2022屆 一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 新高考版第七章 立體幾何

第七章立體幾何

第一節(jié)空間幾何體

第1課時(shí)系統(tǒng)知識(shí)牢基礎(chǔ)——空間幾何體

知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

2.特殊的棱柱和棱錐

(1)側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.反之，

正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形.

(2)底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐.特

別地，各棱長(zhǎng)均相等的正三棱錐叫做正四面體.反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂

點(diǎn)在底面的射膨是底面正多邊形的中心.

［提醒］(1)棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，但側(cè)面都是平行四邊形的幾何體卻不一

定是棱柱.

(2)棱臺(tái)的所有側(cè)面都是梯形，但側(cè)面都是梯形的幾何體卻不一定是棱臺(tái).

(3)注意棱臺(tái)的所有側(cè)棱相交于一點(diǎn).

3.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

昌

圖形A

旋轉(zhuǎn)

矩形直角三角形直角梯形半圓形

圖形

旋轉(zhuǎn)軸任一邊所在的直任一直角邊所在垂直于底邊的腰直徑所在的直線

線的直線所在的直線

互相平行且相

母線相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)

等，垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

&

側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)

［重溫經(jīng)典］

1.（教材改編題）下列命題中正確的是（）

A.由五個(gè)平面圍成的多面體只能是四棱錐

B.棱錐的高線可能在幾何體之外

C.僅有一組相對(duì)的面平行的六面體一定是棱臺(tái)

D.有一個(gè)面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐

答案：B

2.給出下列命題：

①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線;

②宜角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；

③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選A①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；

②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的，

幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，

棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但

是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等.

3.如圖，長(zhǎng)方體*CD'被截去一部分，其中￡77〃

A'O'.剩下的幾何體是（）

A.棱臺(tái)B.四棱柱

C.五棱柱D.簡(jiǎn)單組合體

答案：C

4.（易錯(cuò)題）從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱上各取一點(diǎn)E,F,G（不與頂點(diǎn)重合）,

過(guò)此三點(diǎn)作長(zhǎng)方體的截面，那么這個(gè)截面的形狀是（）

A.銳角三角形B.矩形

C.平行四邊形D.正方形

答案：A

5.如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面、下底面圓心燈5

為頂點(diǎn)的圓錐而得到的組合體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)組合體，則截面圖形

可能是（）

①②③④⑤

A.?@B.①③

C.?@D.①⑤

解析：選D該幾何體的軸機(jī)面是①，當(dāng)豎直的截面不經(jīng)過(guò)軸時(shí)，截面圖形為⑤.故選

D.

6.（教材改編題）在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為.（填序號(hào)）

①②③④⑤

答案：@@

知識(shí)點(diǎn)二直觀圖

1.直觀圖

（1）畫法：常用斜二測(cè)畫法.

⑵規(guī)則：

①原圖形中x軸、j軸、Z軸兩兩垂直，直觀圖中，/軸、V軸的夾角為45。（或135。）,

/軸與/軸和步軸所在平面垂直.

②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸;平行于x軸和z軸的線段

在直觀圖中保持原長(zhǎng)度丕變；平行于），軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的凸一

2.直觀圖與原圖形面積的關(guān)系

按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系：

（2）S原圖形=2、/5s直觀！a.

［重溫經(jīng)典］

1.一個(gè)幾何體有6個(gè)頂點(diǎn)，則這個(gè)幾何體不可能是（）

A.三棱柱B.三棱臺(tái)

C.五棱錐D.四面體

解析：選DA、B、C都是6個(gè)頂點(diǎn)，D是4個(gè)頂點(diǎn)，故選D.

