線性方程組有解的判別定理

線性方程組有解的判別定理線性方程組有解的判別定理在第三章中，我們將具有m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)的齊次線性方程組（4-8）寫成矩陣形式為AX=0（4-9）其中這里的m×n矩陣A被稱為線性方程組（4-8）的系數(shù)矩陣.如果將矩陣A按列分塊寫成A=(β1,β2,…,βn)

其中βi=(a1i,a2i,…,ami)T，i=1,2,…,n，那么線性方程組（4-8）可以改寫成向量形式

β1x1+β2x2+…+βnxn=0（4-10）在前面我們給出了線性方程組解的概念.一個(gè)含有n個(gè)未知數(shù)的線性方程組的解是n維向量，因此，我們也將線性方程組的解稱為解向量.為了表述一致，通常也將方程組的解寫成列向量形式.那么一個(gè)n維向量α=(c1,c2,…,cn)T是齊次線性方程組AX=0的解，當(dāng)且僅當(dāng)α滿足其中向量表達(dá)式只是一種形式的表達(dá).由向量線性相關(guān)性的定義，我們有如下結(jié)論.定理4-3

齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組系數(shù)矩陣A的列向量組β1,β2,…,βn是線性相關(guān)的.推論4-3

齊次線性方程組AX=0只有零解的充分必要條件是方程組系數(shù)矩陣的列向量組β1,β2,…,βn是線性無關(guān)的.利用矩陣的秩的概念，可以將前面對(duì)齊次方程組解討論的結(jié)果表述為下面的定律.定理4-4齊次線性方程組有非零解的判別定理）齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩R(A)<n.推論4-4

如果齊次線性方程組AX=0中的方程個(gè)數(shù)m小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n，那么方程組必有非零解.由于對(duì)于一個(gè)n階方陣A，|A|≠0當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=n，則有下面的推論.推論4-5

如果齊次線性方程組AX=0中的方程個(gè)數(shù)m等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n，即系數(shù)矩陣A是一個(gè)方陣，那么方程組AX=0有非零解的充分必要條件是|A|=0.上面的結(jié)論及求矩陣的秩的方法說明：判斷一個(gè)給定的形如AX=0的齊次線性方程組是否有解，首先觀察其方程個(gè)數(shù)m是否小于未知數(shù)個(gè)數(shù)n，如果m<n，方程組有非零解；否則，對(duì)方程組的系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換，將A化成行階梯形矩陣B，再觀察B的非零行個(gè)數(shù)r（這個(gè)數(shù)即為矩陣A的秩），若r<n，則方程組有非零解，而若r=n，則方程組只有零解.利用矩陣的秩的概念，可以將上一章關(guān)于非齊次線性方程組的結(jié)果表述為下面的定理.定理4-5（非齊次線性方程組有解的判別定理）非齊次線性方程組AX=β有解的充分必要條件是它的系數(shù)矩陣A的秩與增廣矩陣A的秩相等，即R(A)=R(A)，且(1）當(dāng)R(A)=R()=n時(shí)，方程組存在唯一解.(2）當(dāng)R(A)=R()<n時(shí)，方程組存在無窮多組解.由于對(duì)于一個(gè)n階方陣A，|A|≠0當(dāng)且僅當(dāng)R(A)=n，則有下面的推論.推論1-2

如果非齊次線性方程組AX=β中的方程個(gè)數(shù)m等于未知數(shù)個(gè)數(shù)n，即系數(shù)矩陣A是一個(gè)方陣，那么當(dāng)|A|≠0時(shí)，方程組AX=β存在唯一解.證明因?yàn)?≤R()≤n，且n=R(A)≤R()，故R(A)=R()=n.推論即為克萊姆法則給出的結(jié)論.因此，一個(gè)給定的非齊次線性方程組AX=β解的情況判別步驟如下：首先，對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將化成行階梯形矩陣C.然后，觀察C的非零行個(gè)數(shù)（這個(gè)數(shù)即為矩陣的秩），是否等于C除去最后一列剩下的矩陣的非零行個(gè)數(shù)（這個(gè)數(shù)即為矩陣A