微分方程的基本概念

微分方程的基本概念微分方程的基本概念一曲線通過點(diǎn)(0,1)，且在該曲線上任一點(diǎn)M(x,y)處的切線的斜率為2sinx，求該曲線的方程.解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求曲線y=y(x)應(yīng)滿足方程此外，未知函數(shù)y=y(x)還應(yīng)滿足條件x=0時(shí)，y=1.對方程(12-1)兩端積分，得【例1】(12-1)微分方程的基本概念其中C是任意常數(shù).由條件x=0時(shí)，y=1得C=3，把C=3代入式(12-2)，即得所求曲線方程y=－2cosx+3.從幾何圖形上看y=－2cosx+C是一族曲線，而所求曲線y=－2cosx+3是這族曲線中通過點(diǎn)(0,1)的那一條曲線.(12-2)微分方程的基本概念質(zhì)量為m的物體在時(shí)刻t=0時(shí)自高度為h0處落下,設(shè)初速度大小為v0，方向向下,不計(jì)空氣阻力,求時(shí)刻t物體距地面的高度h.解設(shè)物體與地面的距離h與時(shí)間t的關(guān)系為h=h(t),如圖12-1所示.【例2】圖12-1微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的等式，稱為微分方程.未知函數(shù)為一元函數(shù)的微分方程，稱為常微分方程.微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，稱為微分方程的階.如例1中的微分方程y′=2sinx是一階微分方程，微分方程y″+2y′－3y+2x=0是二階微分方程.一般地，n階微分方程的形式是F(x,y,y′,…,y

(n))=0.(12-3)這里必須指出，在方程(12-3)中，y

(n)是必須出現(xiàn)的，而x,y,y′,…,y

(n－1)等變量則可以不出現(xiàn).例如，n階微分方程y

(n)+1=0中，除y

(n)外，其他變量都沒有出現(xiàn).定義1微分方程的基本概念如果能從方程(12-3)中解出最高階導(dǎo)數(shù)，則得微分方程y(n)=f(x,y,y′,…,y(n－1)).(12-4)以后我們討論的微分方程都是已解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程或能解出最高階導(dǎo)數(shù)的方程，且式(12-4)右端的函數(shù)在所討論的范圍內(nèi)連續(xù).微分方程的基本概念如果一個(gè)函數(shù)代入微分方程后，方程成為恒等式，則稱此函數(shù)為該微分方程的解.求微分方程解的過程，稱為解微分方程.如例1中，y=－2cosx+C，y=－2cosx+3都是微分方程y′=2sinx的解.定義2微分方程的基本概念如果微分方程的解中含有獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)，則稱這樣的解為微分方程的通解.在通解中給任意常數(shù)以確定的值或通過附加條件確定通解中的任意常數(shù)而得到的解，稱為微分方程的特解.定義3微分方程的基本概念確定微分方程通解中任意常數(shù)的題設(shè)條件或附加條件，稱為微分方程的初始條