2.（教材改編題）用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，%c

邊平行于『軸，BC,AO平行于x軸.已知四邊形4BCO的面積為9y

272cm2,則原平面圖形的面積為（）

A.4cm2B.46cm2

C.8cm2D.8啦cm2

解析：選C依題意可知N5Ao=45。，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC,

A0相等，高為梯形ABC。的高的班倍，所以原平面圖形的面積為8cm2

3.以鈍角三角形的較小邊所在直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體

是（）

A.兩個(gè)圓錐拼接而成的組合體

B.一個(gè)圓臺(tái)

C.一個(gè)圓錐

D.一個(gè)大圓錐挖去一個(gè)同底的小圓錐人

解析：選D如圖，以A5為軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是一個(gè)大圓錐挖去

一個(gè)小圓錐.Q>

4.水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的直觀圖是正三角形，則△八8（7是（）

A.銳角三角形B.直角三角形c,

C.鈍角三角形D.任意三角形

解析：選C由直觀圖還原平面圖形，易知△A3C為鈍角三角卅..，

cB'/y

5.一水平放置的平面四邊形0A5C,用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖

O'A'B'C如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，則

原平面四邊形048C的面積為.^-

解析：因?yàn)橹庇^圖的面積是原圖形面積的坐倍，且直觀圖的面積為1,所以原圖形的

面積為

答案：272

知識(shí)點(diǎn)三空間幾何體的表面積與體積

1.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

幾何床表面積體積

柱體

S表田積=5例+2S規(guī)

（棱柱和圓柱）

錐體

v=gs底力

S表面積=S?i+S底

（棱錐和圓錐）

臺(tái)體

y=/s上+s下+［s上s下）九

S表面積=S側(cè)+S上+S下

（棱臺(tái)和圓臺(tái)）

球S=4nR2V=-^tR3

2.幾何體的表面積和側(cè)面積的注意點(diǎn)

（1）幾何體的側(cè)面積是指（各個(gè)）側(cè)面面積之和，而表面積是側(cè)面積與所有底面面積之和.

（2）組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.

3.柱體、錐體、臺(tái)體側(cè)面積間的關(guān)系

（1）當(dāng)正棱臺(tái)的上底面與下底面全等時(shí)，得到正棱柱；當(dāng)正棱臺(tái)的上底面縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí),

得到正棱錐，貝S正梭相iu=c//:一'S正…=；（c+c，）/?正懈倒=；曲.

（2）當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí)，得到圓柱；當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),

得到圓錐，則

/=,/=0

S國(guó)柱m=2冗”**----S圜臺(tái)倒=元（「+，'）1?S的愫禽=九”.

4.柱體、錐體、臺(tái)體體積間的關(guān)系如圖所示

V■體坐A

［重溫經(jīng)典］

1.己知圓柱O'O的底面半徑為r,母線長(zhǎng)是底面直徑的2倍，則圓柱O'O的表面

積是（）

A.4nr2B.IOTTF2

C.Snr2D.bnr2

222

解析：選B，??母線Z=2X2r=4r,^.Sm=2nrl=2nr4r=8nrfS*.=27rr+87rr=lOnr.

2.平面1截球。的球面所得圓的半徑為1,球心。到平面a的距離為吸，則此球的

體積為（）

A.4、/57rB.

C.V6nD.4\[6n

解析：選A由已知得球的半徑為d=小,所以球的體積為普乂（#）3=樂(lè)歷,

故選A.

3.如圖所示，己知三棱柱A4C-431G的所有棱長(zhǎng)均為1,且A4_L

底面ABC,則三棱錐Bx-ABCx的體積為（）

V3也

12*4

AC.亞

12亞

*4

解析:選A易知三棱第B^ABCx的體積等于三棱錐A-BiBCi的體積,又三棱錐A-B^BCi

的高為坐，底面積為:，故其體積為:x；x#=#.

4.（2021年1月新高者八省聯(lián)考卷）圓臺(tái)上、下底面的圓周都在一個(gè)直徑為10的球面

上，其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺(tái)的體積為.

解析：易知圓臺(tái)的高為3,所以其體積為V=&MR2+/+Rr）=61九

答案：617r

5.（教材改編題）如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過(guò)相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出

一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為.

