反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)

反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)在函數(shù)定義中，規(guī)定了對于每一個(gè)x，都有唯一的y與之對應(yīng)，這樣定義的函數(shù)又稱為單值函數(shù)；如果有兩個(gè)或更多的數(shù)值y與之對應(yīng)，就稱y是x的多值函數(shù).本書主要討論單值函數(shù).

在函數(shù)中，自變量與因變量的地位是相對的，任意一個(gè)變量都可根據(jù)需要作為自變量.例如，在函數(shù)y=x＋5中，x是自變量，y是因變量，根據(jù)這個(gè)式子，可以解出x=y-5，這里y是自變量，x是因變量.上面兩個(gè)式子反映了同一個(gè)過程中兩個(gè)變量之間地位的相對性，稱它們互為反函數(shù).

下面給出反函數(shù)的具體定義：一、反函數(shù)定義6設(shè)函數(shù)y=f(x)，其定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸，如果對于任意y∈M，由函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)恰好唯一確定出一個(gè)x∈D與之對應(yīng)，那么認(rèn)為x是y的函數(shù)，記作x=g(y)，我們稱上述的y=f(x)與x=g(y)互為反函數(shù)，習(xí)慣上將x=g(y)記作x=f-1(y).

習(xí)慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把y=f(x)的反函數(shù)寫作y=f-1(x).

由反函數(shù)的定義知，在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù).

一、反函數(shù)【例24】一、反函數(shù)【例25】函數(shù)y=x3和函數(shù)y=x13的圖形如圖1-19所示.

一般地，要求y=f(x)的反函數(shù)，只需先從y=f(x)中解出x的表達(dá)式，當(dāng)該表達(dá)式也是一個(gè)函數(shù)時(shí)，再將其中的字母x，y進(jìn)行交換即可.圖1-19一、反函數(shù)【例26】一、反函數(shù)定理設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，值域?yàn)閃.若f(x)在D上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，則在W上f(x)的反函數(shù)f-1(x)存在，且f-1(x)在W上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的.

值得注意的是，由于對于y的某些值，滿足y=f(x)的x有時(shí)不止一個(gè)，所以并非任何函數(shù)在其定義域內(nèi)都存在反函數(shù).但是，當(dāng)我們對x的取值范圍加以限制時(shí)，也有可能存在反函數(shù).例如，函數(shù)y=x2在(-∞，＋∞)內(nèi)不存在反函數(shù)，但在(-∞，0)及［0，＋∞)內(nèi)卻分別存在反函數(shù)y=-x，0<x<＋∞及y=x，0≤x<＋∞.

對于分段函數(shù)求其反函數(shù)，只需分別求出與各子定義域相對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式的反函數(shù)及其自變量的取值范圍即可.二、復(fù)合函數(shù)在很多實(shí)際問題中，兩個(gè)變量的聯(lián)系有時(shí)不是直接的.例如，在函數(shù)y=tan3x中，這個(gè)函數(shù)值不是由自變量x來確定的，而是通過3x來確定的.如果用u表示3x，那么函數(shù)y=tan3x就可表示成y=tanu，u=3x.這說明了y與x的函數(shù)關(guān)系是通過變量u來確定的.

具有上述關(guān)系的函數(shù)，可以給出下面的定義：二、復(fù)合函數(shù)定義7如果y是u的函數(shù)y=f(u)，u又是x的函數(shù)u=φ(x)，就稱y是x的復(fù)合函數(shù)，記作y=f［φ(x)］，其中，u稱為中間變量.

函數(shù)的復(fù)合中要注意的是，函數(shù)u=φ(x)的值域應(yīng)該在函數(shù)y=f(u)的定義域內(nèi)，這樣函數(shù)才能復(fù)合，否則復(fù)合就沒有意義.二、復(fù)合函數(shù)y=ecosx是由y=eu和u=cos

x復(fù)合而成的，y=(1＋lgx)3是由y=u3和u=1＋lgx復(fù)合而成的，但函數(shù)y=arcsinu和u=3＋x2不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因?yàn)閷τ谌我獾膞，u=3＋x2的值不在函數(shù)y=arcsin

u的定義域［-1，1］內(nèi)，從而復(fù)合出的函數(shù)y=arcsin(3＋x2)是沒有意義的.函數(shù)的復(fù)合也可以是多個(gè)函數(shù)的情形.例如，y=lg

u，u=v2，v=x＋1，則復(fù)合函數(shù)是y=lg(x＋1)2，其中u，v是中間變量.利用復(fù)合函數(shù)的概念，可以把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)分解成若干個(gè)簡單函數(shù).下面舉例分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程，正確熟練地掌握這個(gè)方法，將會(huì)給以后的學(xué)習(xí)帶來很多方便.