所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）述.

3

【分析】

（1）過(guò)點(diǎn)E作EG//SB交SA于點(diǎn)G.連接GF.證明平面GE/〃平面SBC得證EF〃平面SBC.

（2）連接AF.證明ZAFE為直線EF與平面SCO所成角的余角.得解

【詳解】

（1）證明：過(guò)點(diǎn)E作EG〃SB交SA廣點(diǎn)G.連接G尸.

因?yàn)镋為48中點(diǎn)，所以G為SA中點(diǎn).

所以Gr〃A。，

所以G///8C,所以G廣〃平面SBC

同理可得，卬//平面SRC

所以平面GEF”平面SBC

所以所〃平面SBC.

(2)連接A尸.

因?yàn)镸=所以AFJ_S￡>

因?yàn)?A_L平面A8CO,

所以必_LCD

因?yàn)?5_L8,

所以CD_L平面SA，

因?yàn)?〃u平面

所以CO_LA尸.

所以A尸，平面SCD.

所以ZAFE為直線律與平面SCD所成角為余角.

因?yàn)镾4=4O=2A8,令SA=AO=2A8=4,

則AE=1,A/=2五，所以￡F=3.

設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為8,

乃AF?x/?

則sin8=sin(Z.AFE)=cosZ.AFE==———.

2EF3

(法二)如圖，因?yàn)?，底面?c。是矩形，S4_L底面A88

所以可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A8,ARAS分別為％y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z.

設(shè)必=AD=2AB=4,

則5(0,0,4),C(2,4,0),D(0,4,0),E(l,0,0),F(0,2,2)

所以豆=(-1,2,2).

設(shè)平面SCD的一個(gè)法向量為a=(x,y,z),

dSD=4y-4z=0,

則所以￡=(0,1,1).

a-DC=2x=0

設(shè)直線EF與平面SCD所成的角為0,

\a-EF\_Q4-2+2_2V2

所以sin”

同.同一V2x33

58.(2021?浙江高三其他模擬)如圖，在棱臺(tái)48s6〃中，底面A8CD為直角梯形，ZABC=90°,

AB=AD=3EH=\tBC=2,AE=—,上下底面的距離為1.

3

(1)若AE=CG,證明：平面ACGE_L平面A5O)；

(2)在(1)的條件下，求直線A”與平面8CG尸所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)生史.

95

【分

3

(1)先證明PO_LAC,接著求出產(chǎn)點(diǎn)到平面A8co的距離刀=5和尸。="，再證明POJ_平面A3CD,最

后證明平面ACGEJ?平面ABCD.

Q424968

⑵先得到^p-ABCD=W、Vp_BQC=§^P-ABCD、^Q-BFGC=^^P-BQC=^^P-AHCD=§，再建上方程

3%-HW=GQsin0xSf,FGC=sin6=?求解sin0=即可解題.

【詳解】

(1)證明：如答圖，延長(zhǎng)AE,CG交于點(diǎn)P,作△APC的中線P。交AC于點(diǎn)0.

AE=GC=>PO±AC.

由比例關(guān)系：AP=PC=M,P點(diǎn)到平面A88的距離力=].

22

AB=1,BC=2=>A0=—,由勾股定理：

2

PO=^IAP2-AO2=-=h.

2

從而，尸01平面ABC。，POu平面ACGEn平面ACGEJ"平面A8CD.

4D

(2)如答圖，將臺(tái)體補(bǔ)形至四棱錐P-ABC。，取BC中點(diǎn)R,連AR，取AR三等分點(diǎn)。，連BQ,C。,

FQ,GQ.

3號(hào)4=3.港總

_4_4

=

SBQC=ASABCDnVpBQCTVPABCD?

s_24_96_8

°BFGC—§0PBe口DVQ-BFGC—VP-BQC—記VP-ABCD一§

將梯形ER；〃投影至平面A6CD,由勾股定理計(jì)算得

J14J\9

BF=CG=—，CQ=—

33

計(jì)算得與.=生叵.

nrw9

故3%..c=GQsin0xS巫"上

BhGC279

解得Sin0=內(nèi)叵,故直線AH與平面BCGF所成角的正弦值為巨叵.

9595

59.（2021?吉林長(zhǎng)春H^一高高二期中（理））如圖，在直三棱柱4SC-QEF中，正方形ACFZ）邊長(zhǎng)為3,8c=4,

AC±BC,M是線段8c上一點(diǎn)，設(shè)MC=/18C.

（1）若4=證明：BD〃平面AMF；

（2）若二面角的余弦值為立，求4的值.

3

3

【答窠】（1）證明見(jiàn)解析：（2）2=-.

4

【分析】

（1）連接a＞交A尸于點(diǎn)M連接MN,證明5D//MN即可：

（2）以C為原點(diǎn)，CA,CB,。產(chǎn)分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量法求

解.

【詳解】

(1)

D

連接8交A尸于點(diǎn)M連接MN,

則M,N分別為8c和。。的中點(diǎn)，:

:8￡）0平面AM產(chǎn)，MN工平面AMF；

:.BD〃平面AMF；

（2）以C為原點(diǎn)，CA,CB,C"分別為4軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

A（3,0,0）,E（0,4,3）,F（0,0,3）,設(shè)“（0/0）,其中/?0,4］；

則標(biāo)二(—3,0,3),麗=(0,T0),AA?=(-3,r,0),

平面力所的法向量3=（1,0,1）,平面4W尸的法向量m=。,3,。；

舊2『+9

:.t=3、A=4

60.（2021?浙江臺(tái)州?路橋中學(xué)高三其他模擬）如圖，已知多面體ABC。-A￡GA，A4,CC.,DD,

均垂直于平面ABCD，AD//BC,AB=BC=CD=AAi=CC,=2,BB,=1,AD=DDX=4.

(I)證明：4。1，平面8。6;

(H)求直線BG與平面A&G所成角的正弦值.

【答案】(I)證明見(jiàn)解析；(II)

4

【分析】

(1)連接入。，山已知可得四邊形A