答案：1：47

第2課時(shí)精研題型明考向——空間幾何體及其表面積、體積

一、真題集中研究——明考情

1.（2020?全國(guó)卷I?考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征）

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)

正四棱錐.以該四楂錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)

面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的--二

比值為（）

小一]木T迅+1小+1

A.―-2C.―-D.2

解析：選C設(shè)正四極錐的高為心底面正方形的邊長(zhǎng)為2a,斜高為利

依題意得力2=；X2?X〃1,即力2=G〃，①

易知人2+°2=m2,②

由①②得舍去）,

1+小

所以是=?=苧.故選C.

2.（2020?全國(guó)卷n?考查三棱雄的外接球表面積）

已知△ABC是面積為乎的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球。的球面上.若球O的表面

積為16立，則O到平面A5C的距離為（）

A幣B.1C.1D粵

解析：選C由等邊三角形A5C的面積為挈，

得坐解得48=3,

則△46C的外接圓半徑r=,X興45=坐45=布.

設(shè)球的半徑為R,

則由球的表面積為16H,得4"/?2=16江，得R=2,

所以球心O到平面48C的距離d='所2一球=1,

故選C.

3.（2020?浙江高考?考查圓錐的側(cè)面積、側(cè)面展開圖）

已知圓錐的側(cè)面積（單位：cm2）為2冗，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)必圓，則這個(gè)圓錐的底

面半徑（單位：cm）是.

解析：法一：設(shè)該圓錐的母線長(zhǎng)為/,

因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，其面積為2處

所以&?二？;:，解得/=2,

所以該半圓的弧長(zhǎng)為2兀

設(shè)該圓錐的底面半徑為R,則2元/?=2肛解得R=l.

法二：設(shè)該圓錐的底面半徑為R,

則該圓錐側(cè)面展開圖中的圓弧的弧長(zhǎng)為2nR.

因?yàn)閭?cè)面展開圖是一個(gè)半圓，

設(shè)該半圓的半徑為r,則nr=2nRt即r=2Rf

所以側(cè)面展開圖的面積為去2426=2瓶2=2見解得R=1.

答案：1

4.（2020?新高考全國(guó)卷I?柱體與球體的組合）

已知直四棱柱的棱長(zhǎng)均為2,NK4O=60。.以O(shè)i為球心，小為半徑的

球面與側(cè)面BCCyBx的交線長(zhǎng)為

解析：如圖，連接

易知△%GD1為正三角形，血二黑”

所以BiOi=G"=2.

AB

分別取5iG,BBl,CG的中點(diǎn)M,G,Ht連接DiM,DyGtDiH,

則易得DiG=DiH=pn=鄧,DiMJ-BiCi,且。陽(yáng)=5.

由題意知G,"分別是8於，CG與球面的交點(diǎn).

在側(cè)面8CGB1內(nèi)任取一點(diǎn)P,使MP=也,連接UP,

則小尸=勺01/卬+,以尸2=叱\5>+（&）2=布,

連接MG,易得MG=MH=r,

故可知以M為圓心，筐為平徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCCiBi的支級(jí).

由NBiMG=NGM〃=45知NGM〃=90°,

所以GH的長(zhǎng)為;X2;rX，i=學(xué).

答案:華

5.（2020?江蘇高考?借助生產(chǎn)實(shí)際考查空間幾何體的體積）

如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.己知

螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半徑為0.5cm,則此

六角螺帽毛坯的體積是cn?.

2

解析：正六棱柱的體積為6X乎X2?X2=12幣（cn?）,圓柱的體積為nX0.5X2=7

（cm3）,則該六角螺帽毛坯的體積是（12小一5513.

