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文檔簡介

對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化從上一節(jié)我們看到，一般的方陣不一定可對角化，但對于在應用中常遇到的實對稱矩陣（滿足AT=A的實矩陣），不僅一定可以對角化，而且解決起來也要簡便得多，這是由于實對稱矩陣的特征值與特征向量具有一些可注意的特性.定理6-14

實對稱矩陣的特征值必為實數.證明

（略）由于實對稱矩陣的特征值是實數，從而對應的特征向量也是實特征向量.定理6-15設λ1,λ2是實對稱矩陣的兩個特征值，p1,p2是對應的特征向量.若λ1≠λ2，則p1與p2正交.證明

因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2.對Ap1=λ1p1兩邊轉置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同時右乘上p2，得pT1Ap2=λ1pT1p2對Ap2=λ2p2，同時左乘pT1，得pT1Ap2=λ2pT1p2兩式相減，得(λ1－λ2)pT1p2=0但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1與p2正交.這就是說，實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量兩兩正交.定理6-16

設λ為n階實對稱矩陣A的k重特征值，則對應特征值λ恰有k個線性無關的特征向量.證明

（略）定理6-17設A為n階實對稱矩陣，則必存在正交陣Q，使Q－1AQ=QTAQ=Λ其中，Λ是以A的n個特征值為對角元的對角陣.證明

設A的所有不同的特征值為λ1,λ2,…,λm，它們的重數依次為k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根據定理6-16知，對應特征值λi恰有ki個線性無關的特征向量，把它們單位正交化，即得ki個單位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由k1+k2+…+km=n知這樣的特征向量恰有n個.根據定理6-15，實對稱矩陣A的不同特征值對應的特征向量兩兩正交，故這n個特征向量構成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠嫵删仃嘠，則Q為正交矩陣，并有Q－1AQ=Λ，其中對角矩陣Λ含有k1個λ1，k2個λ2，…,km個λm，恰是A的n個特征值.證畢.根據定理6-17，我們可以得到把實對稱矩陣對角化的步驟.（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm.（2）對每個ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基礎解系，得ki個線性無關的特征向量.再把它們正交化、單位化，得ki個兩兩正交的單位特征向量.因k1+…+ks=n，故總共可得n個線性無關的特征向量.（3）把這n個兩兩正交的單位特征向量構成正交陣Q，便有Q－1

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