答案：1班一百

6.（2020?全國(guó)卷m?考查圓錐的內(nèi)切球體積）

已知圓錐的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為

解析：法一：如圖，在圓錐的軸截面48c中，CD_LA&BD=lfBC=3,ZIA

圓O內(nèi)切于△ABC,E為切點(diǎn)，連接OE,則OE工BC,在RtABCD中，CD=

_________ADB

y/BC2—BD?=2小.易知BE=BD=1,貝"C￡=2.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R,則OC=2^2-

R.在Rt^COE中，OC2—?！?=,中，即（2啦一R）2—改=%解得R=坐，所以圓錐內(nèi)半徑

最大的球的體積為*R3=半兀

法二：如圖，記圓錐的軸截面為△相€；其中AC=BC=3,AB=2tCD±/'

AB.在RtAffCD中，CD=7BC2-BD?=2巾,則SAABC=2&.設(shè)△ABC的內(nèi)切/JA

圓。的半徑為￡,則K=笠全等=乎，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為*rR3八〃B

SI，十，乙J

—正

=3兀

答案:冬

［把脈考情］

1.幾何體體積和表面積的計(jì)算：主要考查棱柱、棱錐或不

常規(guī)規(guī)則幾何休的休積與表面積的計(jì)算.

角度2.球的切、接問(wèn)題：主要考查幾何體與球的組合體的識(shí)辨，

球的體積、表面積的計(jì)算

創(chuàng)新幾何體的體積與表面積的計(jì)算與空間線面位置關(guān)系、數(shù)學(xué)

角度文化、實(shí)際生產(chǎn)生活的應(yīng)用交匯命題

二、題型精細(xì)研究一提素養(yǎng)

題型一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

［典例］(1)(多選)下列命題中，正確的是()

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直

C.在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱

D.存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體

(2)已知圓錐的側(cè)面展開圖為四分之三個(gè)圓面，設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長(zhǎng)為/,有

以下結(jié)論：①/：，=4：3；②圓錐的側(cè)面積與底面積之比為4：3；③圓錐的軸截面是銳角

三角形.其中正確的結(jié)論為()

A.(D?B.②③

c.(D@D.①②?

［解析］(1)A不正確，根據(jù)梭柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行

四邊形，但不一定全等；B正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，也三

個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；C正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相

對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；D正確，如圖，正方體ABC&.AiBiCiOi

中的三棱維G?48C,四個(gè)面都是直角三角形.

(2)@中，由題意得華=獲，所以所以，：r=4：3,所以①正確；②中，由題意

得部=1=/=*所以圓錐的側(cè)面積與底面積之比為4：3,所以②正確；③中，由題意

5圓錐底nrr5

得圓錐的軸截面的三邊長(zhǎng)分別為小，y,2r,易知頂角最大，設(shè)頂角為〃，則由余弦定理可知,

7戶+7戶一4戶

cosa=---------彳——=4<0,所以頂角為鈍角，所以圓錐的軸截面是鈍角三角形，所以

2X/&

③錯(cuò)誤.故選A.

［答案］⑴BCD(2)A

［方法技巧］辨別空間幾何體的2種方法

緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的

定義法

線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定

通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只需舉出一

反例法

個(gè)反例即可

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.(2021?江南十校聯(lián)考)已知圓臺(tái)上、下兩底面與側(cè)面都與球O相切，圓臺(tái)的側(cè)面積為

167n則該圓臺(tái)上、下兩底面圓的周長(zhǎng)之和為()

A.47rB.67r

C.87rD.10n

解析：選C圓臺(tái)的軸截面如圖所示，“Jr

因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面積S置=花便+/)2=16冗，弓［A

所以K+r=4,U八

2R

所以該圓臺(tái)上、下兩底面圓的周長(zhǎng)之和為2(R+r)元=8兀故選C.

2.如圖，己知正三棱柱ABC-A山iG(底面是正三角形的直三棱柱)的底面

邊長(zhǎng)為2cm,高為5cm,則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩

周到達(dá)點(diǎn)小的最短路線的長(zhǎng)為

解析：根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后將其展開為

如圖所示的實(shí)線部分，則所求最疽路線的長(zhǎng)為將41H=13(cm).

答案：13

題型二空間幾何體的表面積與體積

考法(一)空間幾何體的表面積

［例1］(1)已知圓柱的上、下底面的中心分別為?！?1,過(guò)直線01。2的平面截該圓柱

所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()

A.B.127r

C.D.107t

(2)

(2021?洛陽(yáng)一橫)如圖，已知正三棱錐S?A8C的高為3,底面正三角形的才、

高為3,則該正三棱錐的表面積為()/\^>c

A.W55+W5B.W55+9,4\\/

l9I—9B

C.12^3D.TVIO+T

［解析］(1)因?yàn)檫^(guò)直線0102的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓

柱的高為26，底面圓的直徑為2啦，所以該圓柱的盤面積為2乂九乂(6)2+2671乂2加=

127r.

(2)如圖所示，其中AO=3(O為5C的中點(diǎn))，設(shè)5"!?平面ABC,由于1

三棱鋒&ABC為正三棱錐，???”為正△ABC的中心，：.AH=^AD=2t又八^/匕，,

SH=3f

，在RtAS/ZA中，

SA=［沂+4印=近+22=恒.

在正△A5C中，40=3,

?')AB=AC=BC=2y/3f：.X2^3X3=3^3.

22

在RtAiSDB中，SD=ylsff-BD=y/l3-3=y/Tbt

/.SASBC=；X25X師=A/30,

???正三棱錐的表面積為3，而+3小，故選A.

［答案］(DB(2)A

［方法技巧］求空間幾何體表面積的常見類型及思路

求多面體只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法

的表面積求多面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過(guò)程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但

的表面積要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系

求不規(guī)則通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的

幾何體的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差，求出所給幾何體的表

表面積面積

在求解組合題的表面積時(shí)，注意幾何體表面的構(gòu)成，尤其是重合部分，

提醒

面積不要多加或少加

考法(二)空間幾何體的體積

［例2］⑴(2020?所而今金9必U)棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AxBxCiDi中，M,N分別

為梭BBi，A"的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為

(2)已知直三棱柱的所有棱長(zhǎng)都是°,點(diǎn)P,。分別為棱CG,的中點(diǎn),

四面體AyByPQ的體積為乎，則a的值為.

［解析］(1)如圖，易知MN=yja,連接4山交MN于點(diǎn)O,則A1。

=劉5,；?VAl.DlMN=VDl,AlMN=^X1^/2X-72X^X2=1.

(2)如圖，取51G的中點(diǎn)"，連接4H,則4"_L平面BBiGC,且

4陽(yáng)=坐明

S△aPQ=a2-gx：X尹2xgx：Xa=￥，

，四面體A\B\PQ的體積為:乂￥乂坐〃=好〃3=卓，

解得4=2.

［答案］(1)1(2)2

［方法技巧］

1.處理體積問(wèn)題的思路

一諦西濱￡友威市馬面：音,茶示落至3畝函函施書

轉(zhuǎn)_：轉(zhuǎn)換為容易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不容易看出的！

~~口高轉(zhuǎn)換為容易看出并容易求解的高

曲南&云"二木示或典語(yǔ)兀行底東海啟或面前元;

四L「:何體，便于計(jì)算

I__________________________________________.........___1

「花的浪花不涵底展入二下天元有底羊:而看才春;

同」一個(gè)三校錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱曳原；

四［成一個(gè)四棱柱，還臺(tái)為俅，這些都是拼撲的方法；

2.求體積的常用方法

直接法對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾

割補(bǔ)法

何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算

等體選擇合適的底面來(lái)求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體根，即利用三棱錐的任

積法一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.如圖是一個(gè)裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm,高8cm（不含杯腳）,

己知水的高度是4cm,現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入

水中后直接沉入杯底，且體積不變，如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放

入珍珠（）

A.98顆B.106顆

C.120顆D.126顆

解析：選D如圖，等腰△ABC中，底邊AB=6cm,高CD=8cm;等

腰△口?尸中，底邊為EP,高CP=4cm.???ZkC4bs2\C￡p,

.竺=總即紅=4：.EF=3

**AB~CDfr6-8't

???放入珍珠的最大體積為V=』rX32X8-$rX

，?,一顆珍珠體積為5X&3弋，^^=126,

6

???最多放入珍珠126顆，故選D.

2.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“芻凳者，下有袤有廣，2~rt

而上有袤無(wú)廣.芻，草也.費(fèi)，屋蓋也.”今有底面為正方形的屋脊形/本……伊。

--------B

狀的多面體（如圖所示），下底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，上棱￡尸=今E尸〃平面A5C&,EF

與平面ABCD的距離為2,則該芻驍?shù)捏w積為（）

A.6B弓CmD.12

解析：選B如圖，作FN//AEtFM//EDt則多面體被分割為棱%_術(shù)

柱與棱錐兩部分，則該芻亮的體積為VF-MNBC+VDAE-MNF=^S口邊號(hào)MNBCX2

3

+sX-

直

面2

ft

3.(2021?福州模擬)如圖，四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，其三

個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)圓柱的下底面圓周上，另一個(gè)頂點(diǎn)是上底面圓心，則圓柱的側(cè)

面積是()

，啦_3啦

A.7rD.n

3A4

C.Hj—yrD.2z-n

解析：選C設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為/,因?yàn)樗拿骟w各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的

正三角形，可得懣=￥，解得「=卓，又由四面體各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為1的正三角

oil!UU。J

形，可得棱錐的高為仁加一州2邛，即圓柱的母線長(zhǎng)為/=興

所以圓柱的側(cè)面積為S=27r”=27tX乎X半=當(dāng)工

題型三與球有關(guān)的切接問(wèn)題

考法(一)與球有關(guān)的內(nèi)切問(wèn)題

［例1］(1)若圓錐的內(nèi)切球與外接球的球心重合，且內(nèi)切球的半徑為1,則圓錐的體積

為?

(2)若一個(gè)正四面體的表面積為S”其內(nèi)切球的表面積為S2,則2=.

［解析］(1)過(guò)圓錐的旋轉(zhuǎn)軸作軸截面，得截面△A8C及其內(nèi)切圓。Oi和外接圓。。2,

且兩圓同圓心，即△4BC的內(nèi)心與外心重合，易得△ARC為正三角形，由題意知。Oi的半

徑r=l,??.△ABC的邊長(zhǎng)為2^/3,圓錐的底面半徑為，3,高為3,/.V=|XTTX(V3)2X3

=3兀

(2)設(shè)正四面體的校長(zhǎng)為a,

則正四面體表面積為Si=4X坐?屋=布”2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的;，即r=1

亞一亞

X3。一12%

因此內(nèi)切球表面積為§2=4汽i=學(xué),

Si/a26s

則

Sin,it

6a

［答案］⑴加⑵學(xué)

［方法技巧］

處理與球有關(guān)內(nèi)切問(wèn)題的策略

解答此類問(wèn)題時(shí)首先要找準(zhǔn)切點(diǎn)，通過(guò)作截面來(lái)解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截

面時(shí)主要抓住多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作.

考法(二)與球有關(guān)的外接問(wèn)題

［例2］(1)已知正三棱錐S-ABC的側(cè)棱長(zhǎng)為4<3,底面邊長(zhǎng)為6,則該正三棱錐外接球

的表面積是()

A.167rB.207r

C.327rD.647r

(2)(2021?魔門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬)已知三棱錐尸?A8C每對(duì)異面的棱的長(zhǎng)度都相等，且

△ABC的邊長(zhǎng)分別為?,3,4,則三棱錐P-ABC外接球的體積為

［解析］(1)如圖所示，。為外接球的球心，E為△A6C的重心.

因?yàn)檎饩SS?ABC底面邊長(zhǎng)為6,

所以AE=gx乎X6=2"\/3,

又SA=4小，

所以三棱錐的高SE=7SA2-AE2=叱4小尸一(2小>=6.

在直角三角形AOE中，AO=RtOE=SE-SO=6-Rf

由402=4?+?！?即K2=(2，5)2+(6-R)2,解得R=4,

所以球的表面積3=4幾相=64肛故選D.

(2)如圖所示，由于三棱錐P-ABC每對(duì)異面的棱的長(zhǎng)度都相等，

所以該三棱錐可以補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，且該長(zhǎng)方體各面上的對(duì)角線

長(zhǎng)分別為?,3,4,設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為％b,c,且不

妨設(shè)。2+力2=(，77)2=［［,/>24-C2=32=9,a24-c2=42=16,

所以a24-Z?2+c2=18,

所以三棱錐外接球的直徑為、廬麗球.

47r

故外接球的體積為

［答案］(DD⑵八?r

［方法技巧］

1.求解幾何體外接球的半徑的思路

一是根據(jù)球的截面的性質(zhì)，如本例(1),利用球的半徑R、截面圓的半徑,及球心到截

面圓的距離d三者的關(guān)系中=/+廨求解，其中，確定球心的位置是關(guān)鍵；二是將幾何體

補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如本例(2),利用該幾何體與長(zhǎng)方體共有外接球的特征，由外接球的直徑等于

長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)求解.

2.解決與球有關(guān)的切、接問(wèn)題，其通法是作截面，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)

題求解，其解題的思維流程是：

及嬴口石盛良而訪纂而贏百萬(wàn)奈而金毒而蓍直后軍直；

笠丁如果是外接球，則球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑：

［―L-i區(qū)灌區(qū)植拓慶松山質(zhì)畝（事必看法83袍3有

作被面H包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素間的：

:關(guān)系），達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的

求半徑、場(chǎng)套市F而淳市,而元有溫床:正正吳宇京淳碩

下結(jié)論7方程，并求解1

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.將半徑為3,圓心角為M的扇形圍成一個(gè)圓錐（接縫處忽略不計(jì)），則該圓錐的內(nèi)切

球的體積為（）

A?3B?3

47r

C.yD.2n

解析：選A設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為九則2口=空X3,：,r=L：.h=yl32-l2=

2隹設(shè)圓錐內(nèi)切球的半徑為K,^2^2—R=y'K=乎，'八甘球』；7rx

故選A.

2.如圖，在三棱錐A?BCD中，ADLBD,AC±BCtZDAB=^tABAC

o

=￡.三棱錐的外接球的表面積為16處則該三棱錐的體積的最大值為（）

ZR逋

A?B.3

n14

D.q~

解析：選B設(shè)外接球的半徑為凡由題意得，462=16處解得K=2.由題意知△AO5,

△4〃。都是直角三角形，所以三棱錐A?5CD的外接球的球心為A3的中點(diǎn)，且48=4.由

ZDAB=^fNB4C=%可求得＜。=2巾，BD=2fAC=BC=2，5.當(dāng)三棱錐4毋CO的體

積最大時(shí)，平面4OBJ?平面A8C.所以三棱錐的體積的最大值為V^A.BCD=VC.ABD=I

X^X2X2bX2=￥.故選B.

3.已知三棱錐S-A3C的底面是以A3為斜邊的等腰直角三角形，AIi=2fSA=SB=

SC=2,則三棱錐S-ABC的外接球的球心到平面ABC的距離是（）

亞

A.-yB.1

C幣

解析：選A???三棱錐S?A5C的底面是以A5為斜邊的等腰直角三角形，SA=SB=SC

=2,

，S在底面ABC內(nèi)的射影為AB的中點(diǎn).

設(shè)A3的中點(diǎn)為"，連接S",C"（圖略），

??.S”J■平面AbC,???SH上任意一點(diǎn)到A,B,C的距離相等，易知SH=J3,CH=lf

，在RtZiS”C中，N〃SC=30。.在平面SHC內(nèi)作SC的垂直平分線MO,交SH于點(diǎn)

0,交SC于點(diǎn)M,

則0為三棱錐S-ABC的外接球的球心.

VSC=2,，SM=1,又NOSAf=30。，：.S0=^,坐工球心。到平面ABC

的距離為W，故選A.

［課時(shí)跟蹤檢測(cè)］

一、綜合練一練思維敏銳度

1.正三棱錐底面邊長(zhǎng)為“，高為*”,則此正三棱錐的側(cè)面積為（）

解析：選A因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽榘隺,其重心到頂點(diǎn)距離為乎aX：=乎%且棱

錐高為乎明所以利用勾股定理可得側(cè)棱長(zhǎng)為斜高為所

以側(cè)面積為5=3乂9乂4乂9=弓。2.

2.如圖，在四邊形HBCD中，ZDAB=90°,ZADC=135°,AB=5fCDS.

=2吸，AD=2t則四邊形ABQD繞AO所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表'［\

面積為（）

A.（15+也）江B.2（15+V2）n

C.4（15+^2）71D.（15+4a）江

2

解析：選CS*=SB^*4-SB^^4-SBM?*=7TX54-71X（2+5）X5+71X2X2^2=4（15

+也）兀故選C.

3.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在他的著作《九章算術(shù)注》中，稱一個(gè)正方體內(nèi)兩個(gè)互相垂直

的內(nèi)切圓柱所圍成的幾何體為“牟合方蓋”，劉徽通過(guò)計(jì)算得知正方體的內(nèi)切球的體積與

“牟合方蓋”的體積之比應(yīng)為加：4,若“牟合方蓋”的體積為18,則正方體的梭長(zhǎng)為（）

A.18B.6

C.3D.2

解析：選C因?yàn)椤澳埠戏缴w”的體積為18,所以該正方體的內(nèi)切球的體積為18Xj=

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為則該正方體的內(nèi)切球半徑為今所以;71乂0=*：,解得。=3,

故選C.

4.（2021?重慶八中期末）唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示，其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆

繪和墓室壁畫，體現(xiàn)了古人的智慧與工藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的

組合體（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如圖2所示，已知球的半徑為K,酒杯內(nèi)壁表

面積為爭(zhēng)求T設(shè)酒杯上部分（圓柱）的體積為必，下部分（半球）的體積為匕，則卷=（）

A.2B】C4D.1

解析：選C設(shè)酒杯上部分商為心則酒杯內(nèi)壁表面積5=；乂4元火2+2加心=4江2,

233

解得〃/.Vi=nRh=^nR^tV2=1x|nZ?=1n/?,

5.（多選）如圖，長(zhǎng)方體4OCD-A田C處的底面是正方形，AAt=2ARt

E是Od的中點(diǎn)，貝!1（）

A.△5|EC為直角三角形

B.CE//AiB

C.三棱錐Ci-ZJ.CE的體積是長(zhǎng)方體體積的1

D.三棱錐CrBiCA的外接球的表面積是正方形ABCD面積的67r倍

解析：選ACD令A(yù)Ai=2AB=2a,在△bi￡C中，BiE=0,EC=yflatBiC=y[Sat

所以81￡2+后。=/。，則△/EC為直角三角形，故A正確；

因?yàn)?5與。C平行，而CE與OiC相交，所以CE與AiB不平行，故B錯(cuò)誤；

三棱錐G出CE的體積為V.=V,=lx^X2aXaXa=j

CiBiCEBtCiCEt匕4BC0-4BiG&i=

2a3,則三棱維G毋iCE的體積是長(zhǎng)方體體積的也故C正確;

因?yàn)槿忮FCi-BiCDi的外接球就是長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCxDx的外接球，所以三棱攤

,,....,,r\/a24-a2d-(2a)2y[6a

vf

Ci-BiCDi的外接球半徑R4----2-=2三棱錐Ci-BiCDi的外接球的表面積為S

=47rXl）2=6fl27t,又S正方艙A0s=。2,所以三棱鋒C1-B1CD1的外接球的表面積是正方形

AbCD面積的6幾倍，故D正確，故選A、C、D.

6J2020?全國(guó)卷I）已知A,&C為球0的球面上的三個(gè)點(diǎn)，001為AABC的外接圓.若

0O1的面積為4小AB=BC=AC=OOif則球。的表面積為（）

A.647rB.487r

C.367r